著名机构高二数学理科秋季班讲义第1讲-立体几何初步.删解析

1第1讲·提高-尖子-目标·教师版当前形势空间几何体在近五年北京卷（理）考查10分高考要求内容要求层次具体要求ABC柱、锥、台、球及其简单组合体√认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．三视图，斜二侧法画简单空间图形的直观图√能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型；通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图．北京高考解读2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）第4题5分第16题5分第5题5分第16题5分第7题5分第16题5分第7题5分第16题5分第14题5分第16题5分备注：北京高考第16题一般都是14分，第一问考查空间几何体中的平行与垂直关系．新课标剖析满分晋级第1讲立体几何初步立体几何5级空间向量与立体几何立体几何6级立体几何初步立体几何7级立体几何之平行问题2第1讲·提高-尖子-目标·教师版教师备案暑期学过空间几何体的概要，初步了解了柱、锥、台和球的结构特征以及它们的表面积和体积的求法，本板块进行简单的回顾．1．下列说法正确的是（）A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥B．有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台C．有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱D．棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形【解析】D2．将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为（）暑期知识回顾空间几何体棱柱棱锥棱台圆柱圆锥圆台空间几何体的基本元素：点、线、面．平面：无限延展、平滑且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示．用，，命名，或用大写字母表示：如平面ABCD或平面AC．多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体，其中这些多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边叫棱，棱的公共点叫顶点，连结不在同一个面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．截面：一个几何体与一个平面相交所得到的平面图形（包括平面图形的内部）．棱柱的定义，相关概念、性质、分类、记法及特殊的四棱柱；Sch直棱柱侧面积，ShV直棱柱，其中c为直棱柱的底面周长，S为底面积，h为高；棱锥的定义、相关概念、特征、记法和分类，以及正棱锥的性质；1122Snahch正棱锥侧，13VSh锥体，a为底面边长，c为底面周长，h为斜高；棱台的定义、相关概念、记法、以及正棱台的性质；（h为高，h为斜高）11()()22Snaahcch正棱台侧，1()3VhSSSS台体．（SS，为底面面积）旋转体的基本概念：轴、高、底面、侧面、侧面的母线；圆柱的定义，记法和性质，2πVrh圆柱；r为底面半径，h为高；圆锥的定义，记法和性质，21π3Vrh圆锥；r为底面半径，h为高；圆台的定义，记法和性质，221π()3Vhrrrr圆台．rr，为底面半径，h为高；球球面：一个半圆周绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，也可看做空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合；球：球面围成的几何体，也称球体，有球心、半径、直径的概念；球的表面积及体积公式：24πSR球，34π3VR球；大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆叫球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫球的小圆；球面距离：球面上两点间的最短距离，是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度．3第1讲·提高-尖子-目标·教师版A．1:2B．1:3C．1:4D．1:5【解析】D3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（）A．7B．6C．5D．3【解析】A4．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三部分，则圆锥被分成的三部分的体积的比是（）A．1:2:3B．1:7:19C．3:4:5D．1:8:27【解析】B5．一个底面棱长为2的正四棱锥，连接两个相邻侧面的重心E、F，则线段EF的长为_______．【解析】2236．等体积的球和正方体，它们的表面积的大小关系是S球___S正方体．【解析】7．一个长方体的全面积是220cm，所有棱长的和是24cm，则长方体的对角线长为______．【解析】4．8．在半径为6的球的内部有一点，该点到球心的距离为4，过该点作球的截面，则截面面积的最小值是（）A．11πB．20πC．27πD．32π【解析】B考点1：多面体和旋转体的表面积及体积1．多面体的表面积和体积公式名称侧面积S侧全面积S全体积V棱棱柱直截面周长l2SS侧底Sh底1.1空间几何体的表面积及体积知识点睛4第1讲·提高-尖子-目标·教师版柱直棱柱chSh底棱锥棱锥各侧面面积之和SS侧底13Sh底正棱锥12ch棱台棱台各侧面面积之和SSS侧上底下底13hSSSS上底下底上底下底正棱台12cch表中S表示面积，c、c分别表示上、下底面周长，h表示高，h表示斜高，l表示侧棱长．教师备案多面体的表面都可以都可以展开成平面图形，求多面体的表面积可转化为求平面图形的面积．多面体的体积的推导是用“祖暅原理”，充分体现了空间与平面相互转化的思想．本版块重点是表面积和体积公式的应用．三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当作底面来处理，此方法叫做等积法，求体积的时候要注意灵活选择底面．2．旋转体的表面积和体积公式名称侧面积S侧全面积S全体积V圆柱2πrl2πrlr2πrh（即2πrl）圆锥πrlπrlr21π3rh圆台12πrrl221212ππrrlrr2211221π3hrrrr球24πR34π3R表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥的底面半径，1r、2r分别表示圆台的上、下底面半径，R表示球的半径．教师备案圆柱、圆锥和圆台的表面也可以展开成平面图形，重点仍然是表面积和体积公式的应用．提高班学案1【铺1】⑴已知六棱锥PABCDEF的底面是边长为2的正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心，且3PA，则该四棱锥的表面积为_____________，体积为_________．⑵正棱锥的高增为原来的n倍，底面边长缩为原来的1n，那么体积（）A．缩为原来的1nB．增为原来的n倍C．没有变化D．以上结论都不对【解析】⑴63122，215；⑵A；【例1】⑴若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）A．26B．23C．33D．23⑵如图，点E、F分别在单位正方体1111ABCDABCD的1AA、经典精讲FED1C1B1A1DCBA5第1讲·提高-尖子-目标·教师版1BC上，则三棱锥1DEDF的体积为________．⑶已知三个球的半径1R、2R、3R满足12323RRR，则它们的表面积1S、2S、3S满足的等量关系是__________⑷已知平行四边形两邻边的长a和b，当它分别绕边a，b旋转一周时，所形成的几何体的体积之比为（）A．baB．abC．3baD．3ab【追问】三角形三条边长分别为abc，，，当它分别饶三边旋转一周时，所形成的几何体的体积之比为（）A．::abcB．222::abcC．333::abcD．111::abc【解析】⑴B；⑵16；⑶12323SSS；⑷A【追问】D．考点2：几何体的表面积体积综合教师备案求几何体的表面积和体积，很多时候只需要知道简单的公式就行了，属于中、低档题，因此在高考中比较常见．提高班学案2【铺1】如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则Rr．【解析】233；【例2】⑴圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图①所示），则球的半径是cm．⑵如图②所示，一个正三棱柱形容器，高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图③所示，这时水面恰好过棱1111ACBCACBC，，，的中点，则图②中水面的高度是_________．经典精讲6第1讲·提高-尖子-目标·教师版C1B1A1CBABACB1C1A1图①图②图③【解析】⑴4；⑵32a；尖子班学案1【拓2】有一个圆锥形容器正放，它的高为h，圆锥内水面的高度为1h，113hh，将圆锥倒置，求倒置的水面高度2h．【解析】32193hh．目标班学案1【拓3】如图1所示，在直三棱柱形的筒里装着水，这个直三棱柱的展开图如图2所示：现在，如图1所示，将直三棱柱的A面作为底面，放在水平的桌面上，水面高度是2cm；若将直三棱柱的B面作为底面，放在水平的桌面上，则水面高为厘米．【解析】32；【备选】如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有V升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2）．有下列四个命题：A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P7第1讲·提高-尖子-目标·教师版D．若往容器内再注入V升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是：（写出所有真命题的代号）．PP图2图1【解析】B、D；1．简单组合体：由柱体、锥体、台体和球体等简单几何体组合而成的几何体．2．简单组合体构成的基本形式：由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成．教师备案组合体是空间几何体的难点，特别是球体与其它几何体的组合，首先要了解它是由哪些基本几何体构成，明确切点（内切）或接点（外接）的位置，确定有关元素间的数量关系，然后通过相关截面分析和解决问题．对于球与旋转体的组合，一般作轴截面的图进行分析；对于球体与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或切点（接点）作截面图来分析，将立体几何问题转化为平面几何问题来解决．考点3：简单几何体的内切球与外接球【例3】⑴一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为123，，，则此球的表面积等于．⑵正方体全面积为24，求它的外接球、内切球以及与它的各条棱都相切的球的表面积．⑶圆台的内切球半径为R，且圆台的全面积和球的表面积之比为218，求圆台的上，下底面半径12rr，（12rr）．【解析】⑴14π；⑵它的内切球的表面积为24π14π，外接球的表面积为24π312π，与各棱相切的球的表面积为24π28π．【点评】正方体的外接球的球心与正方体的中心重合除了通过对称性考虑外，可以严格的推导，因为正方体的八个顶点都在球面上，故球心到这八个点的距离都相等，从而它必在过各个面的中心的垂线上，从而只能是正方体的中心．这对长方体的外接球也同样适用．同样可考虑正方体的内切球球心，它与正方体六个面的距离都相等．1.2组合体经典精讲8第1讲·提高-尖子-目标·教师版⑶12Rr，22rR．尖子班学案2【拓2】若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是．【解析】9π；目标班学案2【拓3】一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，那么这个球的体积为_________．【解析】43；考点4：正四面体的内切球与外接球【例4】⑴如果正四面体ABCD的外接球的体积为43π，则四面体的体积为_______．⑵如果正四面体ABCD的内切球的体积为43π，则四面体的体积为_______．【追问】如果与正四面体的各条棱都相切的球的体积为43π，求四面体的体积．⑴83；⑵72；【追问】83【探究】正四面体的内外切球与正四面体棱长的关系：当正四面体的棱长为a时，求它的内切球半径r与外接圆半径R．由正四面体的对称性知，内切球与外接球的球心重合，都为正四面体的中心，记为O．法一：如图3，将正四面体ABCD置于正方体中，正四面体的外接