用powell法优化设计程序与一维搜索黄金分割法组合

用Powell法优化设计程序与一维搜索黄金分割法组合编程求解函数2112221242)(xxxxxxf的极小点x，初始点x0=[1,1]T，迭代精度ε=0.001。解：已知2112221242)(xxxxxxf，初始点x0=[1,1]T，迭代精度ε=0.001。在该优化设计过程中，黄金分割搜索法作为POWELL算法主程序中的一部分。在POWELL算法运行过程中会多次调用黄金分割搜索算法程序。这样可以缩短优化设计计算时间。1.MATLAB源程序代码1.1关于α的目标函数源代码functionm=y(x1,x2,d1,d2,alpha)%建立关于α的一元函数y(α)m=(x1+alpha*d1)^2+2*(x2+alpha*d2)^2-4*(x1+alpha*d1)-2*(x1+alpha*d1)*(x2+alpha*d2);1.2一元函数最小值区间函数源代码function[a,b]=section(x1,x2,d1,d2)%采用外推法求解一元函数的最小值区间x11=x1;x22=x2;d11=d1;d22=d2;h0=1;h=h0;alpha1=0;y1=y(x11,x22,d11,d22,alpha1);alpha2=h;y2=y(x11,x22,d11,d22,alpha2);t=0;ify2y1h=-h;alpha3=alpha1;y3=y1;t=1;endwhile(1)ift==1alpha1=alpha2;y1=y2;alpha2=alpha3;y2=y3;elset=1;endalpha3=alpha2+h;y3=y(x11,x22,d11,d22,alpha3);ify3y2h=2*h;elsebreak;endendifalpha1alpha3tem=alpha1;alpha1=alpha3;alpha3=tem;a=alpha1;b=alpha3;elsea=alpha1;b=alpha3;end1.3黄金分割搜索法函数源代码functionalpha=ALPHA(x1,x2,d1,d2,A,B)%利用黄金分割法求解关于α的函数y(α)的极小点α*x11=x1;x22=x2;d11=d1;d22=d2;a=A;b=B;ep=0.001;r=0.618;alpha1=b-r*(b-a);y1=y(x11,x22,d11,d22,alpha1);alpha2=a+r*(b-a);y2=y(x11,x22,d11,d22,alpha2);while(1)ify1=y2a=alpha1;alpha1=alpha2;y1=y2;alpha2=a+r*(b-a);y2=y(x11,x22,d11,d22,alpha2);elseb=alpha2;alpha2=alpha1;y2=y1;alpha1=b-r*(b-a);y1=y(x11,x22,d11,d22,alpha1);endifabs(b-a)ep&&abs(y2-y1)epbreak;endendalpha=0.5*(a+b);1.4POWELL算法程序源代码function[z,fmin]=powell(f)%根据无约束优化方法POWELL算法，在二维空间中求解f(x1,x2)的最小值点，求解结果返回变量坐标(x1,x2)和极小值fmink=0;n=2;x=[0;0;];ff(1)=f(x(1),x(2));ep=0.001;d=[1;0;0;1];while(1)x00=[x(1);x(2);];fori=1:n[a(i),b(i)]=section(x(2*i-1),x(2*i),d(2*i-1),d(2*i));alpha(i)=ALPHA(x(2*i-1),x(2*i),d(2*i-1),d(2*i),a(i),b(i));x(2*i+1)=x(2*i-1)+alpha(i)*d(2*i-1);x(2*i+2)=x(2*i)+alpha(i)*d(2*i);ff(i+1)=f(x(2*i+1),x(2*i+2));endfori=1:nDelta(i)=ff(i)-ff(i+1);enddelta=max(Delta);fori=1:nifdelta==Delta(i)m=i;break;endendd(2*n+1)=x(2*n+1)-x(1);d(2*n+2)=x(2*n+2)-x(2);x(2*n+3)=2*x(2*n+1)-x(1);x(2*n+4)=2*x(2*n+2)-x(2);ff(n+2)=f(x(2*n+3),x(2*n+4));f0=ff(1);f2=ff(n+1);f3=ff(n+2);k=k+1;R(k,:)=[k,x',d',ff];iff3f0&&(f0-2*f2+f3)*(f0-f2-delta)^20.5*delta*(f0-f3)^2[a(n+1),b(n+1)]=section(x(2*n+1),x(2*n+2),d(2*n+1),d(2*n+2));alpha(n+1)=ALPHA(x(2*n+1),x(2*n+2),d(2*n+1),d(2*n+2),a(n+1),b(n+1));x(1)=x(2*n+1)+alpha(n+1)*d(2*n+1);x(2)=x(2*n+2)+alpha(n+1)*d(2*n+2);fori=m:nd(2*i-1)=d(2*i+1);d(2*i)=d(2*i+2);endelseiff2f3x(1)=x(2*n+1);x(2)=x(2*n+2);elsex(1)=x(2*n+3);x(2)=x(2*n+4);endendRR(k,:)=alpha;ff(1)=f(x(1),x(2));if(((x(2*n+1)-x00(1))^2+(x(2*n+2)-x00(2))^2)^(1/2))epbreak;endendz=[x(1);x(2)];fmin=f(x(1),x(2));2.运行程序计算f=@(x1,x2)x1^2+2*x2^2-4*x1-2*x1*x2f=@(x1,x2)x1^2+2*x2^2-4*x1-2*x1*x2[z,fmin]=powell(f)z=3.99981.9998fmin=-8.0000经过计算可知，极小值点为(3.9998,1.9998)，极小值为-8。3.验算通过MATLAB软件内置fminsearch函数进行验算。3.1绘图x=linspace(-10,10,50);y=linspace(-10,10,50);[x,y]=meshgrid(x,y);z=x.^2+2*y.^2-4*x-2*x.*y;subplot(1,2,1);%在一幅框中显示两张图，显示第一张图cs=contour(x,y,z);clabel(cs);%绘制等高线图xlabel('x1');ylabel('x2');title('(a)Contourplot');grid;subplot(1,2,2);%在一幅框中显示两张图，显示第二张图cs=surfc(x,y,z);%绘制空间曲面图zmin=floor(min(z));zmax=ceil(max(z));xlabel('x1');ylabel('x2');zlabel('f(x1,x2)');title('(b)Meshplot');通过观察可以发现极小值点在(4,2)附近。3.2fminsearch函数验算f=@(x)x(1)^2+2*x(2)^2-4*x(1)-2*x(1)*x(2)f=@(x)x(1)^2+2*x(2)^2-4*x(1)-2*x(1)*x(2)[x,fval]=fminsearch(f,[1,1])x=4.00002.0000fval=-8.0000通过fminsearch函数验算，确认极小值点为(4,2)，极小值为-8。4.结论2112221242)(xxxxxxf函数的极小值点为(4,2)，极小值为-8。5.程序流程图黄金分割法程序框图开始给定a、b、c618.0)()()()(222111afyabbafyabb?21yy是否21211yya12122yyb)()(222fyaba)()(111fyabb||||212yyybab和是)(21*ba结束否POWELL算法程序框图开始iiedxx0000,,0x0k1i)(min:101kikikiikikikidxfdxx)()(1kikiixfxf?nikknknkknknxxxxxd01012,是否1iiimknknkxfFxfFxfFmax),(),(),(13200判别条件是否满足是)(min:111110knknknknknknkdxfdxx)1,,2,1(),,1,(1111middnmmiddkikikiki否?ni是否knkxx10knkxx110||||0kknxx是10knxx结束否1ii