2014年信号检测与估计各章作业参考答案(1-9章)

第二章随机信号及其统计描述1．求在实数区间ba,内均匀分布的随机变量X均值和方差。解：变量X的概率密度其他，,01)(bxaabxp均值2)(badxxxpXEmX方差12)()()(222abdxxpmxXX2．设X是具有概率密度函数)(xp的随机变量，令x的函数为0),exp(aaxy试求随机变量y的概率密度函数)(yp。解：反函数0,ln1ayax雅可比式为aydydxJ1所以0),ln1(1)ln1()(ayapayyapJyp4.随机过程)(tX为)sin()cos()(00tBtAtX式中，0是常数，A和B是两个互相独立的高斯随机变量，而且0][][BEAE，222][][BEAE。求)(tX的均值和自相关函数。7.设有状态连续、时间离散的随机过程)2sin()(ttX，式中t只能取正整数，即,3,2,1t，而为在区间)1,0(上均匀分布的随机变量，试讨论)(tX的平稳性。8.平稳随机过程)(tX的自相关函数为1)10cos(22)(10eRX，求)(tX均值、二阶原点矩和方差。解：可按公式求解)()0(,)0()(,)(222XXXXXXRRRtXERm。但在求解周期性分量时，不能得出)(R，为此把自相关函数分成两部分：12)10cos(2)()()(1021eRRRXXX由于)10cos(2)(1XR的对应的随机过程为是随机变量为常数，AtAtX),10cos()(1所以0)(1tXE而对于12)(102eRX，有1)(2XR，即1)(2tXE所以1)()()(21tXEtXEtXE可理解为1)(XR从而有5)0()(2XRtXE，)()0(2XXXRR=4因此)(tX的均值、二阶原点矩和方差分别为1)(tXE5)(2tXE42X9.若随机过程)(tX的自相关函数为)cos(21)(0XR，求)(tX的功率谱密度。解:自相关函数与功率谱密度函数是一对傅立叶变换对，所以有dedeRGjjXX)cos(21)()(0利用欧拉公式，可得)(2)(241)(41)cos(21)(00)()(00000deedeeedeGjjjjXjj11.已知平稳随机过程)(tX具有如下功率谱密度651)(242XG求)(tX的相关函数)(XR及平均功率W。解：2132651)(22242XG而自相关函数abe与功率谱密度222aab是一对傅立叶变换，所以有2323423322131)(eeeeRX总功率为平均功率为423322131)(21)0(dGRXX随机过程通过线性是不变系统的习题1、设白噪声的相关函数为)(20N，通过幅频特性如下图所示的理想带通放大器，求放大器输出的总噪声功率。解:由于)(2)(0NRn，所以其功率谱2)()(0NdeRGjnn线性系统的幅频特性如图所示，因此输出端的噪声功率谱为为其它时当，时或当022,2)(2)(00020NHNGY总噪声功率为0)(NdGPYY2、零均值平稳随机过程)(tX加到一线性滤波器，1）当滤波器的单位冲激响应为0,00,)(ttbethbt求滤波器的输出功率谱密度；1)(H0-002）当滤波器的单位冲激响应为elseTtbethbt,00,)(求滤波器的输出功率谱密度。解：1）滤波器的输出功率谱密度)()()()(2222XXYGbbGHG2）滤波器的输出功率谱密度)(cos21)(2222XbTbTYGeTebbG第三章经典检测理论1、在二元数字通信系统中，发送端等概发送2V和0V的脉冲信号，信道上叠加的噪声服从均值为零、方差为2的正态分布，试用最大后验概率准则对接收信号进行判决。要点：101HHx答：略2、在存在加性噪声的情况下，测量只能是1V和0V的直流电压。设噪声均值为零、均方根电压为V2，再设代价因子01211001001CCCC、、。信号存在的先验概率2.0)V1(sP。试确定贝叶斯准则下的门限值并给出判决结果，同时计算出相应的统计平均代价。计算得出392.0)]803.0(1[2.0)]157.1(1[4.0erferfR结果：392.0,,212ln4,2010RxlHH答：略3、只用一次观察值x对下面两个假设作出选择，:0H样本x是均值为零、方差为20的高斯变量；:1H样本x是均值为零、方差为21的高斯变量，且2021。试用最大似然函数准则回答下述问题：（1）根据观察量值，确定判决域0D和1D。（2）画出似然比接收机的框图。（3）求两类错误概率)|(01HDP和)|(10HDP的表达式。解：（1）由题意得20221220021121)|(,21)|(xxeHxpeHxp采用最大似然函数准则，10l，似然比与判决规则为1)|()|()(02)(100101202120212leHxpHxpxlHHx01202120212ln)(201HHx0120212021ln)(201HHx判决域为，xxDxD或，::10(2)接收机结构：（3）两类错误概率0000112222111021)|()|()|(2121)|()|(11212erfdxHxpdxHxpHDPerfdtedxedxHxpHDPtx要点：（1）xxDxD或，::10（2）见图（3）00111021)|(2)|(erfHDPerfHDP4、根据一次观测，用极大极小准则对下面两个假设作出判断)(1)(:)()(:10tntxHtntxH其中)(tn是均值为零、方差为2的高斯过程，且0,111001001CCCC。试求判决门x1,0H0,0H求x限0l以及与之对应的两种假设的先验概率。解:根据题意得2222202)1(121)|(,21)|(xxeHxpeHxp按照极大-极小方程:0*)()(*)()()(001011010011pCCpCCCC代入0,111001001CCCC,得到*)(*)(pp另一方面，由于021201012)|()|()(leHxpHxpxlHHx0212lnln012leHHx得到判决规则为'00221ln01llxHHdtedxedxHxpdxedxHxptltxxllxll22'022'0'022'0'02112)1(1202121)|(21)|(令再令xt，于是有dxexl22'02121按照*)(*)(pp，得到dxedxexlxl22'022'02122121所以有'0'01ll即21'0l考虑到**1)()()()(11101000100ppHPCCHPCCl而'00221lnll从而解得10l，21*p6、假定两个假设分别为)(2)(:)()(:10tntxHtntxH其中)(tn的均值为零、方差为2的高斯白噪声。根据M个独立样本Mixi,,2,1,，采用奈曼—皮尔逊准则进行检验。令05.0，试求（1）判决门限；（2）相应的检测概率DP。解：（1）由题意得4)2(exp21)|(4exp21)|(211210iMiMiMiMxHxpxHxp得到0110110exp)1(exp)|()|()(lMxxHxpHxpxlHHMiiMii01ln10lMxHHMii'0011ln1110llMxMxHHMii又由于x是正态分布的，且MHxVarHxVarHxEHxE/2)|()|(,2)|(,0)|(1010所以有4)2(exp2)|(4exp2)|(2120xMMHxpxMMHxp于是dtexdxMMHDPtlMl2'0'0220114exp205.0)|(17.12'0lM即Ml34.2'0而判决门限)34.2()1(0'0MMlMeel（2）检测概率dtedtexdxMMHDPPtMtlMlD22'0'017.1)2(2211114)2(exp2)|(或者MerfPD17.1-121要点：（1）Ml34.2'0)34.2()1(0'0MMlMeel（2）MerfdtePtMD17.1-1211217.17、设观察信号x在两种假设下的似然函数如下图所示，求贝叶斯准则的判决公式。1-101)|(0Hxpx1/3-102)|(1Hxpx式中贝叶斯门限pCCqCCHPCCHPCCl1101001011101000100)()(附：高斯误差函数表第四章确知信号检测2题、5题、7题1)|()|()(02)(100101202120212leHxpHxpxlHHx4.2现有两个假设)()cos(cos)(:)()cos()(21120tntBtAtxHtntBtxH：其中、、、、21BA均为确知常数，)(tn是功率谱密度为2/0N的高斯白噪声，试设计一个似然比接收机。解：令)cos(cos)()cos()(21120tBtAtstBts，则接收信号的似然函数dttBtxNdttstxNHxpTNTN220020000)cos()(1exp21)()(1exp21)|(dttBtAtxNdttstxNHxpTNTN2210021001)cos(cos)(1exp21)()(1exp21)|(似然比TdttststxtstsNHxpHxpxl0012021001)()()(2)()(1exp)|()|()(由于TTTTtdttxNAdtttABtANdtttAxtBtAtANdttststxtstsN010021122001211000120210cos)(2)cos(cos2cos1cos)(2)cos(2coscos1)()()(2)()(1假定门限值为0l，则有0010021122001cos)(2exp)cos(cos2cos1exp)(ltdttxNAdtttABtANxlHHTT