有限元与边界元(上)

应用地球物理系列课程《有限元与边界元》教案李貅2006．8教学基本情况课程学时课程总学时50，讲授40学时，实验10课程要求（1）掌握有限元法和边界元法的基本理论、基本算法；（2）具有将实际地球物理问题中的一般边值问题，利用有限元和边界元的基本原理，转化为有限元方程和边界积分方程的能力；（3）了解有限元法和边界元法的基本编程思想；（4）初步具有运用有限元法和边界元法解释实际地球物理问题的能力。课程的重点和难点（1）本课程的重点：有限元和边界元的基本理论和基本算法；解二维拉普拉斯方程的有限元法和边界元法；解二维赫姆霍兹方程的有限元法和边界元法；有限元法和边界元法的应用。（2）本课程的难点：各种边值问题的变分原理；里兹—伽略金法；基本解与格林公式。课程学时分配课程内容学时数备注总学时讲授实验上机第一部分有限元法28226第一章有限元法数学基础88第二章有限元方法44第三章解二维拉普拉斯方程的有限元法642第四章解二维赫姆霍兹方程的有限元法1064第二部分边界元法22184第一章边界元法数学基础66第二章边界单元法44第三章解二维拉普拉斯方程的边界元法642第四章解二维赫姆霍兹方程的边界元法642合计504010第一部分有限元法序要求学生明确4个问题1、什么是有限元法___有限元法-----是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法。2、有限元法实现过程的哲学思想边值问题变分问题（泛函极值问题）剖分插值（变分原理）（有限元法）节点上未知量的高阶线性方程组求出节点场值。3、有限元法的优缺点优点：1）于物性分布复杂的地球物理问题2）解题过程规范缺点：1）全区域剖分2）单元和节点数目多3）现性代数方程组阶数大4）对于无界区域问题须用大型计算机4、有限元法的应用1）应用条件----给出正确的边值问题；有计算程序和计算机。2）应用领域----地球物理中：位场延拓；重、磁、电、震、热等正演。工程应用：3）解决地质问题的特点----定量解释4)有限元法在地球物理中所起的作用----解决了从前无法计算的地球物理问题；为地球物理反演奠定了基础；提高了地球物理勘探的地质效果。1.围岩稳定性分析围岩分析中采用理想性模型模拟地下洞室开挖过程中洞壁的应力和变形，并对锚固、衬石切等工程加固措施设计了专门的单元。该软件采用Windows风格的用户使用界面，工程技术人员只需输入必要的工程结构参数，就可很快地得到有限元计算结果。这软件包对于洞室地址选择，工程方案优化有直接的指导意义。利用该软件已应用于北京十三陵水库发电厂房的设计和云南大朝山水电站地下厂房的选址。2.小湾拱坝动力分析在有限元计算过程中，采用非连续体模型处理裂缝和断层，考虑了坝体、基础、坝肩的相互作用，考虑了水载对计算的影响。该程序成功地模拟了小湾拱坝在地震作用的稳定性。3.盆地模拟是利用FEPG系统开发的盆地演化有限元程序，已由中国海洋石油总公司应用在我国南海的莺琼盆地和珠江口盆地、东海盆地、渤海湾盆地。应用单位认为该程序已成为石油地质研究和目标勘探的得力工具，为降低油气勘探风险发挥了重要作用。4.直流电极测井分析5.钻孔测井分析6.塔里木盆地油气运移研究7．地下厂房洞室群的三维围岩稳定分析工程背景进行索风营电站的建设和进一步优化索风营电站地下工程的设计和施工。通过模拟计算揭示出索风营围岩稳定状态，进行围岩稳定评价，为设计的优化和施工程序的安排提供指导。地下厂房结构图软弱结构面三维造型88..三三维维电电阻阻率率测测深深有有限限元元正正演演模模拟拟中中的的边边界界影影响响二、三维低阻体模型模型设计为区域的中心有一埋深1米，4m×4m×3m的低阻体，电阻率为50，为背景电阻率的1/2。边界单元电阻率为2和5000，分别为非边界区单元电阻率的1/50和50倍，对比三种不同方向边界单元电阻率变化的测深结果。利用组合网格技术处理软弱面889092949698100102-8-6-4-2第一章有限元法数学基础——变分法1.1泛函与变分问题1、泛函的概念：就是函数的函数。如：有一函数y=y(x),如果v又是y=y(x)的函数，则v=v[y]=v[y(x)]称v为y的泛函。泛函和复合函数的区别：复合函数——y=sin(x),z=y2;泛函——v=v[y(x)]2、泛函极值的概念——变分问题以例子来说明：例1：连接两点弧长的最短线可分为两个问题a)弧长问题——泛函A、B两点弧长22'21[()]BBAAldxdyydxlyxb）弧长最短线问题——泛函极值问题求满足下列条件：'21min(),()}BAAABBlydxyyxyyx的y，这成为泛函的极值问题。y=y（x）yxAB例2：质点沿曲线自由下滑的时间质点从A沿y（x）滑至B点，所需时间为'21[()]2BBAAydltdtdxtyxvgy程t为y的泛函.A、B两点的最速下降问题，即满足下列条件：'21min2(),()BAAABBytdxgyyyxyyx的y，这就是变分问题。1.2泛函极值与变分变分问题就是泛函的极值问题。泛函极值的计算方法类似于函数的极值的计算方法。变分的概念在泛函[()]vvyx中，自变量y（x）的增量()yx是指满足同一边界的两个()yx之差10()()()yxyxyxAVByx()yx成为自变量y的变分。应注意的两点：1）变分与微分的区别变分——是对应于同一个x的两个()yx之差10()()()yxyxyx微分——是x变化引起的y的微分0lim()xydydxyxdxx2）若0()yx固定，则有无限多种()yx泛函的变分：泛函的增量——[][]vvyyvy泛函的变分——00[][]limlim[]yyvvyyvyvyyvyyyy泛函的极值：变分的计算公式——00[][0][]lim[]vyyvyyvvyyyvyy泛函的极值条件——[]0vy与函数的极值一样，判别泛函的极大与极小还要看二阶变分而定。1.3尤拉方程（变分原理）在以上各节中，我们有了变分问题的概念，但如何求变分问题是有限元法的关键。尤拉方程法是求解变分问题的方法之一，具体思路是：首先将变分问题转变为微分方程（尤拉方程），然后解尤拉方程，得到变分问题的解。1、尤拉方程的建立将变分问题写成一般形式：211122[()][,(),()]min(),().}xxvyxFxyxyxdxyyxyyx设v在()yx上取极值，任取一条与()yx接近的曲线()yx，y的变分为()()yyxyx考虑到：1）两端点处的变分为零111222()()()0()()()0yxyxyxyxyxyx2）变分()yx对x的导数就是导数的变分()[()()]()()yyxyxyxyxy下面求泛函的变分：根据变分的计算公式有2211[][,,()][,,]xxxxvyyFxyyyydxFxyyyydx令,yyyy所以有21[](,,),xxvyyFxdx21[]()xxvyyFFdx因为X1X2xy()yx()yxy00,,,FFFFyyy所以210[]().xxvyyFFvyydxyy用分部积分法计算上式中的第二项，由于()yy，有22221111().xxxxxxxxFFFFydxdyyydyyyy在端点12,xx的变分为零120,0xxyy，代入上式，得2211xxxxFdFydxydxydxy所以2211()()xxxxFFFdFvyydxydxyyydxy由泛函的极值条件0v，得21()0xxFdFydxydxy由()yx的任意性，除12,xx两点外，在（12,xx）内()0yx，所以必有0FdFydxy-------这就是尤拉方程。尤拉方程是泛函取极值时是必须满足的方程，可通过积分的方法求得方程的通解y=y(x,c1,c2),由边界条件可确定常数c1,c2。尤拉方程展开式'''()0yyxyyyyFdFFFFyFyydxy由此可以看出，如果存在一个变分问题，可通过尤拉方程求出变分问题的解，到此为止我们解决了变分问题。但是如何将边值问题转化为变分问题还需要讨论。下面给出求变分问题的三个例子（见教材P10-13）例一求下列变分问题例二两点的最短线问题例三最速下降问题2、极小位能原理和虚功原理（两个原理）从另一个角度出发建立起将边值问题转化为变分问题的方程。（1）弦的平衡问题两点边值问题(),0(0)0,()0Tyfxxlyyl其中T为弦的张力（正常数），f(x)为外荷载垂直向下作用与弦。该问题的解就是显得平衡位置。由力学的“极小位能原理”可知，弦的平衡位置y*(x)是在满足上述边界条件的一切可能的位置y(x)中，使弦的总位能取最小者。弦处于某一位置y(x)时的总位能包括两部分：一部分为弦的内能，另一部分为外力所做的功。201(),2lwTydx内0,lwfydx外总位能201[()][()2]2lvyxwwTyfydx外内其中[()]vyx称为二次泛函。将上述两个能量积分进行变形，有20000111()22211[](,)22llllwTydxTyyTyydxTyydxLyy内0(,)lwfydxfy外二次泛函又可写成1[()](,)(,)2vyxLyyfy其中（Ly,y）称为Ly与y的内积，LyTy,L称为算子。上式对一切一维椭圆形方程的两点边值问题都适用。由于000(,)[](,)lllLyyTyydxTyyTyydxTyydxayy于是二次泛函可写为1[()](,)(,)2vyxayyfya(y,y)称为双线形泛函，它具有1）双线性；2）对称性；3）正定性。为了确定弦的平衡位置，便导致两个不同形式的数学问题：两点边值问题、变分问题，显然二者之间应具有某种等价关系，这就是一般要建立变分原理的最简模型。（2）极小位能原理与虚功原理定理1：若y*(x)是边值问题(),0{(0)0,()0Tyfxxlyyl的解，则y*(x)使1[()](,)(,)2vyxayyfy达到极小值；反之，若y*(x)使1[()](,)(,)2vyxayyfy达到极小，则y*(x)是以上边值问题的解。——极小位能原理。定理2：若y*(x)是边值问题(),0{(0)0,()0Tyfxxlyyl的解，则它必满足虚功方程(,)(,)0ayyfy反之，若y*(x)满足虚功方程，则y*(x)是以上边值问题的解。——虚功原理。虚功原理与极小位能原理相比，它不需要双线性泛函a(y,z)具有对称正定性，因此，虚功原理的应用范围更广。有了这两个原理，我们可以将边值问题转换为变分问题，实际上虚功方程是尤拉方程的积分形式，两者是一致的。1.4依赖多个自变量的函数的泛函的变分问题设函数u是两个自变量x,y的函数：u=u(x,y),且u（x,y）在区域的边界上的值是给定的。求满足这一边界条件时，泛函[(,)](,,,,)uuvuxyFxyudxdyxy取极值的u(x,y)。经推导可知二维问题的尤拉方程为yF()()0uxFFuxuy解这个方程，得到带积分常数的二维函数u（x，y），带入边界条件后，解出积分常数，最后得到二维函数u（x，y）。例1：求变分问