《微积分一》函数的极值

首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件§4.4函数的极值x1x2x3x4x56x首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件定义41(极值的概念)设函数f(x)在点x0的一个邻域(x0x0)内有定义如果对任意的x(x0x0)(x0x0)总有f(x)f(x0)则称f(x0)为函数f(x)的极大值x0称为函数f(x)的极大值点如果对任意的x(x0x0)(x0x0)总有f(x)f(x0)则称f(x0)为函数f(x)的极小值x0称为函数f(x)的极小值点函数的极大值与极小值统称为函数的极值使函数取得极值的点称为极值点(1)极值是局部性概念注.(2)极值只能在区间内部取得首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件x1x2x3x4x56x极大值点：极小值点：24,;xx135,,xxx观察与思考：如果f(x)在点x0处有极值且f(x0)存在则f(x0)有什么特点？定理44(极值的必要条件)如果函数f(x)在点x0处有极值且f(x0)存在则f(x0)0费尔马(Fermat)引理反之如何？660,xx点处的导数为但点不是极值点.不一定成立！首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件x1x2x3x4x56x观察与思考：曲线的升降与极值之间的关系极大值点：极小值点：24,;xx135,,xxx2.极值点是单调性的分界点！1.极大值点左增右减；极小值点左减右增.首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件定理45(极值的第一充分条件)设函数f(x)在点x0的某邻域(x0x0)内连续并且可导(但f(x0)可以不存在)(1)如果当x(x0x0)时f(x)0而当x(x0x0)时f(x)0则函数f(x)在x0处取得极大值f(x0)(2)如果当x(x0x0)时f(x)0而当x(x0x0)时f(x)0则函数f(x)在x0处取得极小值f(x0)(3)如果当x(x0x0)和x(x0x0)时f(x)不变号则函数f(x)在x0处无极值首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件由极值的第一充分条件，求函数的极值点和极值的步骤为：'()fx（1）确定函数的定义域；（2）求出所有驻点和不可导的点；（3）用上述点将定义域分成若干小区间；（4）在每个小区间上判断的符号，得出函数的单调性，从而判断出函数的极值点，求出函数的极值.极值点是单调性的分界点！'()0'()fxfx使的点(驻点)可能的单调性的分界点有：不存在的点'()0'()fxfx使的点(驻点)可能的极值点有：不存在的点首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件解例1求f(x)(x1)2(x1)3的单调增减区间和极值f(x)(x1)(x1)2(5x1)令f(x)0得驻点x11512xx31列表判断f(x)f(x))51,1(51)1,51(x(1)11(1)000↗↗↗↘0非极值0极小值极大值31253456由此看出f(x)在1(,)5和(1)内单调增加在1(,1)5内单调减少函数f(x)的极大值为13456()53125f极小值为f(1)0首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件解例2求函数3223)(xxxf的单调增减区间和极值解311)(xxf令f(x)0得驻点x1不可导点为x0列表判断f(x)f(x)无0↗↗↘0极大值x(0)01(1)(01)极小值21函数f(x)在区间(0)和(1)内单调增加在区间(01)内单调减少函数的极大值为f(0)0极小值为1(1)2f首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件定理46(极值的第二充分条件)设f(x0)0f(x0)存在(1)如果f(x0)0则f(x0)为f(x)的极小值(2)如果f(x0)0则f(x0)为f(x)的极大值解例3求函数f(x)x33x的极值f(x)3x233(x1)(x1)f(x)6x令f(x)0得驻点x1x1因为f(1)60所以f(1)2为极大值因为f(1)60所以f(1)2为极小值首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件定理2(极值的第二充分条件)设f(x0)0f(x0)存在(1)如果f(x0)0则f(x0)为f(x)的极小值(2)如果f(x0)0则f(x0)为f(x)的极大值注.第二充分条件的局限性：0()0fx（1）不可导的点只能用第一充分条件判断（2）的点