非齐次泊松过程定义

概率统计与随机过程宋晖–2013年秋第七章泊松过程泊松过程定义时间间隔和等待时间非齐次泊松过程复合泊松过程•泊松过程是一类较为简单的时间连续、状态离散的随机过程•泊松过程用于刻画“顾客流”、“粒子流”、“信号流”等概率特性•泊松过程在物理学、地质学、生物学、医学、计算机等领域都有广泛的应用}),({TttN•,参数集T是连续的，N(t)是离散的泊松过程计数过程定义：称随机过程{N(t),t0}为计数过程，若N(t)表示到时刻t为止已发生的“事件A”的总数，且N(t)满足下列条件:(1)N(t)0；(2)N(t)取正整数;(3)若st，则N(s)N(t);(4)当st,N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的“事件A”的次数。•若t1t2t3t4，则在(t1,t2]内事件A发生的次数N(t2)-N(t1)与在(t3,t4]内时间A发生的次数N(t4)-N(t3)相互独立，此时计数过程N(t)是独立增量过程•若计数过程N(t)在(t,t+s]内(s0)，事件A发生的次数N(t+s)-N(t)仅与时间差s有关，而与t无关，则计数过程N(t)是平稳独立增量过程1)如果N(t)等于正在或早于时间t进入一个特定的商店的人，那么{N(t),t0}是一个计数过程2)如果1个婴儿诞生，则一个事件发生，N(t)等于时间t之前诞生的总人口数，那么{N(t),t0}是一个计数过程3)如果N(t)等于给定的足球运动员在时间t前进球的个数，那么{N(t),t0}是一个计数过程计数过程实例S2S3S4S5第一个信号到达S1S6第二个信号到达第三个信号到达…………N(t)t0描述信号流定义A：如果取非负整数值的计数过程{N(t),t0}满足：1.N(0)＝0；2.N(t)是独立增量过程3.对任意0st,N(t)-N(s)服从参数为(t-s)泊松分布,即：则称{N(t),t0}为参数为的(齐次)泊松过程。,2,1,0,!)]([}{)(kekstkN(t)-N(s)Pstk=E[N(t)]/t：表示单位时间内事件A发生的平均个数称为此过程的速率或强度根据条件(3)1)令s=0，有：2)泊松过程是平稳增量过程3)E[N(t)]=定义B:如果取非负整数值的计数过程{N(t),t0}满足下列条件：a)N(0)＝0；b)N(t)是独立、平稳增量过程；c)P{N(h)=1}＝h+o(h)；d)P{N(h)2}＝o(h)则称{N(t),t0}为参数为的(齐次)泊松过程。例：考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼唤。令N(t)表示电话交换台在(0,t]内收到的呼唤次数,则{N(t),t0}满足定义B的条件,故{N(t),t0}是一个泊松过程.例：考虑到某车站售票窗口购买车票的旅客,若记N(t)为在时间[0,t]内到达售票窗口的旅客数,则{N(t),t0}为一泊松过程泊松过程的定义A与B等价证明:1)定义B⇒定义A,2)定义A⇒定义BBA：条件1)与a)相同。条件2)由b)直接得到。只要证明：N(t)(t0)服从参数为t泊松分布。设Pk(t)＝P{N(t)=k}，利用归纳法证明：1}0)0({)0()()('0000NPptptph得，令,2,1,0,!)()(kekttptkkk=0，P0(t+h)＝P{N(t+h)=0}＝P{N(t)=0,N(t+h)-N(t)=0}＝P{N(t)=0}P{N(t+h)-N(t)=0}＝P0(t)[1-h+o(h)]1-P{N(t+h)-N(t)=1}根据：P{N(h)=1}＝h+o(h)hhotPhtPhtP)()()()(000k≥1，Pk(t+h)＝P{N(t+h)=k}kjj}kN(t)h)N(tjP{N(t)0,201100kjjkjkkkjjkj(h)(t)pp(h)(t)pp(h)(t)pp(h)(t)pp＝Pk(t)[1-h+o(h)]+Pk-1(t)[h+o(h)]+o(h),)()()()()(1hhotptphtphtpkkkk),2,1,0(,0})0({)0()()()('01kkNPptptptphkkkk得，令k=1时,),2,1,0(,0})0({)0()()()('01kkNPptptptphkkkk得，令0)0()()('111petptpt解得：P1(t)＝te-t，所以k=1时结论成立。假设k-1时结论成立,tkkekttp)!1()()(110)0()()()('1kkkkptptptp解：tkkekttp!)()(得：故结论对任意k≥0成立。到达间隔时间的分布考虑泊松过程{N(t),t0}，Tn记在第n-1个事件与第n个事件之间用去的时间。序列{Tn,n=1,2,…}称为到达时间间隔序列。S2S3S4S5S1S6N(t)t0T2T1T3到达时间间隔序列Tn，考虑n=1事件{T1t}发生当且仅当在[0,t]内没有事件发生T1服从均值为1/λ的指数分布考虑n=2T2服从均值为1/λ的指数分布tesNtsNPNsNsNtsNPsTtssPsTtTPtTP)0)()((}1)0()(|0)()({}|],({}|{}{1122内没有事件发生在定理：序列{Tn,n=1,2,…}是独立同分布、均值为1/λ的指数随机变量（严格证明略）分布函数为：概率密度函数为：对于任意n0和t,s1,s2,…,sn-10,有P{Tnt|T1=s1,…,Tn-1=sn-1}=P{N(t+s1+…+sn-1)-N(s1+s2+…+sn-1)=0}=P{N(t)-N(0)=0}=e-t所以对任一Tn(n0),其分布是参数为的指数分布。等待时间的分布考虑泊松过程{N(t),t0}，第n个事件到达的时间Sn，序列{Sn,n=1,2,…}称为第n个事件的等待时间。1,1nTSniintSntNn)(njjtnsjtentNPtSPtFn!)())(()()()!1()()(1ntetfntsnSn服从参数为n和λ的伽玛分布参数为n与λ的Γ分布又称爱尔兰（Erlang）分布，它是n个相互独立且服从指数分布的随机变量之和的分布。例：假设每秒钟IP包以速率为λ=1的泊松分布到达某路由器。（1）直到第10个IP包到达的时间期望是多少？（2）第10个IP包到达和第11个IP包到达之间的时间超过2秒的概率是多少？秒10/10)(E10S解:(1)第10个IP包的到达时间S10，Sn服从参数n与λ的Γ分布期望：n/λ,方差：n/λ2(2)第10~11个IP包到达之间的时间超过2秒时间间隔超过2秒的概率=P{T112}133.0)2(1)2(21111eTPTP泊松事件的分解考虑一个速率为λ的泊松过程{N(t),t0}，发生的事件分为A类和B类事件。假设每个事件独立于所有其他事件，A类事发生概率为p，B类事件发生概率为1-p。定理：{N1(t),t0}和{N2(t),t0}两者分别是速率为λp和λ(1-p)的泊松过程，且这两个过程是彼此独立的。推广：独立泊松随机变量的和本身也是泊松随机变量例：假设客户对售出的某产品的非负出价以速率为λ的泊松过程到达，而每次出价是具有密度函数f(x)的随机变量值。可以设定特定y，当出价超过y时，接受报价成交。假定卖出产品之前，每个单位时间的费用为c。那么卖出产品后期望回报最大的最优y值是多少？解:出价为随机变量X，那么xy的概率为：ydxxfyXPyF)()()(出价大于y的事件Ny为按速率到达的泊松过程。)(yF接受出价的总回报：R(y)=(X|Xy)–c*一个Ny事件到达的时间目标：E(R(y))最大时间间隔Tn][]|[)]([ncTEyXXEyRE)(/)()()()()()(0|yFcdxxxfyFcdxyFxfxyFcdxxxfyyyXX0)]([yREdyd对E(R(y))求导所以y的最优值满足：yyyycdxxfyxcdxxxfdxxfycdxxxfyFy)()()()()()(或或时间间隔Tn，指数分布的期望到达时间的条件分布假设在[0,t]内事件A已经发生1次，确定这一事件到达时间S1的分布对于s≤t,)1)(()1)(,()1)(|(11tNPtNsTPtNsTP)1)(()0],(,1],0([tNPtssP个事件中个事件中)1)(()0],((1],0([tNPtsPsP个事件中个事件）中tsteesetsts)(事件发生的时间均匀分布在[0,t]上定理：给定N(t)=n,n个到达时间S1,…,Sn与n个在(0,t)上均匀分布的独立随机变量所对应的次序统计量有相同的分布。))((),,...,()|,...,(11ntNPnssfnssfnntsstnnteeeeennntstsssssnnn...0,!!/)(...1)()()(1121非齐次泊松过程定义：称计数过程{N(t),t≥0}为具有跳跃强度函数λ(t)的非齐次泊松过程，如果满足：(1)N(0)=0;(2)N(t)是独立增量过程;(3))(}2)()({)()(}1)()({hotNhtNPhottNhtNP可以证明:为非齐次泊松过程的均值函数。定义：称计数过程{N(t),t≥0}为具有跳跃强度函数λ(t)的非齐次泊松过程，则0!)]()([})()({)]}()([{nentmstmntNhtNPtmstmn或：0!)]([})({)(nentmntNPtmntdxxtm0)()(其中：例：某路公共汽车从早晨5时到晚上9时有车发出，乘客流量为λ(t)(t=0为早晨5时，t=16为晚上9时)假设乘客数在不相重叠时间间隔内是相互独立的，求12时至14时有2000人来站乘车的概率，并求这两小时内来站乘车人数的数学期望。解：12时至14时为t∈[7,9]，在[0,t]内到达的乘车人数N(t)服从参数为λ(t)的非齐次泊松过程。12时至14时乘车人数的数学期望为12时至14时有2000人来站乘车的概率为：979728001400)()7()9()}7()9({dsdssmmNNE!2000)2800(}2000)7()9({20002800eNNP复合泊松过程定义：设{N(t),t≥0}是强度λ的泊松过程，{Yk,k=1,2,…}是一列独立同分布随机变量，且与{N(t),t≥0}独立，令则称为复合泊松过程。例：设N(t)是在[0,t]内来到某商店的顾客数，Yk是第k个顾客的花费，则是[0,t]内的营业额为复合泊松过程。例：某保险公司买了人寿保险的人在时刻S1,S2,…死亡，在Sn时刻死亡的人的保险金额是Yn，在(0,t]内死亡的人数记为N(t)，则该公司在(0,t]内需要支付的赔偿金总额是复合泊松过程。定理：设复合泊松过程则：(1){X(t),t≥0}是独立增量过程；(2)X(t)的特征函数λ是事件的到达率，gY(u)是随机变量Y1的特征函数；(3)若E(Y12)∞，则：0,)()(1tYtXtNkk作业给出泊松过程定义等价证明的另一部分定义A⇒定义B