窄带随机过程

窄带随机过程信息与通信工程学院叶方本章重点及难点窄带随机过程的特点及工程意义赖斯表达式、准正弦振荡表达式窄带随机过程包络与相位慢变化特性窄带高斯随机过程包络和相位特性窄带高斯过程包络平方的概率密度函数正弦信号与窄带随机过程之和的包络与相位特性希尔伯特变换定义在区间内给定实值函数，它的希尔伯特变换记作（或者记作）)(t)(tx)(ˆtx)]([txHdtxtxtxH)(1)(ˆ)]([1()1()ˆ()xtxtxtdd't希尔伯特变换性质希尔伯特变换相当于一个正交滤波器。1ˆ()()xtxtt1()htt()xtˆ()xt)sgn()(jH)(H|)(|H)(H的相移+j-j00019090希尔伯特变换逆变换1ˆ()[()]ˆˆ1()1()ˆ()()xtHxtxtxtddhtxttth1)(希尔伯特变换应用及实现滤波法（难点在于滤波器设计）平衡调幅器带通滤波器单边带输出0000()或希尔伯特变换应用及实现相移法（难点在移相网络）平衡调幅器A载波90度移相网络平衡调幅器B调制信号90度移相网络载波振荡器合并网络调制信号0Vsint100v=Vsinsintt200v=Vcoscostt00Vsint00Vcost3v实信号、复信号、解析信号为何引入复信号实信号与复信号的关系如何得到，有何特点，与之间存在什么关系解析过程定义给定任实随机过程，定义复随机过程为称为实随机过程的复解析过程，简称解析过程。()Xt()Xtˆ()()()XtXtjXt)(~tX)(tX1()ˆ()[()]XXtHXtdt解析过程性质若为实平稳随机过程，则也是实平稳过程，且联合平稳。实函数与其希尔伯特变换的相关函数（功率谱）相同)(tX)(ˆtXˆ()()XXRR)()(ˆXXSS)(ˆ)(ˆXXXRR)(ˆ)(ˆXXXRR)()(ˆˆXXXXRR)()(ˆˆXXXXRR解析过程性质0)0(ˆXXR)](ˆ)([2)]()([2)(ˆ~RjRjRRRXXXXX0)(0)()(ˆXXXXjSjSS000)(4)(~XXSS例题解析设低频信号a(t)的频谱为：(),||/2()0,AA其它时，〉证明当200000[()cos]()sin[()sin]()cosHattattHattatt窄带随机过程的定义一个实平稳随机过程，若它的功率谱密度具有下述性质而且带宽满足，则称此过程为窄带平稳随机过程。()Xt()xS00()||()0xccxSS其它c20窄带波形的频谱及示意图£fcOS(f)fffcf(a)tOS(f)缓慢变化的包络[a(t)]频率近似为fc(b)莱斯表达式任何一个实平稳窄带随机过程都可以表示为：()Xt00()()cos()sinXtattbtt0000ˆ()()cos()sinˆ()()sin()cosatXttXttbtXttXtt)(ta)(tb0其中为固定值，、是另外两个随机过程，且称此为莱斯表达式。a(t),b(t)的性质a(t)和b(t)都是实随机过程a(t)和b(t)都是平稳随机过程，且联合平稳。0)]([)]([tbEtaE)]([)]([)]([222tXEtbEtaEa(t),b(t)的性质00cos)(ˆsin)()(XXabRRR0)0(abR00sin)(cos)()(baaXRRR)]()([)()(00XXbaSSLPSS)]()([)(00XXabSSjLPS包络和相位的一维概率密度表示成莱斯表示式00()()cos()sinXtattbtt)(sin)()()(cos)()(ttAtbttAta令t固定，ttttttAbAasincos),(ttabbaf)(),(ttAfAf边沿概率密度),(ttAAf二维r.v.函数的概率密度变换假设窄带高斯实随机过程()Xt的均值为0，方差为2)()(),(tbtattabbfafbaf22222exp21ttba2222exp21tA利用二维随机变量函数的概率密度变换有：),(),(ttabttAbafJAfttttttttaaAJbbAtAttttttAAcossinsincosttttttAbAasincos2200()(,)(,)AtAtttAtttfAfAdfAd22exp2222ttAA01(,)2tAtttffAdA20t(,)()()AttAttfAff222exp0,02(,)220tttAttAAAfAelse2222expttAA瑞利（Rayleigh）概率密度或简称瑞利分布均匀分布01234560.20.40.60.811.21.41.61.82132.042.0)(tAAftA窄带高斯随机过程包络平方概率密度平方律检波器)(2tA0()()cos[()]XtAttt已经推导出222()exp(),02ttAttAAfAA2ttAutttuuhA)(0tA)2exp(21)()()(22tttttAtuuuuuhAfuf)2exp(2122tu=概率密度为指数函数包络与相位的二维概率密度函数求解过程：协方差矩阵考虑最简单最常用的功率谱密度关于中心频率对称的情况22220()()0()()()()0()()0aababaaababaRRaRRKRRRR22220()000()()000()0aaaaRaRKRR0)(abR结论正弦信号与窄带随机过程之和的包络与相位特性假设()()()XtStNt)cos()(0tatS均匀分布的随机变量)2,0(式中a、0为已知常数；)(tN平稳窄带实高斯随机过程，具有零均值和方差2功率谱密度对称于0表示成莱斯表示式)(tNttbttatN00sin)(cos)()(00()cos()cossin()sinXtaattabtt)(sin)()(cos)(11tbatbtaata令于是，1010()()cos()sinXtattbtt低频限带随机过程同样0()()cos[()]XtAttt准正弦振荡)](/)([)()()()(112121tatbarctgttbtatA慢变化随机过程概率密度函数?正弦信号与窄带随机过程之和的包络与相位概率密度函数1、求条件二维联合概率密度函数111(,)tttabfabsin][cos][11abEaaEtt211)()(ttbDaD先把固定，再把t固定，得到随机变量ttttbabaaasincos11互相独立的高斯变量])sin()cos[(21exp21),(2121221111abaabafttttba00()cos()cossin()sinXtaattabtt2、由随机变量的函数的概率分布求),(ttAAfttttttAbAasincos11ttttttAAJcossinsincostA),(),(1111ttbattAbafJAf)]sincos(2[21exp2)|,(112222ttttttAbaaaAAAf])sin()cos[(21exp21),(2121221111abaabafttttba),(),(1111ttbattAbafJAf)]sincos(2[21exp2112222ttttbaaaAA)]sinsincos(cos2[21exp22222tttttaAaAA)]cos(2[21exp22222ttttaAaAA20t0tA由边沿分布求)(tAAf)(tf3.由边沿分布求)(tAAf)(tftA的条件概率密度为tttAtAdAfAf),()(20tttttdaAaAA2022222)]cos(exp[21)2exp()()2exp(202222tttaAIaAA0tA因此正弦型信号加窄带高斯噪声包络的一维概率密度为)()2exp()(202222ttttAaAIaAAAf0tA服从广义瑞利分布窄带高斯过程的包络服从瑞利分布正弦信号加窄带高斯噪声的包络服从广义瑞利分布（又称为莱斯分布）