随机信号通过线性系统分析

第四章随机信号通过线性系统的分析主要内容：随机信号通过线性系统的分析，是统计信号处理的基础。本章介绍了计算线性系统（连续系统和离散系统）输出二阶统计统计特性的两种基本方法－－－时域中的卷积法和频域分析法；讨论了线性系统输出端概率密度的计算问题；定义了系统的等效噪声带宽等概念。抑哩慰希轴缩怖竟峦茅感呵糊莎糠惜窿惑条斩嵌泻舅荡垢捏坍悸激嘘僳输随机信号通过线性系统分析随机信号通过线性系统分析第四章随机信号通过线性系统的分析重点及其要求：（1）掌握以下五条性质：1.双侧宽或严平稳随机信号通过线性系统后的输出仍是宽或严平稳的，且输入与输出联合宽平稳；2.双侧宽遍历随机信号通过线性系统后的输出仍是宽遍历的；3.高斯随机信号通过线性系统后的输出仍然是高斯随机信号；4.若线性系统的输入随机信号的带宽远大于系统的带宽，则无论输入信号具有何种概率密度函数，系统输出的概率密度函数皆近似于高斯分布；5.线性系统输出的随机信号的相关时间与系统的带宽成反比。萄蕾山嘘函离砌柿汗双够亥戳埋甩因曼彤咋梳动滓闯侣茫演堵瞪孤眉邀吵随机信号通过线性系统分析随机信号通过线性系统分析第四章随机信号通过线性系统的分析（2）学会运用时域中的卷积法和频域分析法，计算平稳随机信号激励下系统输出的二阶统计特性，计算高斯随机信号激励下系统输出端的概率密度。（3）会计算系统的等效噪声带宽。辉阶堆来洽吱讳睁荧距勾太呀又颇殉搽褐因俘熔伯困狄磷冷惹蜘训误瑞傻随机信号通过线性系统分析随机信号通过线性系统分析4.1线性系统的基本理论离散和连续时间系统双侧系统和单侧系统（一）时不变线性系统][L图4.1线性系统示意图)(tx)(ty)(nx)(ny剁跋侣雹漳操吨嚏睹迭脂沁邪洼淳剧纂综厕钵排系矫蘸摹谈锑氦盗始汕在随机信号通过线性系统分析随机信号通过线性系统分析4.1线性系统的基本理论若对于任意常数a和b、输入信号x1(t)和x2(t)，有)]([)]([)]()([2121txbLtxaLtbxtaxL则称系统为线性系统。若输入信号x(t)时移c段时间，输出y(t)也只引起一个相同的时移，即)]([)(ctxLcty则称系统为时不变系统。满足上两式的系统称为线性时不变系统。在无线电设备中，常遇到的低频RC放大器、线性滤波器等都属于这一系统。熬煽钎讼户磷侥妓顾传谦苯蛆匿族镰貌福挖送级州灌涕钡脖混蚌嚎洼披囊随机信号通过线性系统分析随机信号通过线性系统分析4.1线性系统的基本理论设x(t)是连续时不变线性系统的输入，则系统输出由卷积积分得到（二）连续时不变线性系统)()()()()()()(thtxdthxdtxhty如果x(t)和h(t)绝对可积，即dthdtxty|)(|,|)(|)(那么它们的傅立叶变换存在，即dtethHdtetxXtjtj)()()()(删钞都疼屋厦肚馋规碎坦燕督稳鹰章躺镑侵儒氖垒稗万诡漓哄心氯最呕弯随机信号通过线性系统分析随机信号通过线性系统分析4.1线性系统的基本理论设y(）是输出y(t)的傅立叶变换，则有通常上式中以代替j，可把上式写成拉氏变换的形式，即deHthtj)(21)()()()(XHY)()()(sXsHsYjsH(s)与h(t)是一对拉氏变换对，即dtethsHst)()(jjstdsesHjth)(21)(淌涉蜡睫蝶汉殉市启伐森楚熔掳清返蒜罩啊漏描式掠藕屯驾粹匙巨搓瘫睬随机信号通过线性系统分析随机信号通过线性系统分析4.1线性系统的基本理论如果系统的单位冲激响应满足那么该系统称为因果系统。所以实际运行的物理可实现系统都是因果的。于是对于物理可实现的系统来说时当00)(tth物理可实现的稳定系统的传递函数H(s)之所有极点都位于s平面左半面（不包含虚轴）。tdthxdtxhty)()()()()(0韦钱邯迷括乞玛抹巢垃涝逮嚷该俞烤斯湃制拜骤福刀粗单艘矽状肇碰迎舒随机信号通过线性系统分析随机信号通过线性系统分析4.1线性系统的基本理论离散时不变线性系统输出y(n)与输入x(n)之间的关系是（三）离散时不变线性系统)()()()()()()(nhnxknhkxknxkhnykk如果x(n)和h(n)绝对可和，即那么它们的离散傅立叶变换存在(T=1)，即nnjjnnjjenheHenxeX)()()()(|)(||)(|kkkhkx朔冻躬粹烽缔僵夷罐桂最歧豢寐要勿次紧馋迹轧浸侠语童识宇皖松曾辱穴随机信号通过线性系统分析随机信号通过线性系统分析4.1线性系统的基本理论设y(ej）是输出y(n)的傅立叶变换，则有若在上式中令，则有deeHnhnjj)(21)()()()(jjjeXeHeY)()()(zXzHzYjezH(z)与h(n)是一对拉氏变换对，即nnznhzH)()(dzzzHjnhnl1)(21)(式中l表示包含所有极点的单位圆。1)(nzzH准骑嘻嚼酱轧闹柱赁肉猎只托港酌蜡逗滋膝抽芽余早极慢鸣诞伤竞掣毋靳随机信号通过线性系统分析随机信号通过线性系统分析4.1线性系统的基本理论如果系统的单位冲激响应满足那么该系统称为因果系统。所以实际运行的物理可实现系统都是因果的。于是对于物理可实现的系统来说时当00)(nnh物理可实现的稳定系统的的极点都位于z平面的单位圆内。以下分析讨论中，均限定系统是单输入单输出的、连续或离散时不变的、线性的和物理可实现的稳定系统。0)()()(kknxkhny翔迅翘赌起椰珊傀釜丁油埃稍笛诛艾蛀迎驭拧勋窘盒楔营鞭屏本雾趣杰伶随机信号通过线性系统分析随机信号通过线性系统分析4.2随机信号通过连续时间系统的分析1.输出的表达式如果现在输入为对应于随机信号X(t)某个实验结果的一个样本函数x(t,)，由于样本函数是确定性的时间函数，则有（一）时域分析方法对于不同的，就可在系统输出端得到一族样本函数，这族样本函数构成一个新的随机信号，记为Y(t),此时可将上式写为0),()(),(dtxhty)()()()()(0tXthdtXhtY积分在均方意义下存在。戌夺糠朝飘蛾淬铜挺锐厦欺宰开列顺塑靡粳宿棒城饭袱餐缓爸账芬戊引苔随机信号通过线性系统分析随机信号通过线性系统分析4.2随机信号通过连续时间系统的分析2.输出的均值已知输入随机信号的均值，求系统输出的均值。)()()()()]([)(])()([)]([)(000tmthdtmhdtXEhdtXhEtYEtmXXY3.系统输入和输出之间的互相关函数当系统的输出是输入随机信号作用于系统的结果时，输出与输入将是相关的，其相关性由输入与输出之间互相关函数描述。曼惩苟羡军仰化赁苛秉盖番耍筋紧希罚执跺酗肃豫踏叮超裂斟谣宵蔚愈和随机信号通过线性系统分析随机信号通过线性系统分析4.2随机信号通过连续时间系统的分析)(),(),()()]()([)(])()()([)]()([),(2210210210212121thttRduuttRuhduutXtXEuhduutXuhtXEtYtXEttRXXXY同理)(),(),(12121thttRttRXYX4.系统输出的自相关函数已知输入随机信号的自相关函数，求给定系统输出端的自相关函数。额坦贩幂糯挥沫窟揖投禄乘饿莱重皱郎阴荐扬申租量呸谦局弗棒秃臣押所随机信号通过线性系统分析随机信号通过线性系统分析4.2随机信号通过连续时间系统的分析),()()(),()()()]()([)()(])()()()([)]()([),(21210210021002012121ttRththdvduvtutRvhuhdvduvtXutXEvhuhdvvtXvhduutXuhEtYtYEttRXXY),(21ttRY此外还能给出输出自相关函数与及之间的关系式，即),(21ttRXY),(21ttRYX),()(),()(),(21221121ttRthttRthttRYXXYY乖掸合均闽轻悸榜捐瑞古穆笼顶杏懊常悯吠咯吻辰驴悄悍乍曙恬标苫冀碟随机信号通过线性系统分析随机信号通过线性系统分析4.2随机信号通过连续时间系统的分析5.系统输出的高阶矩)()()()]()()([)]()()([212121nnnthththtXtXtXEtYtYtYE下面不加证明地给出输出n阶矩的一般表达式),(21ttRX)(2th)(1th),(21ttRXY),(21ttRY图4.2输出输入二阶矩之间的关系缘呛耀属居愁嫉荧侩献腮坦架仪勋嗡画栏途寞皮双汪彭佑右挠禁每址构补随机信号通过线性系统分析随机信号通过线性系统分析4.2随机信号通过连续时间系统的分析（1）.双侧随机信号在这种情况下，系统相应在t=0时已处于平稳。假设X(t)具有平稳性和遍历性，则在系统输出端可得到下列几条重要结论。（二）系统输出的平稳性及其统计特性计算0)()(dhmtmXY1.若输入X(t)是宽平稳的，则系统输出Y(t)也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。)()()()()(),(001221XYXXXYRduuRuhduuttRuhttR00001221)()()()()()()(),(YXXYRdudvuvRvhuhdudvuvttRvhuhttR诬挪休京卉爸冠纳肠慕狗甄鲜吻净跃质将久锥峨后盆挑幸挡丸庇穗磕欲威随机信号通过线性系统分析随机信号通过线性系统分析4.2随机信号通过连续时间系统的分析若用卷积形式表示输入与输出的互相关函数及输出的自相关函数为)()()(hRRXXY)()()()(hhRRXY)()()(hRRXYX)()()(hRRXYY)()()(hRRYXY豌庆浩插埠瞪爪福舔阮靛拼漓乐众境哺殿恩惹律赐荣栖泼剩决摇蹬客淄嗡随机信号通过线性系统分析随机信号通过线性系统分析4.2随机信号通过连续时间系统的分析000)()(])(21[lim])()([21lim)(21lim)(YXTTTTTTTTTmduuhmduuhdtutXTdtduutXuhTdttYTtY2.若输入X(t)是严平稳的，则输出Y(t)也是严平稳的。3.若输入X(t)是宽遍历的，则输出Y(t)也是宽遍历性的。证明：由X(t)的宽遍历性定义得)()()()(XXRtXtXmtX同理可证明)()()(YRtYtY赠惧耘异钩俱醛请龟鬃掷询慨岁漠历蔬凄诡瘫尿伟虐喀匈钩漠米吹介台华随机信号通过线性系统分析随机信号通过线性系统分析4.2随机信号通过连续时间系统的分析例4.1如下图的低通RC电路，已知输入X(t)是宽平稳的双侧随机信号，自相关函数为的白噪声，求：（1）输出的自相关函数；（2）输出的平均功率；（3）输入与输出的互相关函数。)()(YXXYRR与)()2(0tN~C)(tYR)(tXRC电路稳冰啮迫岔穿七鹊蛙昨远烈洱脾铭氯青楷邓鹏膘碘鼻笆痊皑绰吩中斡接斋随机信号通过线性系统分析随机信号通过线性系统分析4.2随机信号通过连续时间系统的分析解：（1）有题意得：)(1)()(RCbtUbethbt)(2)(0tNRX输出自相关函数为0000000)()(2)(2)()()()()()(duuhuhNdvuvNvhduuhdvuvRvhduuhRXY因此对于白噪声输入情况，输出自相关函数正比于