高中数学-抛物线教案

抛物线的几何性质教案一、要点归纳1.抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。2.抛物线的性质:抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程22(0)ypxp22(0)ypxp22(0)xpyp22(0)xpyp图形焦点坐标(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p准线方程2px2px2py2py范围0x0x0y0y对称性x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率1e1e1e1e焦半径02xpPF02xpPF02ypPF02ypPF焦点弦公式)(21xxpAB)(21xxpAB)(21yypAB)(21yypAB3.通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦H1H2称为通径；通径：|H1H2|=2P4．焦点弦：过抛物线22ypx(0)p焦点F的弦AB，若1122(,),(,)AxyBxy，则(1)||AFx1+2p，（定义）(2)12xx42p，12yy－p2．（韦达定理）(3)弦长)(21xxpAB,pxxxx21212,即当x1=x2时,弦长最短为2p，此时弦即为通径。(4)若AB的倾斜角为θ，则AB=2sin2p（焦点弦公式与韦达定理）5.直线与抛物线相交所得弦长公式2121221||1||1||ABkxxyyk6.点P(x0,y0)和抛物线22ypx(0)p的位置关系(1)点P(x0,y0)在抛物线22ypx(0)p内y202px0oFxyloxyFlxyoFl(2)点P(x0,y0)在抛物线22ypx(0)p上y20=2px0(3)点P(x0,y0)在抛物线22ypx(0)p外y202px07.直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．二、例题分析[例1]给定抛物线，设A（）（），P是抛物线上的一点，且，试求的最小值。解：设（）（）则∴∵，∴（1）当时，，此时当时，（2）当时，，此时当时，[例2]过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，设交抛物线于A、B两点，求。解：当时，直线AB的方程为由得A（）、B（，）∴当时，直线AB的方程为由得设A（）、B（），则∴[例3]过抛物线的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点？解：抛物线的准线与对称轴的交点为（），设直线MN的方程为由得∵直线与抛物线交于M、N两点∴即，，设M（，），N（），抛物线焦点为F（1，0）∵以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点∴MF⊥NF∴即又，，且、同号∴解得∴即直线的倾斜角为或时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点。[例4]过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，求的值。解：如图所示，设A（）、B（），AB的方程为由得∴又∵，∴∴∴又[例5]如图，已知直线：交抛物线于A、B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使的面积最大，并求这个最大面积。解：由解得A（4，4）、B（1，），知，所以直线AB的方程为设P（）为抛物线AOB这条曲线上一点，为P点到直线AB的距离∵∴∴从而当时，因此，当点P坐标为时，[例6]已知直线与曲线在第一象限有公共点，求的取值范围。解：如图，易知抛物线与轴交于A（0，1）、B（0，3）直线恒过C（），由图象及抛物线的延伸趋势可知当大于零且小于BC的斜率时满足题意而，故。[例7]设抛物线的焦点为F，经过点F的直径交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//轴，证明：直线AC经过原点O。证：因为抛物线的焦点坐标为F（）所以经过点F的直线AB的方程为代入抛物线方程得0设A（）、B（），则∵BC//轴，且点C在准线上∴点C的坐标为故直线OC的斜率为即也是OA的斜率，所以直线AC经过原点O[例8]如果抛物线上总有关于直线对称的相异两点，试求的范围。解：设抛物线上关于对称的相异两点坐标为A（）、B（）∵两点都在抛物线上∴（1）－（2），得∵（A、B两点相异）∴（3）（3）代入（2），得∵，且相异∴∴∴的取值范围是（）三、课堂练习1．双曲线)0(122mnnymx的离心率为2，有一个焦点与抛物线xy42的焦点重合，则mn的值为（）A．3/16B．3/8C．16/3D．8/32．已知双曲线的中心在原点，离心率为3．若它的一条准线与抛物线xy42的准线重合，则该双曲线与抛物线xy42的交点到原点的距离是（）A．632B．21C．21218D．214．抛物线24xy上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）A．17/16B．15/16C．7/8D．05．过抛物线xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线有条.6．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（填写所有正确选项的序号）.①菱形②有3条边相等的四边形③梯形④平行四边形⑤有一组对角相等的四边形7．抛物线以y轴为准线，且过点(,)(0)Maba，证明：不论M点在坐标平面内的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹的离心率是定值．8.已知抛物线22(0)ypxp，过动点(,0)Ma且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同两点,AB，||2ABp，（1）求a取值范围；（2）若线段AB垂直平分线交x轴于点N，求NAB面积的最大值练习答案：1.A2.B3.D4.B5.有且仅有两条6.②③⑤7.设抛物线的焦点F的坐标为00(,)xy，根据抛物线的定义可知，点(,)Mab到点00(,)Fxy的距离等于点M到y轴的距离，则22020)()(abyax①又设抛物线顶点A的坐标为(,)xy，∵A为线段OF的中点，则002,xxyy,代入①得222(2)()xayba，即抛物线的顶点的轨迹方程为：1)(4)2(2222abyaax，∵0a，∴抛物线顶点的轨迹是椭圆，其中长半轴长为||a，短半轴长为2||a，则半焦距22||3||()||22acaa，所以它的离心率23||23aae为定值.8.（1）由题知l的方程为yxa，设1122(,),(,)AxyBxy，由22ypxyxa，得2220ypyap，∴2480pap，得2pa，∵12122,2yypyyap，∴2212()48yypap，21221||1||22(2)2AByypappk，得4pa，∴a取值范围{|}24ppaa．（2）AB的中点(,)pap，∴线段AB垂直平分线方程：2yxpa，∴(2,0)Npa，22121||2222NABSMNyyppapp，当4pa时NAB面积的最大值22p．