振动力学(两自由度系统和多自由度系统)

1振动理论及应用第3章多自由度系统的振动第3章多自由度系统的振动主讲：沈火明2振动理论及应用第3章多自由度系统的振动单自由度系统振动问题，在我们所讨论的范围内是线性定常方程。而多自由度系统则是二阶多元联立微分方程组，各广义坐标间存在相互“耦合”现象。所谓耦合，就是变量之间互相联系。由于这种耦合，使微分方程的求解变得非常困难。因此，分析多自由度系统振动问题的重要内容之一就是如何将方程“解耦”，然后按单自由度的分析方法求解。两自由度是多自由度系统最简单的情况。3振动理论及应用第3章多自由度系统的振动建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样,但难度更大。3.1.1运动微分方程3.1两自由度系统的振动方程——刚度矩阵和质量矩阵标准的m-k-c系统，对每一质量利用牛顿定律得：4振动理论及应用第3章多自由度系统的振动坐标原点仍取在静平衡位置写成矩阵形式1111111)(xcxktFxm212212()()kxxcxx2323222)(xcxktFxm212212()()kxxcxx)}({}]{[)]{[}]{[tFxKxCxM5振动理论及应用第3章多自由度系统的振动式中：22211211][mmmmM2100mm22211211][ccccC322221cccccc22211211][kkkkK322221kkkkkk21}{xxx)()()}({21tFtFtF6振动理论及应用第3章多自由度系统的振动[M]称为系统的质量矩阵，[K]称为刚度矩阵，[C]称为阻尼矩阵，{x}为系统的位移列阵，{F(t)}为外激励列阵。对于其它形式的两自由度振动系统同样可得到相应的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。由于矩阵[M]、[K]、[C]的非对角线元素不为0，所以振动微分方程是互相耦合的非独立方程。)}({}]{[)]{[}]{[tFxKxCxM7振动理论及应用第3章多自由度系统的振动3.1.2刚度影响系数与刚度矩阵刚度矩阵[K]中的元素称为刚度影响系数，其kij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义位移，系统平衡时需在i坐标处施加的广义力。具体求解时，只假设j坐标处的位移为1，其它各坐标的位移均为0。8振动理论及应用第3章多自由度系统的振动5.2.3惯性影响系数与质量矩阵质量矩阵[M]中的元素称为惯性（质量）影响系数，其mij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义加速度，需在i坐标处施加的广义力。具体求解时，只假设j坐标处的加速度为1，其它各坐标的加速度均为0。9振动理论及应用第3章多自由度系统的振动例：用刚度影响系数和惯性影响系数求标准m-k-c系统的刚度矩阵和质量矩阵。10振动理论及应用第3章多自由度系统的振动柔度影响系数Rij的力学意义是：在j坐标处作用单位广义力，引起i坐标处的广义位移。由柔度影响系数就可以形成系统的柔度矩阵[R]。由材料力学的位移互等定理可知Rij＝Rji，即柔度矩阵是对称的。3.2两自由度系统的位移方程——柔度矩阵3.2.1柔度影响系数与柔度矩阵11振动理论及应用第3章多自由度系统的振动例：用柔度影响系数求标准m-k-c系统的柔度矩阵。12振动理论及应用第3章多自由度系统的振动以柔度矩阵表示的方程为位移方程。对标准m-k-c振动系统，质量m1和m2上的静位移可以表示为{xst}=[R]{F}，而系统的动位移为1111121222232212(){}[]()FmxcxcxxxRFmxcxcxx})]{[}]{[}]({[xCxMFR这就是系统振动方程的位移形式。3.2.2位移方程13振动理论及应用第3章多自由度系统的振动因为[R]为正定矩阵，于是位移方程又可写为}]{[}]{[}{}{][1xCxMFxR－与力形式的方程比较知[K]=[R]－1，[R]=[K]－1即对于正定系统[R]和[K]互为逆矩阵。14振动理论及应用第3章多自由度系统的振动【例3-1】求系统的振动微分方程。已知梁的抗弯刚度为EI。33aFawEI解：用影响系数法。由材料力学挠度公式2(3)6lFawlaEI15振动理论及应用第3章多自由度系统的振动3311(/2)324llREIEI则231221(/2)5(3)6248lllRRlEIEI3223lREI325[]51648lREI而则方程为120[]0mMm311122202500516048xxmlmxxEI16振动理论及应用第3章多自由度系统的振动若写为力方程形式1316548[][]527EIKRl则方程为1113222016504805207xxmEImxxl下面用影响系数法直接求[K]:17振动理论及应用第3章多自由度系统的振动设x1=1,x2=0，则由材料力学公式有：33112133112151244850483llkkEIEIllkkEIEI同理有33122233122250244851483llkkEIEIllkkEIEI求出各个刚度系数即组成刚度矩阵[K]。18振动理论及应用第3章多自由度系统的振动对于非标准的m-k-c多自由度振动系统，用传统的动力学方法建立运动微分方程比较困难，更适合使用拉格郎日方程和能量的方法。拉格郎日方程为：用拉格朗日方程建立振动系统的运动微分方程拉格朗日方程iiiidTTVQdtxxx19振动理论及应用第3章多自由度系统的振动1kikkkkkiirQFFrxx其中：T为系统的动能，V为势能，Qi为非有势力的广义力，drk为与非有势广义力Fk对应的广义虚位移。实际计算广义力Qi时，通常假设与xi对应的广义虚位移不等于零，其它虚位移都等于零。（i＝1，2）20振动理论及应用第3章多自由度系统的振动【例3-2】用拉格郎日方程推导两自由度m-k-c系统微振动微分方程。解：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置。2211221()2Tmxmx21振动理论及应用第3章多自由度系统的振动静平衡位置：2222111121222223233112211[()][()]221[()]2Vkxkxxkxmgxmgx2221121232111()222Vkxkxxkx11122,kmgk22233kmgk则：22振动理论及应用第3章多自由度系统的振动11111()dTdmxmxdtxdt22222()dTdmxmxdtxdt10Tx20Tx11212121221()()Vkxkxxkkxkxx21232213222()()Vkxxkxkxkkxx23振动理论及应用第3章多自由度系统的振动计算广义力，设m1产生虚位移dx1，而dx2＝0，则11111212111112122()()FxcxxcxxxQxFccxcx同样设m2产生虚位移dx2，而dx1＝0，则22322221222232221()()FxcxxcxxxQxFccxcx24振动理论及应用第3章多自由度系统的振动代入拉格朗日方程11121221121220()()mxkkxkxFccxcx得iiiidTTVQdtxxx22213222322210()()mxkxkkxFccxcx整理写成矩阵形式即可。25振动理论及应用第3章多自由度系统的振动【例3-3】用拉格郎日方程建立系统微振动微分方程。解：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置22121()2Tmxmxx1x2D1D2222112111222VkxkkDD而12221122()klklxxDDDD则121221(24)/5(2)/5xxxxDD26振动理论及应用第3章多自由度系统的振动所以22112292110510Vkxkxxkx11111()dTdmxmxdtxdt10Tx22222()dTdmxmxdtxdt20Tx1219255Vkxkxx1222155Vkxkxx27振动理论及应用第3章多自由度系统的振动计算广义力，设只有x1处产生虚位移x1，则11111cxxQcxx同样设x2处产生虚位移x2，则2200cQx代入拉格朗日方程即可。28振动理论及应用第3章多自由度系统的振动只给出公式，不作严格推导。1.质量矩阵的形成系统的动能可以表示为12iiiiTmrr12iiikjikjkjrrmxxxx12iiikjkjikjrrmxxxx用能量法确定振动系统的[M]、[K]、[C]29振动理论及应用第3章多自由度系统的振动记iikjjkiikjrrmmmxx则11{}[]{}22TkjkjkjTmxxxMx[M]即为所求的质量矩阵，显然为对称阵。2.刚度矩阵的形成势能可写为12kjkjkjVkxx1{}[]{}2TxKx[K]即为所求的刚度矩阵，也是对称阵。30振动理论及应用第3章多自由度系统的振动3.阻尼矩阵的形成线性阻尼（黏滞阻尼）的耗能函数可写为[C]即为所求的阻尼矩阵，也是对称阵。12dkjkjkjEcxx1{}[]{}2TxCx31振动理论及应用第3章多自由度系统的振动【例3-4】求[M]和[K]。解：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置2222121122Tmlmlll220[]0mlMml则2212121()(1cos)(1cos)2Vkamglmgl能量法32振动理论及应用第3章多自由度系统的振动2222212121211(2)()22Vkamgl将余弦函数用级数展开，表示为22cos12sin122iii则所以2222[]kamglkaKkakamgl33振动理论及应用第3章多自由度系统的振动无阻尼自由振动系统的运动方程为3.3.1固有频率与固有振型3.3两个自由度系统的自由振动[]{}[]{}{0}MxKx假设方程解的形式为1122{}sin()xXxtxX34振动理论及应用第3章多自由度系统的振动这里：X1、X2为振动幅值，为固有频率，为初相位。代入振动方程可得：这是广义的特征值问题，[K]-2[M]称为特征矩阵。要使上式有解，必须使其系数行列式为零。若[M]为对角阵，[K]为对称阵，则有}0{}]){[]([2XMK0][][2222211212112mkkkmkMK35振动理论及应用第3章多自由度系统的振动上式称为频率方程或特征方程。由此可求出2的两个正实根。且规定1=2。将这两个根代入广义特征值问题([K]－2[M]){X}={0}可得到相应的振幅比值式中X(i)表示对应于第i个固有频率的振幅(i=1,2)。由数学概念知道，只能求出振幅的比值，而不能确定各振幅大小。2()111212()2112222iiiiikmXkuXkkm36振动理论及应用第3章多自由度系统的振动和单自由度一样，由于固有频率和振幅比ui只决定于系统本身的物理特性，而与外部激励