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5.2.1三角函数的概念课标阐释思维脉络1.能借助单位圆和平面直角坐标系,理解三角函数的定义.会求给定角的三角函数值.2.熟练掌握三角函数在各象限中的符号规律,会判定给定角的三角函数值的符号.3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.4.掌握诱导公式一,并能运用公式解决相关问题.一二三一、三角函数的定义1.在直角坐标系中,称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.如图,如果一个锐角α的终边与单位圆的交点是P(x,y),根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义,你能否用点P的坐标表示sinα,cosα,tanα?这一结论能否推广到α是任意角时的情形呢?一二三提示:sinα=y,cosα=x,tanα=.这一结论可以推广到α是任意角.𝑦𝑥一二三2.填空如图,α是任意角,以α的顶点O为坐标原点,以α的始边为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系.设P(x,y)是α的终边与单位圆的交点.(1)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sinα,即y=sinα;(2)把点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cosα,即x=cosα;(3)把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切,记作tanα,即=tanα(x≠0).正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.3.填空𝑦𝑥𝑦𝑥如果在角α的终边上有一点M(x,y),M到原点的距离r=𝑥2+𝑦2,那么sinα=𝑦𝑟,cosα=𝑥𝑟,tanα=𝑦𝑥.一二三4.做一做(1)若角α的终边经过点(1,-3),则sinα=()A.-12B.-32C.12D.32解析:∵α的终边经过点(1,-3),∴x=1,y=-3,r=2,∴sinα=𝑦𝑟=-32,故选B.答案:B(2)如果在角α的终边上有一点M(3,4),那么如何求角α的三个三角函数值?提示:因为r=32+42=5,所以sinα=45,cosα=35,tanα=43.一二三5.如果角α的终边落在y轴上,这时其终边与单位圆的交点坐标是什么?sinα,cosα,tanα的值是否还存在?提示:终边与单位圆的交点坐标是(0,1)或(0,-1),这时tanα的值不存在,因为分母不能为零,但sinα,cosα的值仍然存在.6.填空三角函数的定义域如下表所示.三角函数解析式定义域正弦函数y=sinxR余弦函数y=cosxR正切函数y=tanx𝑥𝑥≠𝑘π+π2,𝑘∈Z一二三二、三角函数值的符号1.根据三角函数的定义,各个三角函数值是用单位圆上点的坐标表示的,当角在不同象限时,其与单位圆的交点坐标的符号就不同,因此其各个三角函数值的正负就不同,你能推导出sinα,cosα,tanα在不同象限内的符号吗?提示:当α在第一象限时,sinα0,cosα0,tanα0;当α在第二象限时,sinα0,cosα0,tanα0;当α在第三象限时,sinα0,cosα0,tanα0;当α在第四象限时,sinα0,cosα0,tanα0.2.sinα,cosα,tanα在各个象限的符号如下:记忆口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.一二三3.做一做判断下列各三角函数值的符号:(1)sin188°;(2)cos-π5;(3)tan160°.解:(1)因为188°是第三象限角,所以sin188°0.(2)因为-π5是第四象限角,所以cos-π50.(3)因为160°是第二象限角,所以tan160°0.一二三三、诱导公式一1.30°,390°,-330°三个角的终边有什么关系?它们与单位圆的交点坐标相同吗?这三个角的正弦值、余弦值、正切值相等吗?提示:终边相同,与单位圆的交点坐标相同,三个角的正弦值、余弦值、正切值相等.2.填空诱导公式一(1)语言表示:终边相同的角的同一三角函数的值相等.(2)式子表示:sin(𝛼+𝑘·2π)=sin𝛼,cos(𝛼+𝑘·2π)=cos𝛼,tan(𝛼+𝑘·2π)=tan𝛼(k∈Z).一二三3.做一做求值:(1)sin780°;(2)cos254π;(3)tan-154π.解:(1)sin780°=sin(2×360°+60°)=sin60°=32.(2)cos254π=cos3×2π+π4=cosπ4=22.(3)tan-154π=tan-2×2π+π4=tanπ4=1.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利用三角函数的定义求三角函数值例1求解下列各题:(3)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,则cosα-sinα=.分析:(1)先求出x的值,再计算;(2)利用三角函数的定义的推广求解;(3)先在终边上取点,再利用定义求解.(1)若角α的终边与单位圆的交点是P𝑥,23,则sinα=,cosα=,tanα=.(2)已知角α的终边经过点P(-x,-6),且cosα=-513,则1sin𝛼+1tan𝛼=.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(1)解析:依题意,x2+232=1,解得x=±53,于是sinα=23,cosα=±53,tanα=23±53=±255.答案:23±53±255(2)解析:∵角α的终边经过点P(-x,-6),且cosα=-513,∴cosα=-𝑥𝑥2+36=-513,解得x=52,∴P-52,-6,∴sinα=-1213,∴tanα=125,则1sin𝛼+1tan𝛼=-1312+512=-23.答案:-23探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(3)解析:∵角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,不妨令x=-3,则y=-4,∴r=5,∴cosα=𝑥𝑟=-35,sinα=𝑦𝑟=-45,则cosα-sinα=-35+45=15.答案:15探究一探究二探究三思维辨析随堂演练延伸探究已知角α的终边上有一点P(-3,m),且sinα=24m,求sinα,cosα的值.解:由已知,得24m=𝑚3+𝑚2,解得m=0或m=±5.①当m=0时,cosα=-1,sinα=0;②当m=5时,cosα=-64,sinα=104;③当m=-5时,cosα=-64,sinα=-104.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况:(1)若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值.(4)若已知角α终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论.(2)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)是单位圆上的点,则sinα=y,cosα=x,tanα=𝑦𝑥.(3)若已知角α终边上一点P(x,y)不是单位圆上一点,则先求r=𝑥2+𝑦2,再求sinα=𝑦𝑟,cosα=𝑥𝑟.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练判断三角函数值的符号A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)判断下列各式的符号:分析:(1)由已知条件确定出sinα,cosα的符号即可确定角α的象限;(2)先判断每个因式的符号,再确定积的符号.例2(1)若sinα·tanα0,且cos𝛼tan𝛼0,则角α是()①sin105°·cos230°;②cos3·tan-2π3.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(1)解析:由sinαtanα0可知sinα,tanα异号,从而α为第二、第三象限角.由可知cosα,tanα异号,从而α为第三、第四象限角.综上可知,α为第三象限角,故选C.答案:C(2)解:①∵105°,230°分别为第二、第三象限角,∴sin105°0,cos230°0.于是sin105°·cos230°0.②∵π23π,∴3是第二象限角,∴cos30.又-2π3是第三象限角,∴tan-2π30.∴cos3·tan-2π30.cos𝛼tan𝛼0探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟三角函数符号的判定:对三角函数符号的判定,首先要判断角是第几象限角,然后根据规律:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”,即可确定三角函数的符号.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练1(1)已知α=2,则点P(sinα,tanα)所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:因为,即α在第二象限,所以sinα0,tanα0,则点P(sinα,tanα)在第四象限.答案:D(2)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα0,则实数a的取值范围是()A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]解析:由cosα≤0,sinα0可知,角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上,所以有答案:Aα=2∈π2,π3𝑎-9≤0,𝑎+20,解得-2a≤3.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练诱导公式一的应用例3求下列各式的值:(1)a2sin(-1350°)+b2tan405°-(a-b)2tan765°-2abcos(-1080°);分析:将角转化为k·360°+α(k∈Z)或2kπ+α(k∈Z)的形式,利用公式一求值,注意熟记特殊角的三角函数值.解:(1)原式=a2sin(-4×360°+90°)+b2tan(360°+45°)-(a-b)2tan(2×360°+45°)-2abcos(-3×360°)=a2sin90°+b2tan45°-(a-b)2tan45°-2abcos0°=a2+b2-(a-b)2-2ab=0.(2)sin-11π6+cos25π3tan-15π4.(2)原式=sin-2π+π6+cos8π+π3·tan-4π+π4=sinπ6+cosπ3tanπ4=12+12×1=1.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟诱导公式一的应用策略:(1)诱导公式一可以统一写成f(k·360°+α)=f(α)或f(k·2π+α)=f(α)(k∈Z)的形式,它的实质是终边相同的角的同一三角函数值相等;(2)利用它可把任意角的三角函数值转化为0~2π角的三角函数值,即可把负角的三角函数转化为0到2π间角的三角函数,亦可把大于2π的角的三角函数转化为0到2π间角的三角函数,即把角实现大化小,负化正的转化.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练2求下列三角函数值:(1)sin390°;(2)cos19π6;(3)tan(-330°);(4)sin256π+cos193π.解:(1)sin390°=sin(360°+30°)=sin30°=12.(2)cos19π6=cos2π+7π6=cos7π6=-32.(3)tan(-330°)=tan(-360°+30°)=tan30°=33.(4)sin256π+cos193π=sin4π+π6+cos6π+π3=sinπ6+cosπ3=12+12=1.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练忽视对参数的分类讨论致误典例角α的终边过点P(-3a,4a),a≠0,则cosα=.错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?提示:错解中,误以为a0,没有对a的正负进行分类讨论,导致r求错,从而结果错误.错解因为x=-3a,y=4a,所以r=(-3𝑎)2+(4𝑎)2=5a,于是cosα=-3𝑎5𝑎=-35.正解:由题意可得|OP|=(-3𝑎)2+(4𝑎)2=5|a|,且a≠0.当a0时,|OP|=5a,则cosα=-3𝑎5𝑎=-35.当a0时,|OP|=-5a,则cosα=-3𝑎-5𝑎=35.答案:-35或35探究一探究二探究三思维辨析随堂演练防范措施在利用三角函数的定义解决问题时,如果终边上一点的坐标中含有参数,那么要注意对其进行分类讨论,以免丢解.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练已知角α的终边在直线y=x上,则sinα=____.解析:易知角α的终边在第一象限或第三象限,当角α的终边在第一象限时,在角α的终边上取一点P(1,1),则x=1,y=1,r=2,∴sinα=𝑦𝑟=12=22;当角α的终边在第三