实验二-z变换及其应用

实验三z变换及其应用3.1实验目的1）加深对离散系统变换域分析——z变换的理解；2）掌握进行z变换和z反变换的基本方法，了解部分分式法在z反变换中的应用；3）掌握使用MATLAB语言进行z变换和z反变换的常用函数。3.2实验涉及的MATLAB函数1）ztrans功能：返回无限长序列函数x(n)的z变换。调用格式：X＝ztrans(x)；求无限长序列函数x(n)的z变换X(z)，返回z变换的表达式。2）iztrans功能：求函数X(z)的z反变换x(n)。调用格式：x＝iztrans(X)；求函数X(z)的z反变换x(n)，返回z反变换的表达式。3）syms功能：定义多个符号对象。调用格式：symsabw0；把字符a，b，w0定义为基本的符号对象。4）residuez功能：有理多项式的部分分式展开。调用格式：[r，p，c]＝residuez(b，a)；把b(z)/a(z)展开成部分分式。[b，a]＝residuez(r,p,c)；根据部分分式的r、p、c数组，返回有理多项式。其中：b，a为按降幂排列的多项式的分子和分母的系数数组；r为余数数组；p为极点数组；c为无穷项多项式系数数组。3.3实验原理１）用ztrans子函数求无限长序列的z变换MATLAB提供了进行无限长序列的z变换的子函数ztrans。使用时须知，该函数只给出z变换的表达式，而没有给出收敛域。另外，由于这一功能还不尽完善，因而有的序列的z变换还不能求出，z逆变换也存在同样的问题。例1求以下各序列的z变换。012345(1)(),(),(),21(),()(1)njwnnnxnaxnnxnxnexnnnsymsw0nzax1=a^n;X1=ztrans(x1)x2=n;X2=ztrans(x2)x3=(n*(n-1))/2;X3=ztrans(x3)x4=exp(j*w0*n);X4=ztrans(x4)x5=1/(n*(n-1));X5=ztrans(x5)2）用iztrans子函数求无限长序列的z反变换MATLAB还提供了进行无限长序列的z反变换的子函数iztrans。例2：求下列函数的z反变换。1223431()()1()1()()(1)1nzazXzXzzazzzXzXzzzsymsnzaX1=z/(z-1);x1=iztrans(X1)X2=a*z/(a-z)^2;x2=iztrans(X2)X3=z/(z-1)^3;x3=iztrans(X3)X4=(1-z^-n)/(1-z^-1);x4=iztrans(X4)3）用部分分式法求z反变换部分分式法是一种常用的求解z反变换的方法。当z变换表达式是一个多项式时，可以表示为120121212()1MMNNbbzbzbzXzazazaz将该多项式分解为真有理式与直接多项式两部分，即得到121012112012()1NMNkNkNkNbbzbzbzXzCzazazaz当式中MN时，上式的第二部分为0。对于X(z)的真有理式部分存在以下两种情况：情况1：X(z)仅含有单实极点，则部分分式展开式为11012111012()1111NMNkkkkkkMNkNkkNrXzCzpzrrrCzpzpzpzX(z)的z反变换为:10()()()()NMNnkkkkkxnrpunCnk情况2:X(z)含有一个r重极点。这种情况处理起来比较复杂，本实验不做要求，仅举例4供使用者参考。例3：已知22()1.50.5zXzzz，|z|1，试用部分分式法求z反变换，并列出N＝20点的数值。解：由表达式和收敛域条件可知，所求序列x(n)为一个右边序列，且为因果序列。将上式整理得：121()11.50.5Xzzz求z反变换的程序如下：b=[1,0,0];a=[1,-1.5,0.5];[r,p,c]=residuez(b,a)在MATLAB命令窗将显示：r＝2-1p＝1.00000.5000c＝［］由此可知，这是多项式MN的情况，多项式分解后表示为：1121()110.5Xzzz可写出z反变换公式：()2()(0.5)()nxnunun如果用图形表现x(n)的结果，可以加以下程序：N=20;n=0:N-1;x=r(1)*p(1).^n+r(2)*p(2).^n;stem(n,x);title('用部分分式法求反变换x(n)');例4：用部分分式法求解函数112()11236zHzzz的z反变换，写出h(n)的表示式，并用图形与impz求得的结果相比较。解求z反变换的程序如下：b=[0,1,0];a=[1,-12,36];[r,p,c]=residuez(b,a)在MATLAB命令窗将显示：r＝-0.1667-0.0000i0.1667＋0.0000ip＝6.0000＋0.0000i6.0000-0.0000ic＝［］由此可知，这个多项式含有重极点。多项式分解后表示为：11211120.16670.1667()16(16)0.16670.16676166(16)Hzzzzzzz根据时域位移性质，可写出z反变换公式：10.1667()0.1667(6)()(1)6(1)6nnhnunnun如果要用图形表现h(n)的结果，并与impz子函数求出的结果相比较，可以在前面已有的程序后面加以下程序段：N=8;n=0:N-1;h=r(1)*p(1).^n.*[n=0]+r(2).*(n+1).*p(2).^n.*[n+1=0];subplot(1,2,1),stem(n,h);title('用部分分式法求反变换h(n)');h2=impz(b,a,N);subplot(1,2,2),stem(n,h2);title('用impz求反变换h(n)');例5:用部分分式法求解下列系统函数的z反变换，并用图形与impz求得的结果相比较。2462460.13210.39630.39630.1321()10.343190.604390.20407zzzHzzzz解由上式可知，该函数表示一个6阶系统。其程序如下：a=[1,0,0.34319,0,0.60439,0,0.20407];b=[0.1321,0,-0.3963,0,0.3963,0,-0.1321];[r,p,c]=residuez(b,a)此时在MATLAB命令窗将显示：r＝－0.1320－0.0001i－0.1320＋0.0001i－0.1320＋0.0001i－0.1320－0.0001i0.6537＋0.0000i0.6537－0.0000ip＝－0.6221＋0.6240i－0.6221－0.6240i0.6221＋0.6240i0.6221－0.6240i0＋0.5818i0－0.5818ic=－0.6473由于该系统函数分子项与分母项阶数相同，符合M≥N，因此具有冲激项。可以由r、p、c的值写出z反变换的结果。如果要求解z反变换的数值结果，并用图形表示，同时与impz求解的冲激响应结果进行比较，可以在上述程序加：N=40;n=0:N-1;h=r(1)*p(1).^n+r(2)*p(2).^n+r(3)*p(3).^n+r(4)*p(4).^n+…r(5)*p(5).^n+r(6)*p(6).^n+c(1).*[n==0];subplot(1,2,1),stem(n,real(h),'k');title('用部分分式法求反变换h(n)');h2=impz(b,a,N);subplot(1,2,2),stem(n,h2,'k');title('用impz求反变换h(n)');4）从变换域求系统的响应系统的响应既可以用时域分析的方法求解，也可以用变换域分析法求解。当已知系统函数H(z)，又已知系统输入序列的z变换X(z)，则系统响应序列的z变换可以由Y(z)＝H(z)X(z)求出。例6:已知一个离散系统的函数22()1.50.5zHzzz，输入序列()1zXzz，求系统在变换域的响应Y(z)及时间域的响应y(n)。解:本例仅采用先从变换域求解Y(z)，再用反变换求y(n)的方法，以巩固本实验所学习的内容。MATLAB程序如下：symszX=z/(z-1);H=z^2/(z^2-1.5*z+0.5);Y=X*Hy=iztrans(Y)程序运行后，将显示以下结果：Y＝z^3/(z-1)/(z^2-3/2*z+1/2)y＝2*n＋2^(-n)如果要观察时域输出序列y(n)，可以在上面的程序后编写以下程序段：n=0:20;y=2*n+2.^(-n);stem(n,y);3.4实验内容1）输入并运行例题程序，理解每一条程序的意义。2）求以下各序列的z变换：120340()()sin()()2sin()nnanxnnaxnnxnxen3）求下列函数的z反变换：01223341()()()1()()1jzzXzXzzazazzXzXzzez4）用部分分式法求解下列系统函数的z反变换，写出x(n)的表示式，并用图形与impz求得的结果相比较，取前10个点作图。11231020()181912zXzzzz2125()16zXzzz1211()(10.9)(10.9)Xzzz3.5实验报告(1)列写出通过调试后的实验任务程序，打印或描绘实验程序产生的曲线图形。(2)思考题：①MATLAB中提供的ztrans和iztrans变换方法，使用中有何问题需要注意？②回答预习思考题。