大学物理习题答案第十五章

[习题解答]15-如果粒子的波函数为(x,y,z)，试求出在x到x+dx、y到y+dy、z到z+dz范围内找到粒子的概率的表达式。解在题意所述范围内找到粒子的概率为.15-4如果粒子的波函数为(r,,)，试求：(1)在r到r+dr的球壳内找到粒子的概率；(2)在(q,)方向上、在d=sindd立体角内找到粒子的概率。解(1)在r到r+dr的球壳内找到粒子的概率=.(2)在(q,)方向上、在d=sindd立体角内找到粒子的概率为..15-5试写出下面两种情况下粒子的定态薛定谔方程：(1)自由粒子；(2)在有心力场中运动的粒子。解(1)自由粒子的动能为，写成算符为.因为在这种情况下，粒子的动能就是粒子的总能量E，所以定态薛定谔方程为,即,或.(2)当粒子在有心力场中运动时，粒子的能量应为,哈密顿量应写为.式中A是与有心力场有关的常量。将上式代入定态哈密顿方程的一般形式中，得,整理得.15-6如果可以将氢原子看作无限深势阱，电子就被幽禁在这样的势阱中。现已知氢原子的线度为1010m，试求电子处于基态和第一激发态的能量。解根据无限深势阱的能量表达式(15-49)，可以将电子的能级写为,将有关数据代入上式，得.基态;第一激发态.15-7如果可以将氘核看作无限深势阱，质子和中子就被幽禁在这样的势阱中。现已知氘核的线度为1014m，试求质子和中子处于基态的能量。解将质子和中子的质量(、)以及有关数据代入无限深势阱的能量表达式(15-49)，可以得到：质子基态的能量为,中子基态的能量为.15-在宽度为a的一维无限深势阱中，当粒子分别处于状态1和2时，发现粒子的概率最大的位置在何处？解处于无限深势阱中粒子的本征波函数可以表示为,当粒子处于状态时，发现粒子的概率密度为.对上式求极值,即,(1)由此解得,(2)在势阱范围内、并使式(1)得到满足的m值只能是0、1、2。因为当m为0和1时，x=0和a，波函数及其概率密度都等于零，对应于概率密度极小值。所以能满足概率密度极大值的只能是m=1，此时。当粒子处于状态时，发现粒子的概率密度为.对上式求极值,即，故得.在势阱范围内、符合概率密度极大值条件的m是1和3，即和.15-求一维线性谐振子在第一激发态时概率最大的位置。解一维线性谐振子波函数的一般形式为,式中An是常量，可用归一化条件确定，在此与我们的题目无关。变量由下式表示,是谐振子的质量。在第一激发态，，波函数为.对概率密度取极值.得到符合极大值条件的解为,即.15-试求处于基态的氢原子的平均半径，并与玻尔半径作比较。解处于基态的氢原子波函数为,式中a就是玻尔半径a0。半径r的平均值可以表示为.这表示，基态氢原子的平均半径ｒ等于玻尔半径的3/2倍，这是由于电子概率的径向分布的极大值正好处于玻尔半径a0处，并且在峰值两侧分布情况是不对称的，如教材中图15-8左上角第一幅图所表示的那样。15-12试证明处于基态的氢原子的平均势能等于其基态能量的2倍。解处于基态的氢原子的势能可以表示为,求其平均值.其中氢原子基态能量。所以，基态的氢原子的平均势能等于其基态能量的2倍。