信号检测与估计理论1.ppt

第3章信号的统计检测理论3.1引言信号的统计检测理论是随机信号统计处理的理论基础之一。信号的统计检测理论，研究在噪声干扰中，信号的有无以及信号是属于哪个状态的最佳判决问题。其数学基础就是统计判决理论,信号的统计检测又称假设检验。假设：研究对象可能的情况或状态，对于一种情况做出一个假设。检验：是按一定的准则进行判断，以确定哪一个假设成立的过程。本章主要内容信号统计检测理论的基本概念；二元信号的最佳检测准则,信号的状态判决方法和检测性能的分析；M元信号的最佳检测；参量信号的统计检测；信号的序列检测.3.2信号统计检测理论的基本概念从二元信号的统计检测入手，讲述：信号状态假设和接收信号的数学模型;不同假设下,信号的统计特性及其描述;合理的判决方法;检测性能分析;归纳、抽象并推广到M（M2）元信号的检测。二元信数字通信系统~n图1.3二进制数字通信系统原理框图00110s(t)=sin(t)0tT1s(t)=sin(t)0tT~n图1.4连续相位移频键控信号(CPFM)在[0,T],加性噪声为n(t),接收到信号x(t),01()()(),0()()(),0xtstnttTxtstnttT实际上不知道发射的是s0还是s1,因此，需要合理检测准则，进行判断获得信号。在某些情况下在对信号转台作出判断之后，还需要对信号的参数进行估计，如振幅、相位、频率等;如有必要，需要进一步恢复出信号的波形或者图形。3.2.1二元信号统计检测的信号模型~n图3.1二元信号统计检测理论模型~n图3.1二元信号统计检测理论模型•信源信源00H:0()()()xtstnt信源输出为，11H1()()()xtstnt：信源输出为，信源的输出称为假设~n图3.1二元信号统计检测理论模型•概率转移机构作用:概率转移机构的作用是在信源输出的一个假设为真的基础之上,把噪声干扰背景中的假设Hj(j=0,1)为真的信号，按照一定的概率关系映射到观测空间中.概率转移机构观测空间R1|xH0|xH~n图3.1二元信号统计检测理论模型•观测空间R作用:观测空间R是在信源输出不同信号状态下,在噪声干扰背景中,由概率转移机构所生成的全部可能的观测量的集合.如:观测信号(x|Hj).~n图3.1二元信号统计检测理论模型•判决规则作用:观测量落入观测空间后,就可以用来推断哪一个假设是合理的,即判决信号属于哪种状态.为此,需要建立一种判决规则,以便使观测空间中的每一个观测点对应着相应的假设Hi(i=0,1).判决结果就是选择假设H0成立,还是H1成立.统计假设检验的任务,就是根据观测量落在观测空间中的位置,按照某种检验规则,作出信号状态是属于哪个假设的判断.3.2.2信号的统计描述二元信号有两种状态,在未作出判决前,我们不知道接收信号是属于两种状态中的哪一种状态。所以，用数理统计中的假设来表示，分别为假设和假设，从而建立二元信号统计检测的信号模型。0H1H~n~njHA;HA,H012n例:考虑二元信号的检测问题:当假设为真时,信源输出信号为-当假设为真时,信源输出信号为+信源的输出信号与服从N(0,)的高斯噪声n叠加,其和就是观测空间中的随机信号(x|,j=0,1),这样,在两个假设观测信号的条件下,模型为:012,A,A0,~0,nHxAnHxAnnN其中为确知信号且：：产生的,还是产生的。我们需要根据假设下的统计特性与假设下的统计特性作出合理判决。故首先要对和进行统计描述，即求和。方法1：一维雅可比变换。方法2：因为，，所以，和分别为和。这样nA1Hx0Hx0H|x1H|x0H|xp1H|xp20n,N~n0A0H|x1H|x20n,AN~H|x21n,AN~H|x2221202exp21nnAxH|xp2221212exp21nnAxH|xp接收信号x,在未作出判决前,我们并不知道它是-A+n01jjHAHAHH2n2n2n即,nN(0,)(x|)N(-,),(x|)N(,)所以观测信号(x|,j=0,1)的生成模型及其概率密度函数p(x|,j=0,1)分别如下.1H|xp3.2图二元信号检测统计模型0H|xpnpnxx000AA1H|xp,,j该例子说明：如果没有噪声信源输出的某一种确知信号将映射到观测空间中的某一点但在噪声干扰的情况下映射到某一点附近的概率,它将以一定的概率映射到决定于概率密度函数p(x整个观测空间,|H)。3.2.3合理的判决由可见，两种假设下的统计特性是有差别的。假设为真时，，大于零的概率大；于是，选定检测门限，当时，判决假设成立（信号为+A）；时，判决假设成立（信号为A）；这样，尽管我们事先并不知道接收信号是属于哪个假设下的，但我们能够作出合理的判决。jH|xpx1HnAxx假设为真时，，小于零的概率大；0HnAxx0x0xx1H0xx0Hx图3.50jH|xp1H|xpAAx0x0R1R11H|HP01H|HP10H|HP00H|HP0H|xp3.2.4判决结果和判决概率由于存在噪声，所以有四种判决结果：假设判决统一地记为相应地有四种判决概率：假设判决统一地记为20n,N~n0H1H0H1H00H|H10H|H11H|H01H|HjiH|H10,j,i0H1H0H1H00H|HP10H|HP01H|HP11H|HPjiH|HP10,j,i3.2.5最佳判决的概念从判决概率来说，我们希望正确判决概率尽可能的高，而错误判决概率尽可能的低。结合例题，若门限，则若门限，则可见，改变，若一种假设下，出现希望的结果，但同时另一种假设下，会出现不希望的结果。这意味着存在最佳门限，同时考虑到两种假设。这就是最佳检测的概念。这是我们本章要讨论的问题，即信号的最佳检测理论。jiH|HP0x1011H|HP,H|HP0100H|HP,H|HP0x1011H|HP,H|HP0100H|HP,H|HP0x0x3.2.6信号统计检测理论的归纳与抽象1.二元信号信号模型统计描述最佳判决归结为判决域R的最佳划分；N,,,knsxHkkk2100，：N,,,knsxHkkk2111，：T21Nx,,x,xx0H|xp1H|xp成立满足判决结果和判决概率01RRR判决域01RRR01RRR0R0R1R0H成立1H10,j,iH|Hji，10d,j,ixH|xpH|HPiRjji，2.M元信号信号模型统计描述最佳判决归结为判决域R的最佳划分；N,,,knsxHkkjkj21，：T21Nx,,x,xx110M,,,jH|xpj，110MRRRR110M,,,j满足成立判决结果和判决概率（共种判决结果，其中种判决是正确的，种判决是错误的。）ijRRRij，10MiiiRRij，R0R1R1MR0H成立1H成立1MH110M,,,j,iH|Hji，2MM1MM110dM,,,j,ixH|xpH|HPiRjji，检测准则决定了判决域的划分;判决域的划分体现了检测准则的性能.3.3贝叶斯准则(英国数学家)3.3.1平均代价的概念和贝叶斯准则1.平均代价C的概念判决概率是影响检测性能的因素之一；判决概率对检测性能影响的大小受先验概率的控制；各种判决所付出的代价是不一样的，为此，我们给每种判决赋定一个代价因子。jiH|HPjiH|HP）（10,jHPj110HPHP）（10,j,icij：为真，判决为的代价；：为真，判决为的代价；：为真，判决为的代价；：为真，判决为的代价。一般情况下：，，即错误的判决代价要大于正确的判决代价。综合考虑上述三个因素，，，我们可以求出平均代价。jiH|HP00C0H0H0H0H01C11C10C1H1H1H1H1000CC0111CCjHP）（10,j,icijC2.贝叶斯准则假设的先验概率已知，各种判决的代价因子指定的情况下，使平均代价最小的准则，就是贝叶斯准则。3.3.2平均代价的表示式(为获得贝叶斯准则)平均代价的基本表示式假设为真下的平均代价假设为真下的平均代价考虑到假设为真的先验概率,得平均代价的基本表示式为(平均风险)jHjHPijcC0H000001010||(3.3.1)CHcPHHcPHH1H101011011||CHcPHHcPHHjHjHP0011CPHCHPHCH1100|(3.3.2)ijjijjicPHPHHCCC,||d,0,13.3.2iijjRPHHpHijxx根据信号检测的基本概念我们知道判决概率的求法为，代入01RRR域和域因为观测空间划分为,对整个观测空间有1,R所以域中的积分可以表示为C这样平均代价的分析式最后表示为现在根据以上平均代价C的分析表示式,来求使平均代价最小的贝叶斯准则的判决表示式.3.3.3最佳判决式平均代价的分析表示式中,第一项、第二项是固定代价，不影响C的极小化；第三项是与判决域有关的可变项。当已知，赋定情况下，如何划分判决域才能使平均代价最小。第三项中，被积函数的两项各自为正函数；积分域为判决假设成立的判决域；这样，当时，判决假设成立；反之，判决假设成立。即于是，归纳、整理得最佳判决式为101111010000||PHccpHPHccpHxx，，ijjcHP0RjHPijcC0H000100111011H|xpccHPH|xpccHP0H1Hdefdef11011001000101ccHPccHPH|xpH|xpxHH1H0H上式称为似然比检验判决式。似然比函数，是假设下，的统计特性的似然函数与之比，它与、无关；它是一维、非负的随机变量函数；它是检验统计量。似然比门限，它由、决定，以达到始终使平均代价最小的目的。最佳判决式的化简似然比检验判决式是可以化简的。化简的目的：使判决式最简单，容易实现，便于性能分析。01defH|xpH|xpx）（10,jHjx1H|xp0H|xpjHPijc1101100100defccHPccHPjHPijcCdefdef11011001000101ccHPccHPH|xpH|xpxHH若含有指数，则判决式两边可取自然对数，形成对数似然比检验，表示为分子、分母可相约，可移项，乘系数等。最终化简为或我们称为检验统计量，它是的最简函数；为检测门限。xlnln10HHx10HHxl10HHxlxlxdefdef11011001000101ccHPccHPH|xpH|xpxHH结论：1.贝叶斯准则最终归结为似然比与门限进行比较或检验统计量与检测门限进行比较。2.把N维空间的判决问题转化为一维空间的判决问题。10HAH;TTNkk2n2n例3.3.1在二元数字通信系统中,假设为时,信源输出为常值正电压,假设为时,信源输出为零电平信号在通信系统传输过程中叠加了高斯噪声n(t),每种信号的持续时间为(0,);在接收端对接收到的信号x(t)在(0,)时间内进行了次独立采样,样本为x(k=1,2...N).已知噪声样本n是均值为零,方差为