5.11勒让德函数和其应用

第五章勒让德函数及其应用§1勒让德方程及其本征值问题亥姆霍兹方程：20VV在球系分离变量的结果221(sin)()0sinsinddmdd连带勒让德方程从数学上看，当u=u(r,)=R(r)()时→m2=0，1(sin)0sindddd勒让德方程从物理上看，u(r,)代表的是一种对z轴具有旋转对称性的场。例：一导体球放入均匀电场中，求球外电位分布。当z轴选任意方向时，u=u(r,,)Ezzo当z轴选为电场方向时，u=u(r,)21(sin)0sin20ddddrRrRR勒让德方程欧拉型方程设(,)()()urRr200,0ura代入方程得：一、勒让德方程的本征值问题0,1(sin)00sin()dddd①21(1)011()xddyxyxdxdxyx②为了求解方便，作变量变换：cos,sin,()()xdxdyx二、勒让德方程的级数解2(1)0ddyxydxdx②若P(x)、Q(x)在|x-x0|R内解析，则方程0)()()()()(xyxQxyxPxy在|x-x0|R内的解一定是解析的。理论依据：将②中方程标准化：222()()011xyyxyxxx221,12)(xQxxxP在|x|1内解析∴|x|1内解y(x)一定是解析的由泰勒定理：y(x)一定可展为：0()1kkkyxCxx将级数解代入:222(1)20dydyxxydxdx2(1)(2)(1)kkkkCCkk2,1,0k③③为一个递推公式，其功能为2,1125312420jCCCCCCCCjj偶次幂系数奇次幂系数)()()(1100xyCxyCxy④推导C2j的一般表达式：③中令k=00212CC令k=20241234323432CCC令k=4046123456))(32)(54(5654CCC令k=2j-202)!2(][)32)(42()12)(22(CjjjjjCj2,1j2(1)(2)(1)kkkkCCkk同理得：112)!12(]2[)22)(32(2)12(CjjjjjCj2,1j2210212111()jjjjjjyxCCxCxCx200121111(22)(21)[](2)!(21)2[2](21)!jjjjjjCCxjjjCxCxj)()()(1100xyCxyCxy④C0,C1为两个任意常数，y0,y1为两个线性无关的特解解的收敛性：i）|x|1，y0(x)、y1(x)均收敛（定理）∴④是方程2(1)0ddyxydxdx的通解ii)x=±1当≠l(l+1)时，y0,y1均为发散的无穷级数。2(1)()(1)(2)kkklklCCkk当=l(l+1)时当kl时，上面递推可进行：当k=l时，Cl+2＝0Cl+4=Cl+6=……=0y0(x)或y1(x)的前有限项不为零当l=2j时，C2j+2=C2j+4=……=0=2j(2j+1)y0(x)断为2j次的多项式jjxCxCCxy222200)(y1(x)仍为发散的无穷级数当l=2j+1时，=(2j＋1)(2j+2)05232jjCCy1(x)中断为2j+1次的多项式12123311)(jjxCxCxCxyy0(x)仍为发散的无穷级数总之,当l=l(l+1)时，两个特解之一退化为l次多项式。这l次多项式就是勒让德本征值问题的解。令另一个发散的无穷级数特解前的系数为零然后利用递推公式klkCkkkkC)1)(2()1(2反推：2)1()1)(2(klkCkkkkC)1(lll得：llrrlCrlrlrrlC)!2()!(!2)!22()1(2220(22)!()(1)2!()!(2)!lrlrllrlrPxxrlrlr将本征函数取为Pl(x)=常量yl(x)，并使最高次幂项xl的系数为22!2(!)lllCl证明：利用二项式定理lrrrllbarlrlba0)!(!!)(lrrrllxrlrlx022)1()()!(!!)1(lrrlrrlrxl022)!(!!)1(rllllrrlllxdxdrlrlxdxd2202)!(!!)1()1(]2[022)122()122)(22()!(!!)1(lrlrlrxlrlrlrlrlrlrllrrxrlrlrlrl2]2[0)!2()!(!)!22(!)1()()!2()!(!2)!22()1()1(!212]2[02xPxrlrlrlrxdxdllrllrlrllll证毕给出了勒让德函数除多项式定义之外的另一种表达形式解释：∵r=0时，Cl-2r＝Cl，是最高次幂系数，r越大，l-2r越小为保证l-2r≥0即2r≤lr≤l/2max22(1)221llrlrllrl偶奇◆[l/2]代表不大于l/2的最大整数◆l=偶数时，Pl(x)是偶次多项式l=奇数时，Pl(x)是奇次多项式给出前几阶勒让德多项式：1)!00()!00(!02)!00()1()(00000000rxxPlxxxPlr0100101)!01()!01(!02)!012()1()(1220(22)!()(1)2!()!(2)!lrlrllrlrPxxrlrlr222102202)!22()!12(!12)!1222()1()!02()!02(!02)!022()1()(2xxxPl)13(21212322xx三、勒让德本征值问题的解本征值：)1(lll本征函数：220(22)!()(1)2!()!(2)!lrlrllrlrPxxrlrlr2,1,0l同理：0,1(sin)0sin()dddd解为：2,1,0)(cos)()1(lPlllll00()1lPx11()lPxx220(22)!()(1)2!()!(2)!lrlrllrlrPxxrlrlr2212()(31)2lPxx0(cos)1P1(cos)cosP221(cos)(3cos1)2P给出前几阶勒让德多项式：直角系0)(,0)0(00)()(lXXlxxXxX①2,1sin)()(2nxlnxXlnnn球系21(1)011()xddyxyxdxdxyx②220(1)0,1,2(22)!()(1)2!()!(2)!llrlrllrllllrPxxrlrlr四、勒让德函数系)(xPl的性质1.奇偶性奇偶lxPxPlxPxPxPxPlllllll)()()()()()1()(220(22)!()(1)2!()!(2)!lrlrllrlrPxxrlrlr2.Pl(x)的取值+10-104243x=121xx=0x=-121xP0(x)=1P2(x)P1(x)P3(x)cosxi)值域：1|)(|xPl)(xPl为一有界函数定义域：1||xii))(xPl有l个分立的零点iii)22021(0)0,1,2(1)(2)!22(!)nlnlnPnnlnniv）端点值(1)1(1)(1)lllPP3.Pl(x)的微分表达式—罗巨格公式lllllxdxdlxP)1(!21)(24.积分性质若f(x)是k次多项式10()kkfxaxaxa且kl，则(f,Pl)=0，x∈[-1,1]证明：不失一般性，设f(x)为实函数11)()(),(dxxPxfPfll11211)1()(!21llllxdxddxfl112)1(!21)(dxxdxdlxfllll分部积分一次：11211111211)1()()1()(!21dxxdxdxfxdxdxfllllllll分部积分k次：0)1()(!2)1()1()(!2)1(11211)(112)(lklklklklklklklkxdxdxfldxxdxdxfl特例：lkdxxPxlk0)(11所有k次多项式(kl)f(x)与Pl(x)在[-1,1]上正交5.是)(xPl]1,1[x上的正交完备系正交归一性：kllklPP122,完备性：对于定义在[-1,1]上具有一、二阶连续导数的函数f(x)均可按{Pl(x)}展为绝对且一致收敛的广义付氏级数0)()(lllxPCxf11)()(212,)(,dxxPxflPPxfPClllll或0)(cos)(lllPCf11sin)(cos)(212,)(,dPflPPfPClllll[例]将f(x)=x2在x∈[-1,1]上按{Pl(x)}展为广义付氏级数法一：02)(lllxPCx112)(212dxxPxlCll)(32)(31202xPxPx法二：31)2123(32)(22xxxf)(32)(3120xPxP法三：∵x2是偶函数，只能用偶数阶勒让德多项式展开)()(22002xPCxPCx设：)0()0(002200PCPCx)1()1(112200PCPCx20201210CCCC①②)(32)(31202xPxPx0212,33CC6.Pl(x)的生成函数公式从历史上看，勒让德多项式首先是由势论中引出的例：求处于点处的单位正电荷在点产生的电位rRrRorR1q若选择自然单位制rRRu1)(2122cos2RrrRrR212)(cos21RrRrR设cos,xtRr2122111ttxRrR21221ttx在t=0点邻域|t|1内可展为泰勒级数1||210212ttattxlll计算可得：)(xPall称为的生成函数21221ttx)(xPl每个特殊函数都有一个对应的生成函数利用生成函数公式证明：Pl(1)=1Pl(-1)=(-1)l1||)(210212ttxPttxlll令x=1左=02121121llttttx右=0)1(llltP左＝右：00)1(llllltPt比较前系数:lt)1(1lP应用：时：1Rr212)(cos2111RrRrRrR0))((cos1lllRrPR场点比源点距离原点远①时：1Rr212)(cos2111rRrRrrR01(cos)lllRP