数学方法论-第六讲-等价变换原则

我们经常需要通过试验对问题作各种修改。我们必须一再地变化它，重新叙述它，变换它，直至终于成功地找到某些有用的东西为止。－－波利亚一、等价变换原则的含义（一）等价（二）等价类（三）等价变换（四）等价变换原则二、等价变换的种类（一）等量变换（二）恒等变换（三）同解变换（四）相似变换（五）等积变换（六）映射变换三、等价变换的作用（一）等量变换（五）等积变换（六）映射变换四、等积变换例1如图，一个边长为1的正方形内有一内切圆，圆内又有一内接正方形，求这个正方形的面积？ABCCDEF2AD8BFABCCDEF例2在直角三角形中，是正方形，厘米，厘米，求直角三角形和正方形的面积。ABCDEFGMNEBFBENSSAEDEAMSSCDEFEMGNSS2816CDEFEMGNSS4CDDEEFFC11(24)(84)3622ABCSACBCABC:2:5BCACBDECACFGABCBDEC3:4CEF例3中，，四边形和四边形都是正方形。已知与四边形面积的比是，那么，的面积与整个图形面积的比是多少？ACDBGFEA3ABCS4BDECS25ACFGSABCCEFSS3425323:32OAOB6OAOB90BOA例4如图，、分别是小半圆的直径，且，，阴影部分的面积为多少平方厘米。ABOCABOC166182AOBS例5如图三角形ABC的面积等于1平方厘米，AE=ED，DC=3BD。则三角形AEF的面积与三角形CED的面积之和等于（）。ABCDEF例6ABCD是边长12厘米的正方形，E、F分别是BC、CD的中点，BF与DE相交于G，则四边形ABGD的面积_______。ABCDEFGBCFDCESSDGFCGFSSBGECGESSCGECGFSSBGEDGESS等价变换原则绝不仅仅适用于面积计算问题的，在小学数学解题的其它方面也有着十分广泛地应用。比如，四则运算中的运算性质、分数的性质、比和比例等等。如图所示，在△ABC中，BD=2DC，AE=2ED，FC=7，那么，AF=（）。1DFCS43ABFCBFSS283AF43AFFCABCDFE1ABCS如图所示，已知FEEC13AFAB求。，，，ABCEFDAEFSFEEC12AFEAFCSS13AFAB13AFCABCSS1111()2366AFEABCABCSSS225ABCScmAEED2BDDC____AEFBEDSSCDEF设，，。则，四边形面积等于____。ABCEFD1DFCSAEBDEBSS2BFDDFCSSAEFDEFSS2BFDAFBSS210()DEFBEDSScm210()BFDAFBSScm25()DFCScm21252555()3333ACDABCAFDEFDSSSScmCDEF25205()33cm所以，四边形面积