结构动力学之多自由度体系的振动问题

COMPANYNAMEm)(xy第七讲多自由度体系的振动问题工程学院海洋工程系刘臻结构动力学多个自由度体系的自由振动结构在受迫振动时的动力响应与结构的动力特性密切相关；另外，当用振型叠加法计算任意干扰力作用下结构的动力响应时，往往要用到自由振动的频率(frequency)和振型(mode)。为此，要需要首先分析自由振动。m1m2mimnyi(t)y2(t)y1(t)yn(t)用刚度法(stiffnessmethod)建立运动方程。根据达朗贝尔原理，考虑质体所产生的惯性力，就将原来的动力问题在形式上转化为静力问题。这样，就可对图示系统的每个自由度列出平衡方程，即系统的运动方程。自振频率和振型的计算11111211222122221200000nnnnnnnnnmykkkymykkkymykkky系统运动方程为：0MyKy上式可简写为：式中，K，M分别为系统的刚度矩阵、质量矩阵，它们通称为系统的特性矩阵。自振频率和振型的计算刚度法无阻尼系统的自由振动方程为：0MyKy设其齐次解为：sin()ytv12Tn式中：这相当于假定各个质体作简谐振动，且振动的频率和初相角都相同，只是振幅不同。将式对t微分两次后可得2sin()ytvsin()tv2()0KM把两式代入平衡方程，并消去各项的公因子得，从此条件可以看出：（1）条件中没有v，这就是说初相角可以是任意值；刚度法（2）条件给出各质体振幅的齐次代数方程组，说明各个质体需要满足这个关系式；（3）振动时，各质体的振幅不应全为零，要得到各个质体振幅不全为零的解，这就要求振幅的系数行列式等于零，即20KM频率方程解之可得2的n个正实根，从而求出n个频率12,,,n如果把这些频率按由小到大的次序12n排列，即构成所谓频率谱。刚度法其中最小的频率1称为最低自振频率，或称基本频率。通常将上述每一个频率所对应的振动都称为主振动，对应于每一个主振动的形状称为主振型。1）如果各质体的初速度为零，而初位移和某一振型成比例，然后任其自然，则系统就按这个振型作简谐自由振动，此解答就相应于该振动的一组特解；刚度法2020/11/1692）如果初始条件是任意的，则任其自然后，系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解表为各个特解之和，即1sin()njjjjytv所以系统的任意振动可以表示为各个主振动的叠加。刚度法例1：质量集中在楼层上，层间侧移刚度如图。k11=4k/3解：1）求刚度系数：m2mmk3k5kk21=-k/3k31=0k12=-k/3k22=8k/15k32=-k/51k13=0k23=-k/5k33=k/5刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]：100010002][330385052015][mMkK11215,03303850522015kmk其中展开得：2η3－42η2＋225η－225＝0解得：η1=1.293，η2=6.680，η3=13.027mk0862.021mk4453.022mk8685.023mk2936.01mk6673.02mk9319.032）求频率：代入频率方程：┃[K]－ω2[M]┃＝03）求主振型：振型方程：（[K]－ω2[M]）{Y}＝0的后两式：（令Y3i=1）0)3(303)8(5221iiiiiYYY（a）013303850522021iiiiiYY0)3(303)8(5221iiiiiYYY0707.130370.65212111293.11YYY1569.0163.0)1(Y0680.3303320.15222212680.62YYY1227.1924.0)2(Y0027.10303027.55212313027.133YYY1342.3760.2)1(Y10.5690.16311.2270.92413.3422.76Yij为正时表示质量mi的运动方向与单位位移方向相同，为负时，表示与单位位移方向相反。柔度法由刚度法振幅方程：([K]－ω2[M]){Y}={0}前乘[K]－1=[δ]后得：([I]－ω2[δ][M]){Y}={0}令λ=1/ω2([δ][M]－λ[I]){Y}={0}得频率方程：┃[δ][M]－λ[I]┃=0利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：其展开式是关于λ的n次代数方程,先求出λi再求出频率ωi可见刚度法、柔度法实质上是相同的，可以互相导出。当计算体系的柔度系数方便时用柔度法（如梁）；当计算体系的刚度系数方便时用刚度法（如横梁刚度为无穷大的多层刚架）。将λi代入([δ][M]－λi[I]){Y(i)}={0}可求出n个主振型。0)(..................)(...)(221122221211212111nnnnnnnnnmmmmmmmmm柔度法例2：质量集中在楼层上，层间侧移刚度如图。δ=1/kδ11=δ解：1）求柔度系数：m2mmk3k5k柔度矩阵[δ]和质量矩阵[M]：100010002][941441111][mMP=1δ21δ31P=1δ32=4δδ22=4δP=1δ13=δδ23=4δδ33=9δδ12=δ21,0942442112][]][[mmmIM030421523展开得:解之:ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151三个频率为：m12936.01m16673.02m19319.033）求主振型：（令Y3i=1）将λ1代入振型方程：（[δ][M]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：0460.720160.921112111YYYY2）求频率：1569.0163.0)1(Y解得：同理可得第二、第三振型例3求图示结构的自振频率及相应的振型。m1m2EIl/2l/2l/2l/2(a)Ø11Ø12(b)Ø12Ø22(c)m(d)m(e)解:这是两个自由度的系统，用图乘法求得柔度系数：226121122231536MdsMdslEIEIEI31212213512MMldsEIEI代入频率方程，并且令得;2133123312233153651203235121536mlmlEIEImlmlEIEI展开行列式得36212122223()44801536(1536)()lmmmmlEIEI;326611212122222223()529()4482153641536()1536()lmmmmlmmlEIEIEI解得从而得第一和第二阶自振频率111221为了确定第一阶振型，可将1代入平衡方程。2211111121212221121122210(1)01mmmm从上式可求出质体振幅间的关系为2111122121112111222221222111mmmm式中，特别是当12mmm时，将此关系代入上述各式，131148EIml2321109.72EIml振型1：振型2：211111222121由上述振型图可知，前者是反对称的，后者是对称的。所以对于对称系统求解频率和振型，可以分别按对称和反对称两种情况，沿对称轴切开取其一半进行计算即可。m1m2Y11Y2121221Ym11121Ymm1m2Y12Y2222222Ym12122Ym主振型的位移幅值恰好为相应惯性力幅值产生的静力位移。对这两种静力平衡状态应用功的互等定理：2122222111212222212211211121)()()()(YYmYYmYYmYYm0))((22212121112221YYmYYm02221212111YYmYYm因为ω1≠ω2主振型之间的第一正交关系主振型的正交性y一般说来，设ωi≠ωj相应的振型分别为：{y(i)}，{y(j)}由振幅方程：([K]－ω2[M]){Y}={0}{Y（j）}T[K]{Y（i）}=ω2i{Y（j）}T[M]{Y（i）}（a）{Y（i）}T[K]{Y（j）}=ω2j{Y（i）}T[M]{Y（j）}（b）{Y（j）}T[K]T{Y（i）}=ω2j{Y（j）}T[M]T{Y（i）}（c）=（b）转置由（a）－（c）得0}]{[}){()()(22iTjjiYMY0}]{[}{)()(iTjYMY0}]{[}{)()()(iTjaYKY式由主振型的正交性y第一正交关系：相对于质量矩阵[M]来说，不同频率相应的主振型彼此是正交的;第二正交关系：相对于刚度矩阵[K]来说，不同频率相应的主振型彼此是正交的;}]{[}{}]{[}{)()(2)()(jTjjjTjYMYYKY如同一主振型:定义：jjjMKMj广义质量Kj广义刚度所以：由广义刚度和广义质量求频率的公式。是单自由度体系频率公式的推广。主振型的正交性y注：①主振型的正交性是体系本身的固有特性，与外荷载无关。②利用正交性来检查主振型是否正确、来判断主振型的形状特征。()1{}{}niiyY用{Y（j）}T[M]前乘niTjiTjYMYyMY1)()()(}]{[}{}]{[}{jjjTjjMYMY}]{[}{)()(③利用正交关系确定位移展开公式中的系数。即，主振型的正交性y④主振型正交性的物理意义：体系按某一主振型振动时，在振动过程中，其惯性力不会在其它振型上作功。因此它的能量便不会转移到别的振型上去，从而激起其它振型的振动。即各主振型可以单独出现。jTjjMyMY}]{[}{)(位移按主振型分解,可将n个耦联运动方程化成n个独立的一元方程求解。(){}[]{}jTjjYMyM由可知()1{}{}niiyY主振型的正交性y（1）柔度法tPqsintPqsiny1y211ym..22ym..PP1P2tymymytymymyPPqqsin)()(sin)()(222222111211222111111）建立振动微分方程tyymymtyymymPPqqsinsin22222221111112221111各简谐荷载频率相同相位相同，否则用其他方法无阻尼的受迫振动－简谐荷载2）动位移的解答及讨论通解包含两部分：齐次解对应按自振频率振动的自由振动，由于阻尼而很快消失；特解对应按荷载频率振动的简谐振动是平稳阶段的纯强迫振动。1122()sin()sinytYtytYtqq设纯强迫振动解答为：代入：tyymymtyymymPPqqsinsin22222221111112221111无阻尼的受迫振动－简谐荷载0)1(0)1(2222221212112122211121PPYmYmYmYmqqqq)1()1(22222121122211210qqqqmmmmD)1(2