高考数列求和忆一忆知识要点倒序相加法

高考数列求和1．等差数列前n项和Sn＝＝，推导方法：；等比数列前n项和Sn＝推导方法：乘公比，错位相减法．要点梳理忆一忆知识要点na1＋an2na1＋nn－12d倒序相加法na1qqan1)1(1=qqaan11q=1,q≠1,2．常见数列的前n项和(1)1＋2＋3＋…＋n＝；(2)12＋22＋32＋…＋n2＝；(3)13＋23＋33＋…＋n3＝.忆一忆知识要点nn＋12nn＋12n＋16[nn＋12]2要点梳理3．数列求和的常用方法(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(2)裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．(4)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导．忆一忆知识要点要点梳理4．常见的裂项公式(1)1nn＋1＝1n－1n＋1；(2)12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1；(3)1n＋n＋1＝n＋1－n.忆一忆知识要点要点梳理[难点正本疑点清源]1．数列求和的方法(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．2．等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决．例1求和：(1)Sn＝32＋94＋258＋6516＋…＋n·2n＋12n；(2)Sn＝x＋1x2＋x2＋1x22＋…＋xn＋1xn2.分组转化求和(1)写出通项an＝n＋12n，转化为数列{n}和数列12n分别求和再相加．(2)写出通项an＝x2n＋1x2n＋2，可转化为两个等比数列{x2n}，1x2n与常数列{2}的求和问题．解(1)由于an＝n·2n＋12n＝n＋12n，∴Sn＝1＋121＋2＋122＋3＋123＋…＋n＋12n＝(1＋2＋3＋…＋n)＋12＋122＋123＋…＋12n＝nn＋12＋121－12n1－12＝nn＋12－12n＋1.(2)当x＝±1时，Sn＝4n.当x≠±1时，Sn＝x＋1x2＋x2＋1x22＋…＋xn＋1xn2＝x2＋2＋1x2＋x4＋2＋1x4＋…＋x2n＋2＋1x2n＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋1x2＋1x4＋…＋1x2n＝x2x2n－1x2－1＋x－21－x－2n1－x－2＋2n＝x2n－1x2n＋2＋1x2nx2－1＋2n.∴Sn＝4nx＝±1，x2n－1x2n＋2＋1x2nx2－1＋2nx≠±1.某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．探究提高求和Sn＝1＋1＋12＋1＋12＋14＋…＋1＋12＋14＋…＋12n－1.变式训练1解和式中第k项为ak＝1＋12＋14＋…＋12k－1＝1－12k1－12＝21－12k.∴Sn＝21－12＋1－122＋…＋1－12n＝－(12＋122＋…＋12n)]2[(1＋1＋…＋1）＝2n－121－12n1－12＝12n－1＋2n－2.n个例2设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，n∈N*.(1)求数列{an}的通项；(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.错位相减法求和(1)由已知写出前n－1项之和，两式相减．(2)bn＝n·3n的特点是数列{n}与{3n}之积，可用错位相减法．解(1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，①∴当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝n－13，②①－②得3n－1an＝13，∴an＝13n.在①中，令n＝1，得a1＝13，适合an＝13n，∴an＝13n.(2)∵bn＝nan，∴bn＝n·3n.∴Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，③∴3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n＋1.④④－③得2Sn＝n·3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)，即2Sn＝n·3n＋1－31－3n1－3，∴Sn＝2n－13n＋14＋34.解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列{3n－1an}的前n项和，从而利用an与Sn的关系求出通项3n－1an，进而求得an；另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养．探究提高已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋n＝2an(n∈N*)．(1)证明：数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，数列{bn}的前n项和为Tn.求满足不等式Tn－22n－12013的n的最小值．变式训练2(1)证明因为Sn＋n＝2an，即Sn＝2an－n，所以Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2，n∈N*)．两式相减化简，得an＝2an－1＋1.所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2，n∈N*)，所以数列{an＋1}为等比数列．因为Sn＋n＝2an，令n＝1，得a1＝1.a1＋1＝2，所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1.(2)解因为bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，所以bn＝(2n＋1)·2n.所以Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，①2Tn＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，②①－②，得－Tn＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1＝6＋2×22－2n＋11－2－(2n＋1)·2n＋1＝－2＋2n＋2－(2n＋1)·2n＋1＝－2－(2n－1)·2n＋1.所以Tn＝2＋(2n－1)·2n＋1.若Tn－22n－12013，则2＋2n－1·2n＋1－22n－12013，即2n＋12013.由于210＝1024,211＝2048，所以n＋1≥11，即n≥10.所以满足不等式Tn－22n－12013的n的最小值是10.例3已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S2n＝anSn－12.(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝Sn2n＋1，求{bn}的前n项和Tn.裂项相消法求和(1)通过an＝Sn－Sn－1(n≥2)消去已知等式中的an，构造出含Sn的新数列；(2)求出{bn}的通项，根据通项的结构特点，确定求和方法．解(1)∵S2n＝anSn－12，an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∴S2n＝(Sn－Sn－1)Sn－12，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，①由题意Sn－1·Sn≠0，①式两边同除以Sn－1·Sn，得1Sn－1Sn－1＝2，∴数列1Sn是首项为1S1＝1a1＝1，公差为2的等差数列．∴1Sn＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝12n－1.(2)又bn＝Sn2n＋1＝12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝121－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝121－12n＋1＝n2n＋1.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．探究提高已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝12Sn(n＝1,2,3，…)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)当bn＝(3an＋1)时，求证：数列1bnbn＋1的前n项和Tn＝n1＋n.变式训练3(1)解由已知得an＋1＝12Sn，an＝12Sn－1(n≥2)，得到an＋1＝32an(n≥2)．∴数列{an}是以a2为首项，以32为公比的等比数列．23log又a2＝12S1＝12a1＝12，∴an＝a2×32n－2＝1232n－2(n≥2)．∴an＝1，n＝1，1232n－2，n≥2.(2)证明bn＝(3an＋1)＝32·32n－1＝n.∴1bnbn＋1＝1n1＋n＝1n－11＋n.∴Tn＝1b1b2＋1b2b3＋1b3b4＋…＋1bnbn＋1＝11－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－11＋n＝1－11＋n＝n1＋n.23log23log数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．方法与技巧1．直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程．2．重点通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础上，判断求和类型，寻找求和的方法，或拆为基本数列求和，或转化为基本数列求和．求和过程中同时要对项数作出准确判断．3．含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论．失误与防范