概率论与数理统计---第7章参数估计习题及答案

56第7章参数估计----点估计一、填空题1、设总体X服从二项分布),(pNB，10P，nXXX21,是其一个样本，那么矩估计量pˆXN.2、设总体)p,1(B~X，其中未知参数01p,XXXn12,,是X的样本，则p的矩估计为_n1iiXn1_，样本的似然函数为_iiX1n1iX)p1(p__。3、设12,,,nXXX是来自总体),(N~X2的样本，则有关于及2的似然函数212(,,;,)nLXXX_2i2)X(21n1ie21__。二、计算题1、设总体X具有分布密度(;)(1),01fxxx，其中1是未知参数，nXXX,,21为一个样本，试求参数的矩估计和极大似然估计.解：因10101α1α1αdxxdxxxXEa)()()(2α1α2α1α102|ax令2α1αˆˆ)(XXEXX112αˆ为的矩估计因似然函数1212(,,;)(1)()nnnLxxxxxxniiXnL1α1αln)ln(ln，由niiXnL101ααlnln得，的极大似量估计量为)ln(ˆniiXn11α2、设总体X服从指数分布,0()0,xexfx其他，nXXX,,21是来自X的样本，（1）求未知参数的矩估计；（2）求的极大似然估计.57解：（1）由于1()EX，令11XX，故的矩估计为1ˆX（2）似然函数112(,,,)niixnnLxxxe111lnlnln0niininiiiLnxdLnnxdx故的极大似然估计仍为1X。3、设总体2~0,XN，12,,,nXXX为取自X的一组简单随机样本，求2的极大似然估计；[解](1)似然函数222112ixniLe2212222niixne于是2221lnln2ln222niixnnL22241ln122niidLnxd，令2ln0dLd，得2的极大似然估计：2211niiXn.4、设总体X服从泊松分布()P,12,,,nXXX为取自X的一组简单随机样本,（1）求未知参数的矩估计；（2）求的极大似然估计.解：（1）令ˆ()EXXX，此为的矩估计。（2）似然函数1121(,,,)!niixnnniieLxxxx1111lnlnln!ln0nniiiinniiiiLxnxxxdLnxdn故的极大似然估计仍为X。58第七章参数估计----点估计的评价标准一、填空题1、设321,,XXX是取自总体X的一个样本，则下面三个均值估计量3213321232111214331ˆ,1254131ˆ,2110351ˆXXXuXXXuXXX都是总体均值的无偏估计，则2ˆ最有效.2、设nXXX,,21是取自总体),0(2N的样本，则可以作为2的无偏估计量是(A).A、niiXn121B、niiXn1211C、niiXn11D、niiXn111二、计算题1、设nXXX,,21为从一总体中抽出的一组样本，总体均值已知，用niiXn12)(11去估计总体方差2，它是否是2的无偏估计，应如何修改，才能成为无偏估计.解：因niniiiXEnXnE1122)(11])(11[221nnniiXn12)(11不是2的无偏估计但niiXn12)(1是2的无偏估计2、设nXXX,,21是来自总体),(2N的一个样本，若使1121)(niiiXXC为2的无偏估计，求常数C的值。解：11221111122111122222122[()][()][2][2]12(1)2(1)nniiiiiiniiiiiniECXXCEXXCEXEXEXEXCnCCn59第七章参数估计----区间估计一、选择题1、设总体),(~2NX，2未知，设总体均值的置信度1的置信区间长度l，那么l与a的关系为(A).A、a增大，l减小B、a增大，l增大C、a增大，l不变D、a与l关系不确定2、设总体),(~2NX，且2已知，现在以置信度~1估计总体均值，下列做法中一定能使估计更精确的是(C).A、提高置信度1，增加样本容量B、提高置信度1，减少样本容量C、降低置信度1，增加样本容量D、降低置信度1，减少样本容量二、计算题1、设总体)9.0,(~2NX，当样本容量9n时，测得5X，求未知参数的置信度为0.95的置信区间.解：的置信区间为22(,)XZXZnn05.09n9.05X0.0521.96Z的置信区间为)588.5,412.4(。2、设总体2~(,),XN已知0,要使总体均值的置信水平为1的置信区间的长度不大于L，问需要抽取多大容量的样本。解：的置信区间为0022(,)XZXZnn，220022242ZZLnLn3、某车间生产自行车中所用小钢球，从长期生产实践中得知钢球直径),(~2NX，现从某批产品里随机抽取6件，测得它们的直径(单位：mm)为：14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1，置信度95.01(即05.0)(1)若06.02，求的置信区间(2)若2未知，求的置信区间(3)求方差2，均方差的置信区间.解：(1)2已知，则的置信区间为22(,)XZXZnn，6025,0.05,1.96nZ代入则得的置信区间)15.15,75.14((2)2未知，则的置信区间为22(,)SSXtXtnn，05.0,5n查表得0.0522.5706t，代入得的置信区间为)19.15,71.14((3)222(1)~(1)nSn2的置信区间2222122(1)(1)(,)(1)(1)nSnSnn5,05.0n代入得2的置信区间为：)3069.0,0199.0(。均方差的置信区间为(0.0199,0.3069)(0.1411,0.2627)4、设从正态总体X中采用了n=31个相互独立的观察值,算得样本均值61.58X及样本方差22)8.5(S,求总体X的均值和方差的90%的置信区间解：,8.5s,31n,95.021,05.02,9.010.05(30)1.6973t的90%的置信区间为:2((1))(56.84,60.38)sXtnn220.050.95(30)43.77(30)18.49，S2=33.642的（1-a）%的置信区间为:2222221(1)(1),(1)(1)nsnsnn即6.541.2349.188.333077.4364.3330222的90%的置信区间为:(23.1,54.6)5、设某种灯泡的寿命X服从正态分布N(,2),,2未知,现从中任取5个灯泡进行寿命测试(单位:1000小时),得:10.5,11.0,11.2,12.5,12.8,61求方差及均方差的90%的置信区间.解：995.0)(41,6.1151512251iiiixxSxx41,95.021,05.02,9.01n220.050.95(4)9.488,(4)0.711xx598.5711.0995.04,419.0488.9995.042及的90%的置信区间为(0.419,5.598)及)366.2,647.0()598.5,419.0(6、二正态总体N(1,12),N(2,22)的参数均未知,依次取容量为n1=10,n2=11的二独立样本,测得样本均值分别为121.2,2.8xx，样本方差分别为29.0,34.02221SS,(1)求二总体均值差12的90%的置信区间。（2）求二总体方差比90%的置信区间。解：1210.9,0.05,19,1102nn（1）290.34100.290.313719ws，0.05(19)1.729t，12的90%的置信区间为1111(1.22.81.7290.3137,1.22.81.7290.3137)10111011(2.0231,1.1769)（2）0.05(9,10)3.02F0.950.0511(9,10)(10,9)3.14FF17.129.034.02221SS2221/的90%的置信区间为:)67.3,39.0()14.317.1,02.3117.1(