(完整版)立体几何解答题的建系设点问题

Oyxz立体几何解答题的建系设点问题一、基础知识：（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴1、z轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z轴要与坐标平面xOy垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z轴与底面的交点2、,xy轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：（1）尽可能的让底面上更多的点位于,xy轴上（2）找角：,xy轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略。3、与垂直相关的定理与结论：（1）线面垂直：①如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直②两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直③两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直④直棱柱：侧棱与底面垂直（2）线线垂直（相交垂直）：①正方形，矩形，直角梯形②等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）③菱形的对角线相互垂直④勾股定理逆定理：若222ABACBC，则ABAC（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类1、能够直接写出坐标的点（1）坐标轴上的点，规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0（2）底面上的点：坐标均为,,0xy，即竖坐标0z，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考2、空间中在底面投影为特殊位置的点：如果'11,,Axyz在底面的投影为22,,0Axy，那么1212,xxyy（即点与投影点的横纵坐标相同）由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法：3、需要计算的点①中点坐标公式：111222,,,,,AxyzBxyz，则AB中点121212,,222xxyyzzM，图中的,,,HIEF等中点坐标均可计算②利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值.1.如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD∥，1,60ADDCCBABC，AB=2，CF平面ABCD，且1CF，建立适当的直角坐标系并确定各点坐标。(两种方法)思路：本题直接有一个线面垂直，所以只需在平面ABCD找过C的相互垂直的直线即可。由题意，BCD不是直角。所以可以以其中一条边为轴，在底面上作垂线即可构造出两两垂直的条件，进而可以建立坐标系方案一：（选择BC为轴），连结AC可知120ADC在ADC中2222cos3ACADDCADDCADC3AC由3,1,60ACBCABC可解得2,90ABACBACBCCF平面ABCD,CFACCFBC以,,ACCFBC为坐标轴如图建系：310,1,0,3,0,0,,,0,0,0,122BADF方案二（以CD为轴）过C作CD的垂线CMCF平面ABCD,CFCDCFCM以,,CDCFCM为坐标轴如图建系：（同方案一）计算可得：3,22CMAB3331,,0,,,0,0,1,0,0,0,12222ABDFDCABDCABDABCF2.已知四边形ABCD满足1,2ADBCBAADDCBCa∥，E是BC中点，将BAE翻折成1BAE，使得平面1BAE平面AECD，F为1BD中点思路：在处理翻折问题时，首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变，这些都是作为已知条件使用的。本题在翻折时，BAE是等边三角形，四边形AECD为60的菱形是不变的，寻找线面垂直时，根据平面'BAE平面AECD，结合'BAE是等边三角形，可取AE中点M，则可证'BM平面AECD，再在四边形AECD找一组过M的垂线即可建系解：取AE中点M，连结'BM'BAE是等边三角形'BMAE平面'BAE平面AECD'BM平面AECD，连结DM'',BMMEBMMD四边形AECD为60的菱形ADE为等边三角形DMAE',,BMMDME两两垂直如图建系，设AB为单位长度'11333,0,0,,0,0,0,,0,1,,0,0,0,22222AEDCBF为'BD中点330,,44FABEDCMFAB'EDCMAEDCFAB'EDC3.如图，在四棱柱1111ABCDABCD-中，侧棱1AAABCD底面,ABAC,1AB=,12,5ACAAADCD====,且点M和N分别为11CDBD和的中点。建立合适的空间直角坐标系并写出各点坐标思路：由1AAABCD底面，ABAC可得1,,AAABAC两两垂直，进而以它们为轴建立坐标系，本题中1111,,,ABCD均可通过投影到底面得到横纵坐标，图中D点坐标相对麻烦，可作出底面的平面图再根据平面几何知识进行计算。解：侧棱1AAABCD底面11,AAABAAACABAC1,,ABACAA两两垂直以1,,ABACAA为轴建立直角坐标系底面上的点：0,1,0,2,0,0BC由5ADCD==可得ADC为等腰三角形，若P为AC中点，则DPAC222DPADAP1,2,0D可投影到底面上的点：11110,0,2,0,1,2,2,0,2,1,2,2ABCD因为M和N分别为11CDBD和的中点11,,1,1,2,12MN综上所述：11110,1,0,2,0,0,1,2,0,0,0,2,0,1,2,2,0,2,1,2,2BCDABCD11,,1,1,2,12MNPACBD4.已知斜三棱柱1111,90,2,ABCABCBCAACBCA在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知11BAAC，E为1BB靠近点B的三等分点，建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标思路：本题建系方案比较简单，1AD平面ABC，进而1AD作z轴，再过D引AC垂线即可。难点有二：一是三棱柱的高未知，进而无法写出上底面点的竖坐标；二是1B的投影不易在图中作出（需要扩展平面ABC），第一个问题可先将高设为h，再利用条件11BAAC求解；第二个问题可以考虑利用向量计算得到。解：过D作AC的垂线DM，1AD平面ABC11,ADDCADDM，而DMDC以1,,ADDCDM为轴建立直角坐标系0,1,0,0,1,0,2,1,0ACB，设高为h则10,0,Ah，设1,,Cxyz则110,2,0,,,ACACxyzh由11ACAC可得：00220xxyyzhzh10,2,Ch112,1,,0,3,BAhACh21111030BAACBAACh，解得3h110,0,3,0,2,3AC设1,,3Bxy11,,0ABxy而2,2,0AB且11ABAB22xy12,2,3B综上所述：1110,1,0,0,1,0,2,1,0,0,0,3,0,2,3,2,2,3ACBACBDACBA1B1C1ACBD5.如图，在三棱柱111ABCABC中，H是正方形11AABB的中心，1122,AACH平面11AABB，15CH，建立适当的坐标系并确定各点坐标思路：1CH平面11AABB，从而1CH可作z轴，只需在平面11AABB找到过H的两条垂线即可建系（两种方案），对于坐标只有C坐标相对麻烦，但由11CCAA可以利用向量进行计算。解：方案一：（利用正方形相邻边垂直关系建系）如图建系：则112,2,0,2,2,0,2,2,0AAB12,2,0,0,0,5BC设,,Cxyz，则1,,5CCxyz10,22,0AA由11CCAA可得：002222505xxyyzz0,22,5C综上所述：112,2,0,2,2,0,2,2,0,2,2,0,AABB10,0,5,0,22,5CC方案二：（利用正方形对角线相互垂直建系）如图建系：由122AA计算可得112AHBH112,0,0,0,2,0,0,2,0AAB12,0,0,0,0,5BC设,,Cxyz，则1,,5CCxyz12,2,0AA由11CCAA可得：2222505xxyyzz2,2,5C综上所述：112,0,0,0,2,0,0,2,0,2,0,0,AABB10,0,5,2,2,5CCBB1AA1HC1CBB1AA1HC1C