线面角的三种求法

线面角的三种求法平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0的角。直线和平面所成角的范围是[0，90]。1、平面的斜线和平面所成的角直接法平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。四面体ABCS中，SA,SB,SC两两垂直，∠SBA=45°,∠SBC=60°,M为AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。（2）SC与平面ABC所成的角。（1）∵SC⊥SB,SC⊥SA,∴SC⊥平面SAB故SB是斜线BC在平面SAB上的射影，∴∠SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。（2）连结SM,CM，则SM⊥AB,又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面SCM,∴面ABC⊥面SCM过S作SH⊥CM于H,则SH⊥平面ABC∴CH即为SC在面ABC内的射影。∠SCH为SC与平面ABC所成的角。sin∠SCH=SH／SC∴SC与平面ABC所成的角的正弦值为√7／7“垂线”是相对的，SC是面SAB的垂线，又是面ABC的斜线.作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。例题例1.如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90，AC=BC=1，PA⊥平面ABC，且PA=2，求PB与平面PAC所成的角.PACB解：PA⊥平面ABCPABC⊥平面PAC又AC⊥BCPAAC=1,PA=2PC=3平面ABCBC⊥平面PACAC=APB与平面PAC所角为∠BPC又BC=1，tan∠BPC=33∠BPC=30CAPB11即BP与平面PAC所成的角为30.利用公式其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。lh/sin所成的角的正弦值与面求，，长方体DCABABAABCABDCBAABCD11111114,23,hDCABB的距离为到平面设点11ABSVVCBBCBBACABB11111131512h得54sin11ABhDCABAB则，所成的角为与面设如图，AO是平面π的斜线，OB⊥平面π于B，AD是π内不与AB重合的直线∠OAB=，∠BAD=，∠OAD=，求证：cos=coscosBADC证明:coscos,1AOABAO则证明：设；coscoscosABAC；中在cosAOACOACRtOcoscoscos最小角定理例3.已知直线OA,OB,OC两两所成的角为60°,求直线OA与面OBC所成的角的余弦值。OαDACB解：∵∠AOB=∠AOC∴OA在面OBC内的射影在∠BOC的平分线OD上，则∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知∠DOC=30°,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC∴cos60°=cos∠AOD·cos30°∴cos∠AOD=√3／3∴OA与面OBC所成的角的余弦值为√3／3。练习1.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面成角，B是A在上的射影,OD是内的直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则sin=。BAODC解:由最小角原理得36coscoscosBODAODcos30cos60cos即33cos