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2.1圆周角定理在⊙O中作一个顶点为A的圆周角∠BAC,连接OB.OC,得圆心角∠BOC.∠BAC和∠BOC之间有什么关系?思考1改变圆周角的大小,这种关系会改变吗?怎样来解决这个问题呢？思考2结论：∠BAC=1/2∠BOC1.圆周角定理1.圆周角定理圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如何用逻辑推理（欧氏几何）证明该定理成立？应该怎样写已知与求证？思考3圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．已知：如图，在⊙O中，所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC,∠BOC．»BC12BACBOC求证：怎样证明呢？思考31.圆周角定理●ABCO(1)●ADCBO(2)A●DBCO(3)分析：分三种情况讨论．１．如图（１），圆心O在∠BAC的一条边上．２．如图（2），圆心O在∠BAC的内部．３．如图（３），圆心O在∠BAC的外部．1.圆周角定理ABOC(3)DABOC(2)DABOC(1)(1)圆心O在∠BAC的一条边上.∵OA=OC,∴∠C=∠BAC∵∠BOC=∠C+∠BAC∴∠BAC=½∠BOC.(2)圆心O在∠BAC的内部.作直径AD.由(1)有∠BAD=½∠BOD,∠DAC=½∠DOC∴∠BAD+∠DAC==½(∠BOD+∠DOC)∴∠BAC=½∠BOC.(3)圆心O在∠BAC的外部.作直径AD.由(1)有∠DAB=½∠DOB,∠DAC=½∠DOC∴∠DAC-∠DAB==½(∠DOC-∠DOB)∴∠BAC=½∠BOC.1.圆周角定理证明：分三种情况讨论．证题方法：化归思想问题问题1问题2……解答1解答2……解答分割组合化归指的是转化与归结。即把数学中待解决或未解决的问题，转化归结到某个已解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解的方法。证题方法：特殊化一般问题特殊问题一般问题一般问题实验猜想一般结论逻辑证明一个周角是360º.把圆周等分成360份，每一份叫做1°的弧.1°的弧是对任何一个圆来说的,跟圆的半径的大小无关.如图,∠AOB=90º,所以AB是90º的弧,A´B´也是90º.都是周角的四分之一.⌒⌒但AB并不等于A´B´,因为它们所在圆的半径不等.故相等的弧和相等度数的弧意义是不同的.⌒⌒AB'A'B2.圆心角定理圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．（1）在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等吗？（2）半圆（直径）所对的圆心角是多少度？圆周角是多少度？（3）９０°的圆周角所对的弧是多少度？所对的弦是什么？想一想？？想一想？？2.圆心角定理圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．推论２：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；９０°的圆周角所对的弦是直径．2.圆心角定理例1:如图:AB,AC是⊙O的两条弦,延长CA到D,使AD=AB.若∠ADB=40°,求∠BOC的度数．BDACO160°例２．ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＢＤ是⊙Ｏ的弦，延长ＢＤ到点Ｃ，使ＣＤ＝ＢＤ，连接ＡＣ．判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？ＡＢＣＤAB=AC,△ABC是等腰三角形例３．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径．求证：AB·AC=AE·AD．BDACOE证明：连接BE．∵∠ADC=∠ABE=90°(为什么？),∠C=∠E（为什么？）,∴△ADC∽△ABE（为什么？）.DABPCE证明：如图，过点C作CE//AB交圆于E，则有∠APD＝∠C.例４．如图，AB与CD相交于圆内一点P．求证：的度数与的度数和的一半等于∠APD的度数．»BC»AD1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.●OBAC２．如图，在⊙O中，AB＝AC，∠ＡＢＣ＝70°，求∠ＢＯＣ度数.︵︵80°25°AOBC.３.如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,已知∠BAD=50°,求∠C的大小.●OCABD130°ABCDEO25°5．如图：已知Ｂ、Ｃ为⊙Ｏ的直径，ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为Ｄ，ＢＦ交ＡＤ于Ｅ，且ＡＥ＝ＢＥ．ＡＢＣＤＥＦ．O6.如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.证明：∠ACB=∠AOB12∠BAC=∠BOC2∠AOB=2∠BOCAOBC∠ACB=2∠BAC1规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理小结：圆周角／圆心角定理圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．推论２：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；９０°的圆周角所对的弦是直径．2．方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”的思想方法和化归转化、分类讨论的思想方法．3．圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也是平面几何中的一个重要考点，希望能灵活运用．小结：圆周角／圆心角定理习题2.1(P26)1.如图,OA是⊙O的半径,以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB交于点D,求证:D是AB的中点.2.如图,圆的直径AB=13cm,C为圆上一点,CD⊥AB,垂足D,且CD=6cm.求AD的长.3.如图,BC是⊙O的直径,AD⊥BC,垂足D.AB=AF,BF和AD相交于E.求证:AE=BE.⌒⌒ABDOCACBDOBCADEF(第1题)(第2题)(第3题)E2、如图，设AD,CF是ΔABC的两条高,AD,CF的延长线交ΔABC的外接圆O于G,AE是⊙O的直径,求证:(1)AB·AC=AD·AE(2)DG=DH·OAHFEDCBG３.如图，BC是半圆的直径,P是半圆上的一点,过的中点Ａ，作ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为Ｄ，ＢＰ交ＡＤ于Ｅ，交ＡＣ于Ｆ，求证：ＢＥ＝ＡＥ＝ＥＦBPＡＢＥＤＣＰＦ︵1234４、如图，ΔABC内接于⊙Ｏ，ＡＨ⊥ＢＣ于点Ｈ，求证：（１）∠ＯＡＢ＝∠ＨＡＣ（２）ＯＡ·ＡＨ＝１／２ＡＢ·ＡＣ．ＡＯＨＣＢD