高等数学(一)00020-历年试卷-真题及答案.

浙江省2002年1月高等教育自学考试高等数学(一)试题课程代码：00020一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。第1—10题，每小题1分，第11—20小题，每小题2分，共30分)1.函数y=5x+ln(x－1)的定义域是()A.(0，5］B.(1，5］C.(1，5)D.(1，+∞)2.limsin2xxx等于()A.0B.1C.12D.23.二元函数f(x,y)=ln(x－y)的定义域为()A.x－y0B.x0,y0C.x0,y0D.x0,y0及x0,y04.函数y=2｜x｜－1在x=0处()A.无定义B.不连续C.可导D.连续但不可导5.设函数f(x)=e1－2x，则f(x)在x=0处的导数f′(0)等于()A.0B.eC.–eD.－2e6.函数y=x－arctanx在［－1，1］上()A.单调增加B.单调减少C.无最大值D.无最小值7.设函数f(x)在闭区间［0，1］上连续，在开区间(0，1)内可导，且f′(x)0，则()A.f(0)0B.f(1)0C.f(1)f(0)D.f(1)f(0)8.以下式子中正确的是()A.dsinx=－cosxB.dsinx=－cosxdxC.dcosx=－sinxdxD.dcosx=－sinx9.下列级数中，条件收敛的级数是()A.nnnn111()B.nnn11()C.nnn111()D.nnn1211()10.方程y′—y=0的通解为()A.y=cexB.y=ce－xC.y=csinxD.y=c1ex+c2e－x11.设函数f(x)=xxxkx4200,,在点x=0处连续，则k等于()A.0B.14C.12D.212.设F(x)是f(x)的一个原函数，则∫e－xf(e－x)dx等于()A.F(e－x)+cB.－F(e－x)+cC.F(ex)+cD.－F(ex)+c13.下列函数中在区间［－1，1］上满足罗尔中值定理条件的是()A.y=1xB.y=|x|C.y=1－x2D.y=x－114.设ftdtx()0=a2x－a2,f(x)为连续函数，则f(x)等于()A.2a2xB.a2xlnaC.2xa2x－1D.2a2xlna15.下列式子中正确的是()A.edxedxxx01012B.edxedxxx01012C.edxedxxx01012D.以上都不对16.下列广义积分收敛的是()A.cos1xdxB.sin1xdxC.lnxdx1D.121xdx17.设f(x)=ex21，g(x)=x2，当x→0时()A.f(x)是g(x)的高阶无穷小B.f(x)是g(x)的低阶无穷小C.f(x)是g(x)的同阶但非等价无穷小D.f(x)与g(x)是等价无穷小18.交换二次积分dyfxydxyy(,)01的积分次序，它等于()A.dxfxydyxx(,)01B.dxfxydyxx(,)201C.dxfxydyxx(,)01D.dxfxydyxx(,)20119.若级数nnu1收敛，记Sn=iiu1，则()A.limnnS0B.limnnSS存在C.limnnS可能不存在D.｛Sn｝为单调数列20.对于微分方程y″+3y′+2y=e－x，利用待定系数法求其特解y*时，下面特解设法正确的是()A.y*=ae－xB.y*=(ax+b)e－xC.y*=axe－xD.y*=ax2e－x二、填空题(每小题2分，共20分)1.limxxx121______。2.若函数f(x)=100110xxxkxxxxsin,,sin,在x=0处连续，则k=______。3.设f(0)=0，且极限lim()xfxx0存在，则lim()xfxx0=______。4.设y=sinex1，则dydx=______。5.如果函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使f′(ξ)=______。6.dxxx12ln______。7.定积分xxdxsin822______。8.广义积分1120xdx=______。9.幂级数()1311nnnnx的收敛半径R=________。10.微分方程y″+2y′=0的通解为______。三、计算题(每小题5分，共30分)1.求limxxx1232131。2.设y=xxxln12,求y′。3.计算xxdxarcsin01。4.求解微分方程的初值问题dydxxyxeyxx2022。5.设z=f(x,y)是由方程ez－z+xy3=0确定的隐函数，求z的全微分dz。6.展开ddxexx1为x的幂级数，并证明nnn()!111。四、应用题(每小题8分，共16分)1.某商店以每条100元的价格购进一批牛仔裤，已知市场的需求函数为Q=400－2P，问怎样选择牛仔裤的售价P(元/条)，可使所获利润最大，最大利润是多少。2.设抛物线y2=2x与该曲线在121,处的法线所围成的平面图形为D，求D的面积。五、证明题(4分)证明：xln(),()xxxx111022。答案一、单项选择题(第1—10题，每小题1分，第11—20小题，每小题2分，共30分)1.B2.A3.A4.D5.D6.A7.C8.C9.C10.A11.B12.B13.C14.D15.B16.D17.C18.B19.B20.C二、填空题(每小题2分，共20分)1.e－22.13.f′(0)4.1211xeexxcos5.fbfaba()()6.arcsinlnx+C7.08.29.310.C1+C2e－2x三、计算题(每小题5分，共30分)1.解：原式=lim()()()xxxxxxx12221111=lim()()xxxxx122111122.解：y′=ln()ln(xxxxx1122=ln()()xxxxxxx111222=ln()xxxxxxx1111222=ln()xxxx11223.解1:令x=sintt∈02,则，原式=tttdtsincos02=12202ttdtsinwtwwdw2180sin=18181800。解2:xxdxarcsin01=121212010122xxxxdxxarcsinxttdtsinsin412022=41412802(cos)xdx。4.解：齐次方程dydx+2xy=0的解为y=Cex2。由常数变异法，令y=Cxex()2代入方程，得：Cxexexx()22，因此，C(x)=()112220xedxxeCxx所以,y=()xeCexx12220代入初值条件：yx0=2得C0=52所以，y=()xeexx1252225.解：两边关于x求偏导ezxzxyz20所以zxyez31;两边关于y求偏导ezyzyxyz303所以zyxyez313。因此：dz=zxdxzydyyedxxyedyzz32131。6.解：ex=xnxnn!(,),0所以exxnxnn110!所以ddxexnxnnxnxxnnnn11102211()!()!,。令x=1，则：nnddxexxeexxnxxxx()!11111121四、应用题(每小题8分，共16分)1.解：由题意，利润函数为L(p)=pQ－100Q=－2p2+600p－40000,求导数dLdp=－4p+600,令dLdp=0，解得p=150,由于dLdp22=－40,因此在p=150处L取得极大值。代入利润函数得，极大值为L(150)=5000。由于最大利润必存在且函数仅有一个极值，因此该极大值必为最大值。即选择牛仔裤的售价为150(元/条)时利润最大，利润为5000元。2.解：曲线在(12，1)处的法线斜率为：dxdyyyy111,因此，法线方程为：y=－x+32解得法线与曲线另一个交点为(92，－3)。由于3220312yyy,(,)。因此，D的面积为：322322163223131yydxyydx。五、证明题(4分)解：令F(x)=xln(x+12x)－12x+1。则F′(x)=ln(x+12x)0,(x0)所以，当x0时，F(x)是严格递增函数因此，当x0时，F(x)F(0)=0即xln(x+12x)112x,(x0)。全国2002年4月高等教育自学考试高等数学(一)试题课程代码：00020一、单项选择题(每小题1分，共40分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题干后的括号内。1.函数y=x1+arccos21x的定义域是()A.x1B.-3≤x≤1C.(-3，1)D.{x|x1}∩{x|-3≤x≤1}2.下列函数中为奇函数的是（）A.y=cos3xB.y=x2+sinxC.y=ln(x2+x4)D.y=1e1exx3.设f(x+2)=x2-2x+3,则f[f(2)]=()A.3B.0C.1D.24.y=的反函数是xx323()A.y=233xxB.y=xx332C.y=log3x1x2D.y=log3x2x15.设nxulim=a,则当n→∞时，un与a的差是（）A．无穷小量B.任意小的正数C．常量D.给定的正数6.设f(x)=0x,x1sinx0x,x1sin,则)x(flim0x=（）A．-1B.0C.1D.不存在7.当0x时,xcosxsin21是x的()A.同阶无穷小量B.高阶无穷小量C.低阶无穷小量D.较低阶的无穷小量8.x21sinx3limx=()A.B.0C.23D.329.设函数3x1,x21x0,1x)x(f在x=1处间断是因为()A.f(x)在x=1处无定义B.)x(flim1x不存在C.)x(flim1x不存在D.)x(flim1x不存在10.设f(x)=0x)x1ln(0x,x,则f(x)在x=0处()A.可导B.连续,但不可导C.不连续D.无定义11.设y=2cosx,则y=()A.2cosxln2B.-2cosxsinxC.-2cosx(ln2)sinxD.-2cosx-1sinx12.设f(x2)=)x(f),0x(x11则=()A.-2)x1(1B.2x11C.-2)x1(x21D.2)x1(x2113.曲线y=1xx132在处切线方程是()A.3y-2x=5B.-3y+2x=5C.3y+2x=5D.3y+2x=-514.设y=f(x),x=et,则22dtyd=()A.)x(fx2B.)x(fx2+)x(fxC.)x(fxD.)x(fx+xf(x)15.设y=lntgx，则dy=()A.xtgdxB.xtgxdC.dxxtgxsec2D.xtg)xtg(d16.下列函数中，微分等于xlnxdx的是()A.xlnx+cB.21ln2x+cC.ln(lnx)+cD.xxln+c17.下列函数在给定区间满足拉格朗日中值定理条件的是()A.y=|x|,[-1,1]B.y=x1,[1,2]C.y=32x,[-1,1]D.y=2x1x,[-2,2]18.函数y=sinx-x在区间［０,π］上的最大值是