大学物理伯努利方程及其应用

§2.3伯努利方程及其应用伯努利方程给出了作定常流动的理想流体中任意两点或截面上、及高度之间的关系。pvh一、伯努利方程的推导如图，取一细流管，经过短暂时间△t，截面S1从位置a移到b，截面S2从位置c移到d，S2cS1av1v2ΔtΔtbd流过两截面的体积分别为tSvV111222VvSt由连续性原理得12VVV在b到ｃ一段中运动状态未变，流体经过△t时间动能变化量：22211122kEvVvV流体经过△t时间势能变化量：VghVghEp12△t时间内外力对该段流体做功：VPtvSPtvFA1111111VPtvSPtvFA2222222由功能原理：pkEEAVhhgVvvVPP)()(21)(12212221222212112121ghvPghvPCghvP221或即上式即为伯努利方程的数学表达式。S1S2ΔtΔtP1P2h1h2二、伯努利方程的意义（1）伯努利方程的实质是功能原理在流体力学中的应用)(21)(21222121vvhhgPP表示单位体积流体流过细流管外压力所做的功；21PP21SS表示单位体积流体流过细流管重力所做的功；)hh(g2121SS表示单位体积流体流过细流管后动能的变化量；)vv(21222121SS（2）伯努利方程应用于流体静力学即为连通器原理：（3）注意统一单位，为国际单位。适用于理想流体的定常流动。（4）P、h、v均为可测量，他们是对同一流管而言的。（5）它是流体力学中的基本关系式，反映各截面处，P、h、v之间的关系。BBBAAAghvPghvP222121如图所示，且SB＜＜SA，以A、B两点为参考点，由BBAAvSvS选取hB处为参考点，其hB=0,hA=h得221BBAvPghPgh)PP(vBAB22三、伯努利方程的应用小孔流速由伯努利方程：0BABAvSSv可知，因PA=P0PB=P0所以ghvB2即流体从小孔流出的速度与流体质量元由液面处自由下落到小孔处的流速大小相等。SASB---托里拆利公式左图是利用虹吸管从水库引水的示意图。虹吸管粗细均匀，选取A、C作为参考点。虹吸管水库表面远大于虹吸管截面，由连续性原理可知，所以此例实质为小孔流速问题0Av)(2CAhhgv如果hA－hB＜0，管内流速没有意义。如果管口比水库面高，在没有外界帮助下这种定常流动是不可能实现的。喷雾原理因SA很小，vA增大使PA小于大气压，容器内流体上升到A处，被高速气流吹散成雾，这种现象又称为空吸现象。ACBhAhBhc由伯努利方程ABPvP221从U形管中左右两边液面高度差可知ABPPghghv2为U形管中液体密度，为流体密度。皮托管由上两式得较适合于测定气体的流速。常用如图示形式的皮托管测液体的流速212ABvPPghghv2hhABAB（测量管道中液体体积流量）如左图所示。当理想流体在管道中作定常流动时，由伯努利方程222121BBAAvPvP文丘里流量计由连续性原理BBAAvSvSQ又BAPPgh222ABBASSghSSQ管道中的流速222ABABBSSghSSQvvhSASB∵d1∶d2=2∶1∴S1∶S2=4∶1且v1=1m•s-1例求解.一水平收缩管，粗、细处管道的直径比为2∶1，已知粗管内水的流速为1m•s-1,细管处水的流速以及粗、细管内水的压强差。得v2=4v1=4m•s-12222112121vpvp又由由S1v1=S2v2得Pa105714100121213223212221..vvpp水从图示的水平管道1中流入，并通过支管2和3流入管4。如管1中的流量为900cm3•s-1.管1、2、3的截面积均为15cm2,管4的截面积为10cm2,假设水在管内作稳恒流动，例求解（1）管2、3、4的流量;（2）管2、3、4的流速;（3）管1、4中的压强差.1234v1v2v3v4(1)由连续性原理知Q4=Q1=900cm3•s-1(3)v1=Q1∕S1=900∕15=60cm•s-1由伯努利方程∵S2=S3Q2+Q3=Q1∴Q2=Q3=450cm3•s-1(2)v2=v3=Q2∕S2=450∕15=30cm•s-1v4=Q4∕S4=900∕10=90cm•s-12442112121vpvp得a223212441P2256.09.0100.12121vvpp水管里的水在压强P=4.0×105Pa作用下流入室内，水管的内直径为2.0cm，管内水的流速为4.0m·s-1。引入5.0m高处二层楼浴室的水管，内直径为1.0cm。当水龙头关闭时，，由伯努利方程021vv2211ghPghP即)(2112hhgPP=3.5×105PaS1v1s2v2h2例求解浴室水龙头关闭以及完全打开时浴室水管内的压强。当水龙头完全打开后，222221121'21ghvPvP2222112)(21'ghvvPP=2.3×105Pa即由伯努利方程：打开水龙头，管口处的压强减小，这是水的流动导致的结果。由连续性方程：S1v1=S2v2例求解a、b、c、d各处压强及流速。h1h2abcd如图所示为一虹吸装置，h1和h2及流体密度已知，由题意可知，va=0,pa=pd=p0选d点所在平面为参考平面，对a、d两点应用伯努力方程，有21221)(dvhhg解得122hhgvd因b、c、d各点处于截面积相同的同一流管中，所以122hhgvvvdcb由连续性原理，有：对于a、b两点，有对于a、c两点，有2212021)(ccvghphhgp得：20ghppc2012bbpvp)(120hhgppb，马格努斯效应vω机翼的升力伯努利人物简介丹尼尔·伯努利（1700~1782），1700年1月29日生于尼德兰的格罗宁根。他自幼兴趣广泛、先后就读于尼塞尔大学、斯特拉斯堡大学和海德堡大学，学习逻辑、哲学、医学和数学。1724年，丹尼尔获得有关微积分方程的重要成果，从而轰动欧洲科学界。伯努利把牛顿力学引入对流体力学的研究，其著名的《流体力学》一书影响深远。他同时是气体动力学专家。1782年3月17日，丹尼尔伯努利在瑞土巴塞尔去世。