北航2014级硕士研究生应用数理统计答案(B卷)

北京航空航天大学研究生课程试卷B-1-2014－2015学年第一学期期末试卷答案学号姓名成绩考试日期：2015年1月13日考试科目：《应用数理统计》（B层）一、填空题（本题共16分，每小题4分）1．设122,,nxxx，是来自正态总体2(,)N的简单样本，则cnmm时，统计量2221122211()()mkkknkkkmxxcxx服从F分布。2.设12,,nxxx，是来自正态总体2(0,)N的简单样本，用22211ˆ()niinxxn估计2，则均方误差2222ˆ()E42。3．设总体X的密度函数为22,[0,](;)0,[0,]xxpxx，其中0，12,,,nxxx是来自总体X简单样本，则2()q的矩估计ˆq294x或212niixn。4．在双因素方差分析中，总离差平方和TS的分解式为TABABeSSSSS其中2111()pqreijkijijkSxx，11rijijkkxxr，则eS的自由度是(1)pqr或北京航空航天大学研究生课程试卷B-2-npq，其中npqr。二、（本题12分）设总体X的密度函数为111,(0,1)(;)0,(0,1)xxfxx，其中0，12,,,nxxx是来自总体X的简单样本。（1）求的极大似然估计ˆ；（2）求的一致最小方差无偏估计；（3）问的一致最小方差无偏估计是否为有效估计？证明你的结论。解（1）似然函数为(1)()11{01}1211()()(,,,)nnixxnniLxIxxx对数似然函数为(1)(){01}1211ln()ln(1)lnln(,,,)nnixxniLnxIxxx求导，有21ln()1lnniiLnx令ln()0L，可得的极大似然估计为11ˆlnniixn。（2）因为(1)()1112{01}1211(,,,;)()(,,,)nnnixxnnifxxxxIxxx(1)(){01}12111(,,,)exp{(1)ln}nnxxniniIxxxx令1()nc，(1)(){01}12()(,,,)nxxnhxIxxx，1()1w，1lnniiTx，由于()w的值域(0,)有内点，由定理2.2.4知1lnniiTx是完全充分统计量。而11101(ln)(ln)iExxxdx北京航空航天大学研究生课程试卷B-3-所以11(ln)(ln)nniiiiExExn因而11ˆlnniixn既是完全充分统计量1lnniiTx的函数，又是的无偏估计，由定理2.2.5知11ˆlnniixn是一致最小方差无偏估计。（3）由于11ˆ()(ln)VarVarxn，而22111(ln)(ln)((ln))VarxExEx11122201(ln)xxdx所以21ˆ()Varn。又因为当(0,1)x时，2223ln(;)12lnfxx，所以222ln(;)1()()fxIE从而22()ˆ()()VarnnI，即信息不等式等号成立，故11ˆlnniixn是的有效估计。三、（本题12分）设nxxx,,,21是来自正态总体20(,)N的简单样本，其中20是已知常数，是未知参数。考虑假设检验问题0010::HH（1）求显著性水平(01)下的似然比检验；（2）求犯第二类错误的概率。解：（1）当0时，的极大似然估计为0ˆmin{,}x似然比统计量为北京航空航天大学研究生课程试卷B-4-01212120sup{(,,,;)}(,,,)(,,,;)nnnpxxxxxxpxxx0200201,1exp{()},2xxxn令020xUn，则012201,(,,,)1exp{},2nxxxxUx即1221,0(,,,)1exp{},02nUxxxUU由于12(,,,)nxxx的最小值是1，所以当0H成立()x远离1时拒绝0H，即()xc拒绝0H，只有在0U时才能获得，因而有001{()}{}PxcPUc又由于0H成立时，U服从(0,1)N，因此11cuu。故似然比检验的统计量可取为020xUn，拒绝域为012120{(,,,):}nxWxxxUun。（2）二类错误的概率为0112200{}{}xPUzPunn01201()un，0北京航空航天大学研究生课程试卷B-5-四、（本题10分）考虑某四因子二水平试验，除考察因子DCBA,,,外，还需考察交互作用BA，AC。今选用表)2(78L，表头设计及试验数据如表所示，所考虑指标是越小越好。试用极差分析方法指出因子的主次顺序和较优工艺条件。1jK3.84.083.624.054.214.053.972jK4.13.824.283.853.693.853.93jR0.30.260.660.20.520.20.04因素影响主次BA，AC；A，B，C；D最优方案1A1B2C2D1B2B1A1.822A2.281.821C2C1A2.081.72列号试验号ABBACACD1234567实验数据12345678111111111122221221122122221121212122122121221122122121121.020.781.060.941.121.160.850.97北京航空航天大学研究生课程试卷B-6-2A1.972.13五、（本题10分）随机向量),,(321xxx的相关系数矩阵111R（1）根据主成分75%的选取标准，若只选取一个主成分，求满足的条件。（2）试求第一主成分。解：（1）求特征根21||1(1)(12)1IR令||0IR，可得112，21，11。若只选取一个主成分，只要1123120.83，即0.7。（2）求解齐次线性方程组1232202uuu可获得对应于特征值112的单位特征向量为111(,,)333，则第一主成分为1123111333yxxx。北京航空航天大学研究生课程试卷B-7-