高一数学函数的单调性知识点

高一数学函数单调性一、函数单调性知识结构【知识网络】1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用二、重点叙述1.函数单调性定义(一)函数单调性概念(1)增减函数定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2:如果当x1＜x2时,都有f(x1)＜f(x2),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数;如果当x1＜x2时,都有f(x1)＞f(x2),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。(2)函数单调性的内涵与外延⑴函数的单调性也叫函数的增减性。函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D,①x1＜x2,且f(x1)＜f(x2),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性)②y=f(x)在区间D上是增函数,且x1＜x2,f(x1)＜f(x2);(可用于比较函数值的大小)③y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1)＜f(x2),x1＜x2。(可用于比较自变量值的大小)2.函数单调性证明方法证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。(1)定义法:利用增减函数的定义证明。在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比较)。⑴转化为求差比较证明程序:①设任意的x1、x2∈D,使x1＜x2;②求差—变形—判断正负;此为关键步骤,变形大多要“因式分解”。求差:;变形:化简、因式分解;判断:差的符号的正或负。③下明确结论。⑵转化为求商比较证明程序:①设任意的x1、x2∈D,使x1＜x2;②求商—变形—判断小于或大于1;此为关键步骤,变形要注意“因式分解”。求商:;变形:化简、因式分解;判断:小于或大于1。③下明确结论,要注意商的分母的正负。(2)导数法:利用函数单调性与可导函数的正负性关系证明。设可导函数在定义域的某个区间(a,b)内,如果0xf,那么函数f(x)在这个区间内单调递增;如果0xf,那么函数f(x)在这个区间内单调递减。求导证明函数单调性的程序:①求函数的导数;②把导函数xf变形,化简,因式分解,判断正负;③下明确结论。3.函数单调性的判断方法(1)判断函数单调性的方法:①定义法(即比较法);②图象法;③复合函数单调性判断法则;④运算法;⑤导数法。实际上,用导数方法证明,求解或判断一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来判定解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。(2)判断函数单调性的一些常用的结论:①奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同;②偶函数在其对称区间上的单调性相反;③单调函数必有反函数(现教材没此概念),且单调性一致;④函数是奇函数,在某区间上递增;则在对称区间上是递减。(3)函数单调性判断方法介绍[1]、图象法:画函数y=f(x)的图象,看在某区间D上,y的值随x值的增大而增大还是减少,从而做出函数单调性的判断。[2]、定义法:利用增减函数的定义判断。在判断过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比较)。⑴转化为求差比较判断程序:①设任意的x1、x2∈D,使x1＜x2;②求差—变形—判断正负;此为关键步骤,变形多要“因式分解”。求差:;变形:化简、因式分解;判断:的符号正或负。③下明确结论。⑵转化为求商比较判断程序:①设任意的x1、x2∈D,使x1＜x2;②求商—变形—判断小于或大于1;此为关键步骤,变形要注意“因式分解”。求商:;变形:化简、因式分解;判断:小于或大于1。③下明确结论,要注意商的分母的正负。[3]、复合法:复合函数y=f(g(x))在某区间D上的单调性,取决于函数y=f(U)与函数U=g(x)在其相应区间上的单调性,可归纳为:g(x)增增减减f(U)增减增减f(g(x))增减减增即奇个“减”为减;偶个“减”为增或同增异减。复合法判断程序:①把复合函数分解已知其单调性的基本函数g(x)和f(U);②判断函数g(x)和f(U)在各自相应区间上的单调性;③合成(奇个“减”为减;偶个“减”为增或同增异减),下结论。[4]、运算法:函数f(x)、g(x)在公共定义域内:增函数+增函数是增函数;减函数+减函数是减函数;增函数-减函数是增函数;减函数-增函数是减函数。[5]、导数法:利用函数单调性与可导函数的正负性关系判断。设可导函数在定义域的某个区间(a,b)内,如果0)(xf,那么函数f(x)在这个区间内单调递增;如果0)(xf,那么函数f(x)在这个区间内单调递减。求导判断函数单调性的程序:①求函数的导数;②把导函数)(xf进行变形,化简,因式分解,判断正负;③下明确结论。4.函数单调性的应用(1)判断证明函数单调性:按函数单调性的“判断方法”或“证明方法”的程序进行。(2)比较大小;①比较函数值大小:若函数y=f(x)在区间D上是递增函数,且x1＜x2,则f(x1)＜f(x2);若函数y=f(x)在区间D上是递减函数,且x1＜x2,则f(x1)＞f(x2)。②比较自变量值大小:若函数y=f(x)在区间D上是递增函数,且f(x1)＜f(x2),则x1＜x2;若函数y=f(x)在区间D上是递减函数,且f(x1)＜f(x2),则x1x2。(3)解方程与不等式若函数y=f(x)在R上是递增函数,f(g(x))≤f(q(x)),则g(x)≤q(x);若函数y=f(x)在R上是递减函数,f(g(x))≤f(q(x)),则g(x)≥q(x)。(4)求值域、极值、最值①求值域:若函数y=f(x)在定义域(a,b)上递增,则函数值域为(f(a),f(b));若函数y=f(x)在定义域(a,b)上递减,则函数值域为(f(b),f(a))。若函数y=f(x)在定义域[a,b]上递增,则函数值域为[f(a),f(b)];若函数y=f(x)在定义域[a,b]上递减,则函数值域为[f(b),f(a)]。②求极值:Ⅰ、极值定义:⑴极大值:一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x0)＞f(x),就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0),x0是极大值点。⑵极小值:一般地,设函数f(x)在x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)f(x0),就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0),x0是极小值点。⑶极值:极大值与极小值统称为极值。Ⅱ、方法1:若函数y=f(x)在(a,b)上递增,在(b,c)上递减,且f(b)存在,则f(b)是函数y=f(x)的极大值,点b是函数y=f(x)的极大值点;若函数y=f(x)在(a,b)上递减,在(b,c)上递增,且f(b)存在,则f(b)是函数y=f(x)的极小值,点b是函数y=f(x)的极小值点。Ⅲ、方法2:若函数y=f(x)在(a,b)内,在(b,c)内,且f(b)存在,则f(b)是函数y=f(x)的极大值,点b是函数y=f(x)的极大值点;若函数y=f(x)在(a,b)内,在(b,c)内,且f(b)存在,则f(b)是函数y=f(x)的极小值,点b是函数y=f(x)的极小值点。③求最值:Ⅰ、最值定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:⑴对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;⑵存在xo∈I,使得f(xo)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最大值。一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:⑴对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;⑵存在xo∈I,使得f(xo)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最小值。Ⅱ、方法1:若函数y=f(x)在定义域[a,b]上递增,则函数的最大值为f(b),最小值为f(a);若函数y=f(x)在定义域[a,b]上递减,则函数的最大值为f(a),最小值为f(b)。Ⅲ、方法2:若函数y=f(x)在定义域[a,b]上连续,则①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;②求函数在端点的函数值f(a),f(b);③将函数y=f(x)的个极值与端点函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。如图,定义在[a,b]上的连续函数y=f(x),求得极值为f(x1)、f(x2),求得定义域端点的函数值为f(a)、f(b),则函数的最大值与最小值分别由f(x1)、f(x2)、f(a)、f(b)中的最大最小值确定。