数列复习知识点大全

第1页共10页《数列》复习1.数列的通项（求数列通项公式的常用方法：）（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与项数n在变化过程中的联系，初步归纳公式。（2）公式法：等差数列与等比数列。（3）利用nS与na的关系求na：11,(1),(2)nnnSnaSSn（4）构造新数列法；（5）逐项作差求和法；（6）逐项作商求积法2.等差数列{}na中：（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性；（2）1(1)naand()manmd；（3）{}nka也成等差数列；两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.(4)1211221213,,mmmmmmmaaaaaaaaa仍成等差数列.（5）1()2nnnaaS，1(1)2nnnSnad，21()22nddSnan，2121nnSan，()(21)nnnnAafnfnBb.(6)若mnpq，则mnpqaaaa；若2pqm，则2pqmaaa,()0pqpqaqappqa，,()()pqpqSqSppqSpq；mnmnSSSmnd.（7）等差中项：若,,aAb成等差数列，则2abA叫做,ab的等差中项。（8）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法。（9）若等差数列的项数为2Nnn，则，奇偶ndSS1nnaaSS偶奇；若等差数列的项数为Nnn12，则nnanS1212，且naSS偶奇，1nnSS偶奇3.等比数列{}na中：（1）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。第2页共10页（2）11nnaaqnmmaq；（3）{||}na、{}nka成等比数列；{}{}nnab、成等比数列{}nnab，}/{nnba成等比数列.（4）,,,232nnnnnSSSSS（0nS）成等比数列.①当q=－1且k为偶数时，kkkkkSSSSS232,,不是等比数列.②当q≠－1或k为奇数时，kkkkkSSSSS232,,仍成等比数列奎屯王新敞新疆（5）111111(1)(1)(1)(1)(1)1111nnnnnaqnaqSaaaaqaqqqqqqqq.（6）pqmnpqmnbbbb；22mpqmpqbbbmnmnmnnmSSqSSqS.（7）“首大于1”的正值递减等比数列中，前n项积的最大值是所有大于或等于1的项的积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前n项积的最小值是所有小于或等于1的项的积；（8）并非任何两数总有等比中项.仅当实数,ab同号时，实数,ab存在等比中项.对同号两实数,ab的等比中项不仅存在，而且有一对Gab.也就是说，两实数要么没有等比中项(非同号时)，如果有，必有一对(同号时)。（10）判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法4.等差数列与等比数列的联系：各项都不为零的常数列既是等差数列又是等比数列。为等差数列，则为等差数列，反之若数列，则为各项均为正数的等比}{}log{nncnbaanbc为等比数列。利用这点可以从其中之一的性质类比推导另一数列的性质。5.数列求和的常用方法：（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式③1123(1)2nnn，22221123(1)(21)6nnnn，2135(21)nn，2135(21)(1)nn.（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是等比数列前n和公式的推导方法之一）.第3页共10页(5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：（6）分类讨论法（7）奇偶求和法①111(1)1nnnn②1111()()nnkknnk，③1111[](1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn6．等差数列ns的最值问题⑴等差数列的前n项和为nS，在0d时，有最大值.d0时有最小值。如何确定使nS取最大（小）值时的n值，有两种方法：一是由ndandSn)2(212利用二次函数的性质求n的值.二是（1)当1a0,d0时，满足001mmaa的项数m使得ms取最大值.(2)当1a0,d0时，满足001mmaa的项数m使得ms取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。7．等比数列的前n项和公式的常见应用题：⑴生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为r1.其中第n年产量为1)1(nra，且过n年后总产量为：)1(1])1(1[)1()1()1(12rrarararaann⑵银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为nra)1(元.因此，第二年年初可取款：)1(...)1()1()1(101112rararara=)1(1])1(1)[1(12rrra.⑶分期付款应用题：贷款为a元；m个月将贷款全部付清；r为年利率，每月归还x元.1111111......11121mmmmmmmrrarxrrxraxrxrxrxra附通项公式求法：1．1na=na+)(nf型（累加法：）na=（na－1na）+（1na－2na）+…+（2a－1a）+1a=)1(nf+)2(nf+…+)1(f+1a例1.已知数列{na}满足1a=1，1na=na+n2（n∈N+），求na.[解]na=na－1na+1na－2na+…+2a－1a+1a=12n+22n+…+12+1=2121n=n2－1∴na=n2－1（n∈N+）第4页共10页2．)(1ngaann型（累乘法：）na=1nnaa·21nnaa…12aa·1a=.1a)1(g.)2(g.…)1(ng例2、已知数列{na}满足1a=23，11nnnaan，求na。解：由已知得11nnanan，分别令n=1，2，3，….(n-1),代入上式得n-1个等式累乘，即3241231........nnaaaaaaaa=1231......234nn所以11naan，又因为123a也满足该式，所以23nan。3．1na=pna+q型（p、q为常数）方法：（待定系数法）（1）1na+1pq=)1(pqapn，再根据等比数列的相关知识求na.（2）1na－na=)(1nnaap再用累加法求na.或解方程（3）11nnpa=nnpa+1npq，先用累加法求nnpa再求na.例3.已知{na}的首项1a=a（a为常数），na=21na+1（n∈N+，n≥2），求na.[解]设na－λ=2（1na－λ），则λ=－1∴na+1=2（1na+1）∴{1na}为公比为2的等比数列.∴na+1=（a+1）·12n∴na=（a+1）·12n－14．1na=pna+)(nf型（p为常数）方法：变形得11nnpa=nnpa+1)(npnf，则{nnpa}可用累加法求出，由此求na.例4.已知{na}满足1a=2，1na=2na+12n.求na.[解]112nna=nna2+1∴{nna2}为等差数列.nna2=nna121∴na=n·n25．形如nnnndacaaa11（dc;为常数，且0,0dc）的递推公式，可令nnnnbaba1,111。则可转化为qpaann1型；例6.已知1a=1，1na=22nnaa（n∈N+），求na.[解]x=22xx∴021xx∴na1=11na+C∵1a=1，2a=32，∴代入，得C=21∴na1为首项为1，d=21的等差数列.∴na1=21n∴na=12n（n∈N+）6.)0,0(1nqnnappaa对数变换法：例：已知数列na满足)2(10,10121naaann，求na7．“已知nS，求na”型方法：na=nS－)2(1nSn,11sa（注意1a是否符合）例6.设nS为{na}的前n项和，nS=23（na第5页共10页－1），求na（n∈N+）[解]∵nS=23（na－1）（n∈N+）∴当n=1时，1a=23（1a－1）∴1a=3当n≥2时，na=nS－1nS=23（na－1）－23（1na－1）∴na=31na∴na=n3（n∈N+）9．“已知na，1na，nS的关系，求na型(方法：构造与转化的方法.)例8.已知{na}的前n项和为nS，且na+2nS（1nS－1na－na）=0（n≥2），1a=21，求na.[解]依题意，得nS－1nS+2nS·1nS=0∴nS1－11nS=2∴nS1=２+2（n－１）=2n∴nS=n21，1nS=)1(21n∴na=nS-1nS=－2×n21×)1(21n=)1(21nn（2n）∴na=)2,()1(21)1(21nNnnnn前n项和nS例：试化简下列和式：21123(0)nnSxxnxx解：①若x=1，则Sn=1+2+3+…+n=(1)2nn②若x≠1,则21123nnSxxnx2323nnxSxxxnx两式相减得：2(1)1nxSxx+…+nnnxx111nnxnxx∴21(1)1nnnxnxSxx练习题：1．数列,10,6,3,1的一个通项公式是（）A．)1(2nnB．12nC．2)1(nnD．2)1(nn2．已知数列na满足)2()1(11naaannnn且11a，则32aa（）A．２B．14C．４D．12第6页共10页3．等差数列na的首项11a，如果521,,aaa成等比数列，那么公差d等于（）A．2B．-2C．2或0D．24．数列的前n项和2522nnsn，则此数列一定是（）A．递增数列B．等差数列C．等比数列D．常数列5．凸五边形各内角度数成等差数列，则其中必有一个内角等于（）A．108B．120C．90D．726．在a和)(bab两数之间插入n个数，使它们与ba、组成等差数列，则该数列公差为（）A．nabB．1nabC．1nbaD．2nab7．设等比数列na的前n项和csnn3,则c等于（）A．0B．1C．2D．38．一个等比数列的前n项和为48，前n2项和为60，那么前n3项和为（）A．84B．75C．68D．639．设{an}是等差数列，Sn是前n项的和，且S5S6,S6=S7S8，则下列结论错误的是（）A．d0B．a7=0C．S9S5D．S6、S7均为Sn的最大值10．na是一个等差数列且171074aaa，771454aaa．若13k