结构动力学习题解答

第一章单自由度系统总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。1、牛顿第二定律法适用范围：所有的单自由度系统的振动。解题步骤：（1）对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；（2）利用牛顿第二定律Fxm,得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。2、动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。解题步骤：（1）对系统进行受力分析和动量距分析；（2）利用动量距定理JM,得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。3、拉格朗日方程法：适用范围：所有的单自由度系统的振动。解题步骤：（1）设系统的广义坐标为，写出系统对于坐标的动能T和势能U的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U；（2）由格朗日方程LLdt)(=0，得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。4、能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T和势能U的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式T+U=Const（2）将能量守恒定理T+U=Const对时间求导得零,即0)(dtUTd，进一步得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。方法一：衰减曲线法。求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值iA、1iA。（2）由对数衰减率定义)ln(1iiAA，进一步推导有212，因为较小，所以有2。方法二：共振法求单自由度系统的阻尼比。（1）通过实验，绘出系统的幅频曲线，如下图：单自由度系统的幅频曲线（2）分析以上幅频曲线图，得到：4/22/max2,1；于是221)21(n；进一步222)21(n；最后nn2/2/12；叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法有两个：幅频（相频）曲线法和功率法。方法一：幅频（相频）曲线法当单自由度系统在正弦激励tFsin0作用下其稳态响应为：)sin(tAx,其中：222222020414stnxnmFA；(1)21/2arctan(2)从实验所得的幅频曲线和相频曲线图上查的相关差数，由上述（1），（2）式求得阻尼比。方法二：功率法：（1）单自由度系统在tFsin0作用下的振动过程中，在一个周期内，弹性力作功为0cW、阻尼力做功为2AWcd、激振力做作功为sin0FWf；（2）由机械能守恒定理得，弹性力、阻尼力和激振力在一个周期内所作功为零，即：cW+dW+0fW；于是sin0F-02Ac进一步得：cFAsin0；（3）当n时，1sin，则2maxstxA，得21max,max2。求图1-35中标出参数的系统的固有频率。（1）此系统相当于两个弹簧串联，弹簧刚度为k1、简支梁刚度为3248LEIk；等效刚度为k;有21111kkk；31214848111lkEIEIkkkkL2LmlkEIEIlmk31348483148lEIkk2L1k33148mlEIlkmk113333EIEIkkkll3133klEIkmml00IFmlkllkl2121212111221ml1k1k021mkmk21解：以为广义坐标，则系统的动能为mmmAB0k2022121IxmTTT）（轮子重物2222244)21(21221xgPxgPRxRgPxgP）（图1-3422xgP系统的势能能为：221kxPxUUU弹簧重物；拉格朗日函数为L=T-U;由拉格朗日方程0)(xLxLdt得0kxxgP则，0=Pkg所以：系统的固有频率为Pkg求图1-35所示系统的固有频率。图中磙子半径为R，质量为M，作纯滚动。弹簧刚度为K。解：磙子作平面运动，K其动能T=T平动+T转动。x图1-3522221;211;222TMxxMRxTIRR平动转动222434121xMxMxMT；而势能221KxU；系统机械能CKxxMUT222143;RM由0UTtdd得系统运动微分方程023KxxM；得系统的固有频率MKn32；求图1-36所示齿轮系统的固有频率。已知齿轮A的质量为mA，半径为rA，齿轮B的质量为mB，半径为rB,杆AC的扭转刚度为KA,,杆BD的扭转刚度为KB,解：由齿轮转速之间的关系BBAArr得角速度ABABrr；转角ABABrr；系统的动能为：222121BBAABAJJTTTCA22222241221221AABABBBAAArmmrmrmT；BD图1-36系统的势能为：222222221212121ABABABBAABBAArrKKKKKKU;系统的机械能为CrrKKrmmUTABABAAABA222222141；由0UTtdd得系统运动微分方程021222ABABAAABArrKKrmm；因此系统的固有频率为：BABABAAABABABAnmmrrKKrrmmrrKK22222212；已知图１－３７所示振动系统中，匀质杆长为L，质量为m，两弹簧刚度皆为K，阻尼系数为C，求当初始条件000时（１）tFtfsin)(的稳态解；Cf(t)（２）tttf)()(的解；L2L22222)(22LKLtfLKLCJ222222212LLLLmLdrLmrdmrJ)(663222tLfKLCLmL)(663tfmLmKmCtFtfsin)(tFtfsin)(tFmLmKmCsin663;6;6;322mLFhmKmCnnthnnsin22)sin(tAx2222222229664CmKLFnhAn222632mKCarctgnarctgn)()(ttf)()(ttf)(663tmLmKmC;6;6;322mLhmKmCnn)(22thnn)(th)(0thhtdthtdthtd00000000)()(0)000000tdhtd000tAexdtnsin;0;dmhAtemhtAexdtnddtnsinsin2021mVmgHgHV20gHV200KxxCxm;0xmKxmCx;022xxnxntAexdtnsindddngHxxxxA20200200000xxxarctgnd;sin2tgHxdd)()(11yycyykymyy2C11yckykyycym)sin(athy)sin()cos(atkhatachkyycym)sin(atAyhcmkckA222222)(2))(tan(2223cmkkmcacra电磁激振力可写为tHtF02sin)(，求将其作用在参数为m、k、c的弹簧振子上的稳态响应。解：首先将此激振力按照傅里叶级数展开：10))sin()cos((2)(iiitibtiaatF其中：dttitFTaTi0)cos()(2；TidttitFTb0)sin()(2因为)(sin)(02tHtF是偶函数，所以0ib。mm于是)2cos(22)(0tHHtF而)2/2sin(2)(0atAkHtx；式中20220216)4(2nmHAn；20242arctannna；mkmcnn2,2.若流体的阻尼力可写为3xbFd,求其等效粘性阻尼。解：（1）流体的阻尼力为3xbFd；（2）设位移为)cos(tAx，而tdxdx；（3）流体的阻尼力的元功为)(3tdxxbdxFdWdd；（4）流体的阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为：4344343)]cos([AbdtatAbdtxbdxxbdxFWd（5）粘性阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为：2cA（6）等效粘性阻尼：取n，令4343Abn2Aceqn可得：2243Abcneqkkk第二章两个自由度系统求如图2-11所示系统的固有频率和固有振型，并画出振型。解：（1）系统的振动微分方程)(2111xxkkxxm;X1X22122)(kxxxkxm;mm即02211kxkxxm；02212kxkxxm；（1）图2-11（2）系统的特征方程根据微分方程理论，设方程组（1）的解为：)sin(11tAx；)sin(22tAx（2）将表达式（2）代入方程组（1）得：0)sin()2(2112tkAkAAm0)sin()2(2122tkAkAAm（3）因为)sin(t不可能总为零，所以只有前面的系数为零：;0)2(;0)2(221212AmkkAkAAmk；即00222122AAmkkkmk；（4）（１）系统的频率方程若系统振动，则方程有非零解，那么方程组的系数行列式等于零，即：02222mkkkmk；展开得0342242kmkm；（5）系统的固有频率为：mK/1；23/;Km（6）（２）系统的固有振型将1，2代入系统的特征方程（4）式中的任一式，得系统的固有振型，即各阶振幅比为：;11)1(2)1(1)1(AA;11)2(2)2(1)2(AA（7）系统各阶振型如图所示：其中（a）是一阶振型，（b）是二阶振型。+1+1+1（a）(b)-1（３）系统的主振动系统的第一主振动为)sin()sin(;)sin()sin(1)1(1)1(11)1(2)1(21)1(111)1(1)1(1tmkAtAxtmkAtAx系统的第一主振动为)3sin()sin(;)3sin()sin(1)2(1)2(12)2(2)2(21)2(112)2(1)2(1tmkAtAxtmkAtAx确定图2-12所示系统的固有频率和固有振型。解：（1）系统的动能2221222121)(21)2(21umu