数学分析第八章不定积分

第八章不定积分§1不定积分概念与基本积分公式正如加法有其逆运算减法,乘法有其逆运算除法一样,微分法也有它的逆运算———积分法.我们已经知道,微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数,那么与之相反的问题是:求一个未知函数,使其导函数恰好是某一已知函数.提出这个逆问题,首先是因为它出现在许多实际问题之中.例如:已知速度求路程;已知加速度求速度;已知曲线上每一点处的切线斜率(或斜率所满足的某一规律),求曲线方程等等.本章与其后两章(定积分与定积分的应用)构成一元函数积分学.一原函数与不定积分定义1设函数f与F在区间I上都有定义.若F′(x)=f(x),x∈I,则称F为f在区间I上的一个原函数.-1例如,13x3是x2在(-∞,+∞)上的一个原函数,因为(131x3)′=x2;又如2cos2x与-2cos2x+1都是sin2x在(-∞,+∞)上的原函数,因为(-1cos2x)′=(-1cos2x+1)′=sin2x.22如果这些简单的例子都可从基本求导公式反推而得的话,那么F(x)=xarctanx-1ln(1+x2)2是f(x)=arctanx的一个原函数,就不那样明显了.事实上,研究原函数必须解决下面两个重要问题:1.满足何种条件的函数必定存在原函数?如果存在,是否唯一?2.若已知某个函数的原函数存在,又怎样把它求出来?关于第一个问题,我们用下面两个定理来回答;至于第二个问题,其解答则是本章接着要介绍的各种积分方法.178第八章不定积分定理8.1若函数f在区间I上连续,则f在I上存在原函数F,即F′(x)=f(x),x∈I.本定理要到第九章§5中才能获得证明.由于初等函数为连续函数,因此每个初等函数都有原函数(只是初等函数的原函数不一定仍是初等函数).当然,一个函数如果存在间断点,那么此函数在其间断点所在的区间上就不一定存在原函数(参见本节习题第4题).定理8.2设F是f在区间I上的一个原函数,则(i)F+C也是f在I上的原函数,其中C为任意常量函数①;(ii)f在I上的任意两个原函数之间,只可能相差一个常数.证(i)这是因为[F(x)+C]′=F′(x)=f(x),x∈I.(ii)设F和G是f在I上的任意两个原函数,则有[F(x)-G(x)]′=F′(x)-G′(x)=f(x)-f(x)=0,x∈I.根据第六章拉格朗日中值定理的推论,知道F(x)-G(x)≡C,x∈I.定义2函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分,记作∫f(x)dx,(1)其中称∫为积分号,f(x)为被积函数,f(x)dx为被积表达式②,x为积分变量.尽管记号(1)中各个部分都有其特定的名称,但在使用时必须把它们看作一整体.由定义2可见,不定积分与原函数是总体与个体的关系,即若F是f的一个原函数,则f的不定积分是一个函数族{F+C},其中C是任意常数.为方便起见,写作∫f(x)dx=F(x)+C.(2)这时又称C为积分常数,它可取任一实数值.于是又有∫f(x)dx′=[F(x)+C]′=f(x),(3)∫df(x)dx=d[F(x)+C]=f(x)dx.(4)按照写法(2),本节开头所举的几个例子可写作①这里既把C看作常量函数,又把它作为该常量函数的函数值.在不致混淆时,以后常说“C为任意常数”.②不久可看到,被积表达式可认同为f的原函数F的微分,即dF=F′(x)dx=f(x)dx.∫∫∫§1不定积分概念与基本积分公式179x2dx=13x3+C,sin2xdx=-1cos2x+C,2arctanxdx=xarctanx-1ln(1+x2)+C.2此外,一个函数“存在不定积分”与“存在原函数”显然是等同的说法.不定积分的几何意义若F是f的一个原函数,则称y=F(x)的图象为f的一条积分曲线.于是,f的不定积分在几何上表示f的某一积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一切积分曲线组成的曲线族(图8-1).显然,若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线,则这些切线互相平行.在求原函数的具体问题中,往往先求出全体原函数,然后从中确定一个满足条件F(x0)=图8-1y0(称为初始条件,它由具体问题所规定)的原函数,它就是积分曲线族中通过点(x0,y0)的那一条积分曲线.例如,质点作匀加速直线运动时,a(t)=v′(t)=a,则v(t)=∫adt=at+C.若已知v(t0)=v0,代入上式后确定积分常数C=v0-at0,于是就有v(t)=a(t-t0)+v0.又因s′(t)=v(t),所以又有s(t)=∫[a(t-t0)+v0]dt122a(t-t0)+v0t+C1.若已知s(t0)=s0,则C1=s0-v0t0,代入上式得到s(t)=1a(t-t0)2+v0(t-t0)+s0.2二基本积分表怎样求原函数?读者很快就会发现这要比求导数困难得多.原因在于原函数的定义不像导数定义那样具有构造性,即它只告诉我们其导数恰好等于某个已知函数f,而没有指出怎样由f求出它的原函数的具体形式和途径.因此,我=x180第八章不定积分们只能先按照微分法的已知结果去试探.首先,我们把基本导数公式改写成基本积分公式:1∫.2∫.0dx=C.1dx=∫dx=x+C.α+13∫.xαdx=xα+1+C(α≠-1,x0).4∫.5∫.1dx=ln|x|+C①(x≠0).xexdx=ex+C.6∫.axdx=alna+C(a0,a≠1).7∫.8∫.9∫.10∫.11∫.12∫.cosaxdx=1sinax+C(a≠0).asinaxdx=-1cosax+C(a≠0).asec2xdx=tanx+C.csc2xdx=-cotx+C.secx·tanxdx=secx+C.cscx·cotxdx=-cscx+C.13∫.dx1-x2=arcsinx+C=-arccosx+C1.14∫.dx1+x2=arctanx+C=-arccotx+C1.上列基本积分公式,读者必须牢牢记住,因为其他函数的不定积分经运算变形后,最后归为这些基本不定积分.当然,仅有这些基本公式是不够用的,即使像lnx,tanx,cotx,secx,cscx,arcsinx,arctanx这样一些基本初等函数,现在还不知道怎样去求得它们的原函数.所以我们还需要从一些求导法则去导出相应的不定积分法则,并逐步扩充不定积分公式.①公式4适用于不含坐标原点的任何区间,读者容易验证(ln|x|+C)′=1,x≠0.x●nn-1∫=∫§1不定积分概念与基本积分公式181最简单的是从导数线性运算法则得到不定积分的线性运算法则:定理8.3若函数f与g在区间I上都存在原函数,k1、k2为两个任意常数,则k1f+k2g在I上也存在原函数,且∫[k1f(x)+k2g(x)]dx=k∫1证这是因为f(x)dx+k∫2g(x)dx.(5)∫k1f(x)dx+k∫2g(x)dx′=k1∫f(x)dx′+k2∫g(x)dx′=k1f(x)+k2g(x).线性法则(5)的一般形式为nn∫∑kifi(x)dx=∑∫kifi(x)dx.(6)i=1i=1根据上述线性运算法则和基本积分公式,可求得一些简单函数的不定积分.例1p(x)=a0x+a1x++an-1x+an.∫p(x)dx=a0xn+1+a1xn++an-1x2+ax+C.n+1n2n4例2∫x+1dx=∫(x2-1+2)dxx2+1133xx2+1-x+2arctanx+C.22例3dxcos2xsin2xcosx+sinxcos2xsin2xdx=∫(csc2x+sec2x)dx=-cotx+tanx+C.例4∫cos3x·sinxdx=1(sin4x-sin2x)dx2∫12(-14cos4x+12cos2x)+C=-18(cos4x-2cos2x)+C.例5∫(10x-10-x)2dx=∫(102x+10-2x-2)dx=∫[(102)x+(10-2)x-2]dx12x2ln10(10-10-2x)-2x+C.习题1.验证下列等式,并与(3)、(4)两式相比照:===21-x+182第八章不定积分(1∫)f′(x)dx=f(x)+C;(2∫)df(x)=f(x)+C.2.求一曲线y=f(x),使得在曲线上每一点(x,y)处的切线斜率为2x,且通过点(2,5).3.验证y=xsgnx是|x|在(-∞,+∞)上的一个原函数.24.据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数?5.求下列不定积分:(1∫)(1-x+x3-1)dx;(2)(x-1)2dx;x2∫x(3∫)dx2gx(g为正常数);(4∫)(2x+3x)2dx;2(5∫)3dx;(6)xdx;4-4x2∫3(1+x2)(7∫)(9∫)tan2xdx;(8∫)cos2xcosx-sinxdx;(10)sin2xdx;cos2xcos2x·sin2xdx;(11)∫10t·32tdt;(12∫)xxxdx;(13)∫1+x1-xdx;(14)1+x(cosx+sinx)2dx;(15)∫cosx·cos2xdx;(16∫)(ex-e-x)3dx.§2换元积分法与分部积分法一换元积分法由复合函数求导法,可以导出换元积分法.定理8.4(换元积分法)设g(u)在[α,β]上有定义,u=φ(x)在[a,b]上可导,且α≤φ(x)≤β,x∈[a,b],并记f(x)=g(φ(x))φ′(x),x∈[a,b].(i)若g(u)在[α,β]上存在原函数G(u),则f(x)在[a,b]上也存在原函数F(x),F(x)=G(φ(x))+C,即∫f(x)dx=∫g(φ(x))φ′(x)dx=∫g(u)du=G(u)+C=G(φ(x))+C.(1)(ii)又若φ′(x)≠0,x∈[a,b],则上述命题(i)可逆,即当f(x)在[a,b]上3φ∫∫u2∫∫§2换元积分法与分部积分法183存在原函数F(x)时,g(u)在[α,β]上也存在原函数G(u),且G(u)=F(φ-1(u))+C,即∫g(u)du=∫g(φ(x))φ′(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C=F(φ-1(u))+C.(2)证(i)用复合函数求导法进行验证:ddxG(φ(x))=G′(φ(x))φ′(x)=g(φ(x))φ′(x)=f(x).所以f(x)以G(φ(x))为其原函数,(1)式成立.(ii)在φ′(x)≠0的条件下,u=φ(x)存在反函数x=φ-1(u),且于是又能验证(2)式成立:dxdu=1φ′(x)x=-1.(u)d-111duF(φ(u))=F′(x)·φ′(x)=f(x)·φ′(x)=g(φ(x))φ′(x)·1φ′(x)=g(φ(x))=g(u).上述换元积分法中的公式(1)与(2)反映了正、逆两种换元方式,习惯上分别称为第一换元积分法和第二换元积分法(公式(1)与(2)分别称为第一换元公式与第二换元公式).下面的例1至例5采用第一换元积分法求解.在使用公式(1)时,也可把它写成如下简便形式:∫g(φ(x))φ′(x)dx=∫g(φ(x))dφ(x)=G(φ(x))+C.(1′)例1求∫tanxdx.解由tanxdx=sinxdx=-cosx(cosx)′cosxdx,可令u=cosx,g(u)=1u,则得∫tanxdx=-∫1du=-ln|u|+C=-ln|cosx|+C.例求dxa2+x2(a0).∫∫4∫解∫∫=∫∫secxdx=∫a2184第八章不定积分解∫dxdx1axa2+x2=∫a1+2(令u=)xaa=1a=1du1+u2=x1aarctanu+Caarctana+C.对换元积分法较熟练后,可以不写出换元变量u,而直接使用公式(1′).例3求∫dxa2-x2(a0).dx解∫dx=1dxaa2-x2∫=1-x1-ax2a=arcsinxa+C.例求dxx2-a2(a≠0).dx1x2-a2=2a1x-a-1x+adx=1d(x-a)d(x+a)2a∫x-a-∫x+a=12aln|x-a|-ln|x+a|+C12aln例5求∫secxdx.x-ax+a+C.解[解法一]利用例4的结果可得∫secxdx=∫cosxdx=∫d