第二章流体力学基础2.1如右图所示的装置中,液体在水平管道中流动,截面B与大气相通。试求盆中液体能够被吸上时h的表达式(设sA,sB分别为水平管道A、B出的界面积,Q为秒流量,C与大气相通,Pc=P0)根据水平管道中的伯努利方程以及连续性原理222121BBAAvPvPQvsvsBBAA,0PPB可以求得截面A处液体的压强)11(212220ABASSQPP当ghPPA0即)1(212122BSASQgh时,盆中的液体能够被吸上来。2.2变截面水平管宽部分面积S1=0.08cm2,窄部分的面积S2=0.04cm2,两部分的压强降落时25Pa,求管中宽部流体的流动的速度。已知液体的密度为1059.5Kg/m-3解:应用连续性原理和水平流管的伯努利方程smvmKgPaPPvSvSvPvP/125.0/5.1059252121132122112222112.3如右图所示,水管的横截面积在粗处为40cm2,细处为10cm2,水的流量为133103sm求:(1)水在粗处和细处的流速。(2)两处的压强差。(3)U型管中水银的高度差。解:1代表粗处,2代表细处根据连续性原理:2211vSvSQ得smSQv/75.011,smSQv/0.322应用水平管道中的伯努利方程知PavvP422021212122水银柱的高度差cmgPh1.38.9106.1342203汞2.4半径为0.02m的水管以0.01m3s-1的流量输送水,水温为20℃。问(1)水的平均流速是多少?(2)流动是层流还是湍流?(3)要确定管中流体的最大速度,这些数据是否足够?解:平均流速smSQv/96.7该体系的雷诺数26001017.35vdR为湍流)(92.1502.014.3201.02284)(4)2(122max2max42max22SmRQvRQvRlPQRlPvrRlPv2.5由于飞机机翼的关系,在机翼上面的气流速度大于下面的速度,在机翼上下面间形成压强差,因而产生使机翼上升的力。假使空气流过机翼是稳定流动,空气的密度不变,为1.29kg/m3,如果机翼下面的气流速度为100m/s,求机翼要得到1000Pa的压强差时,机翼上面的气流速度应为多少?解:柏努利方程为222212112121ghvPghvP由于h1≈h2,则2222112121vPvP→)(21212221vvPP所以smvPPv/10710029.110002)(22212122.6自来水管与细管间的压强差为105Pa,主管和细管的横截面积各为0.1m2和0.2m2,问管子中水的流量是多少?解:1代表主管,2代表细管运用水平管道中的伯努利方程以及连续性原理PavvP52122102121,2211vSvSQ得212241)1(21vSSP,代如数据得到smv/16.81流量1311816.0smvSQ2.7一根长水管,直径为15cm,其中充满水,水管的狭细部分直径为7.5cm,如果在15cm直径部分,水的流速为1.2m/s,求(1)狭细部分水的流速;(2)以m3/s为单位表示出水的流量。解:1代表粗部分,2代表细部分根据连续性原理有2211vSvSQ得到(1)11222128.4cmsvddv(2)1342211101.2smvSvSQ2.8为了使救火水管中的水流可射达竖直高度为20m,问和水管连接的总水管中需要的计示压强是多少?运用伯努利方程,设1表示最高点,2表示总水管处,将总水管处作为零势能点,有20PghP,代入数据得PaP5210973.22.9在水管的某一点水的流速为1m/s,计示压强为Pa5103,如果沿水管到另一点,这一点比第一点高度降低了20cm,第二点处水管的横截面积为第一点的二分之一,求第二点处的计示压强。解:设第二点处为零势能点,则运用伯努利方程2222112121vPghvP带入数据得PaP5210035.32.10在一个横截面积为10cm2的水平管内有水流动,在管的另一端横截面积缩为5cm2。L这两截面处的压强差为300Pa,问一分钟内从管理流出的水是多少立方米。解:215cmS2210cmSPaP300运用伯努利方程和连续性原理21222121vvP2211vSvSQ得212221121vSSP代入数据得smv/775.01,13410875.3smQ一分钟的流量是130232.060smQq2.11从一水平管中排水的流量是0.004m3/s。管的横截面为0.01m2处的绝对压强为1.2×105Pa。问管的截面积缩为多少时,才能使压强减少为1.0×105Pa?解:对于水平管,其柏努利方程为2222112121vPvP因为2211,sQvsQv所以21221212122)(2)(2SQPPvPPv24223521221221031.601.0004.0100.1102.02004.0)(2mSQPPQvQS2.12一个顶部开口的圆筒型容器,高为20cm,直径为10cm。在圆筒的底部中心开一横截面积为1.0cm2的小圆孔,水从圆筒顶部以140cm3/s的流量有水管注入圆筒,问圆筒中的水面可以升到多大的高度?解:水上升到最大高度时应为小孔排水量与入水来量等时,所以小孔的流速为1464.1100.110140smsQv小孔流速为ghv2,所以mgvh1.08.924.12222.13一个四壁竖直的大开口水槽,其中盛水,水深为H。在槽的一侧水下深h处开一小孔。(1)射出的水流到地面时距槽底边的距离是多少?(2)在槽壁上多高处再开一小孔,能使射出的水流具有相同的射程?(3)要想得到最大的射程,小孔要开在水面以下多深处,最大射程为多少?解:水从小孔中流出后呈现平抛运动,水流处小孔后获得的水平速度为(1)选区任何的一个小水质元,该质元流出小孔后作平抛运动,根据自由落体原理,水质元在空中的运动时间ghHt)(2射出的水流到地面时距槽底边的距离)(4hHhvts(2)设在槽壁上距离水面h处再开一小孔,能使射出的水流具有相同的射程,则022hHhhHhtvvts得hHh或hh(舍去)(3)由(1)知ghv2当2Hh时,s可以取到最大值,为s=H2.14一圆筒中的水高为H,底面积为S1,筒的底部有一面积为S2的小孔。问筒中的水全部流尽需要多长时间?解:在水桶中距离出示水面深度为h的地方去厚度为dh的一层水体积元,这层水的流速可以看成是相等的。则该体积元的水流尽需要的时间为dt,根据质量守恒原理得dhSSghdt122等式两边积分ghdhSSdtHt20210筒中的水全部流尽需要的时间为为gHSSt2212.15贮有水的封闭大水箱,箱的上部引入气压为Pa5100.8的压缩空气。箱的侧壁上距水面5.0m处有一小孔,求水从此孔流出的速率?解:对水箱的上部和小孔处运用伯努利方程20121vPghP代入PaP51100.8,PaP50100.1,mh5等数据得smv/7.382.16在比多管中,用水作为压强计的液体,装在飞机上,用以测量空气的流速。如果水柱的最大高度差为0.1m,问能测出空气的最大流速是多少?空气的密度是1.3Kg/m3。解:用比多管测量气体的流速公式为是气体的密度是液体的密度,其中ghv2smghv/83.383.1100.11.08.9223max2.17自来水主管与范丘里流量计咽喉管间的压强差为105Pa,主管和细管的横截面积各为0.1m2和0.05m2,问管子中水的流量是多少?解运用伯努利方程和连续性原理2222112121vPvP2211,sQvsQv得smv/47.41,1311447.0smvSQ2.18有一个水平放置的范丘里管,它的粗细部分的直径分别为8cm和4cm,当水在管中流动时,连接在粗细部分的竖直细管中的水面高度差为40cm.。计算水在粗细部分的流速和流量。解:cmdcmd4,821据连续性原理212122114204.0208.0vvvvvsvs应用伯努利方程21222122221121212121vvPPvPvP代入数值smvvsmv/9.24/73.01211332211106.3smVSVSQ2.19求在20℃的空气中,一半径为10-5m,密度为33102mkg的球状灰尘微粒的沉积速度是多少?沉积时所受的阻力是多大?已知空气的粘度为sPa5108.1。解:NrvfT111007.362.20在液体中有一个空气泡,泡的直径为1mm。该液体的粘度系数为1.5P,密度为0.90g/cm3。求空气泡在该液体中上升的收尾速度?如果空气泡在水中上升时,收尾速度是多少?解:(1)在液体中smvT/0285.0)105.0(8.915.090025.1923(2)在水中smvT/544.0)105.0(8.9001.0100025.19232.21将一个半径为R=1mm的钢球轻轻放入装有甘油的缸中,当钢球的加速度是自由落体加速度的一半时,其速度是多少?钢球的最大速度又是多少?钢球密度cmg/5.81,甘油密度cmg/32.12,甘油的粘度sPa8。解:钢球在甘油中下落时受到三种力重力(竖直向下)、粘滞阻力(竖直向上)、浮力(竖直向上),钢球的加速度是自由落体加速度的一半时运用牛顿第二定律得grgrrvgr2134346341323131325521002.98.9)10(1081.19)25.10.2(29)(2smgrvT)2(91212grv代入数据得smv/1098.74钢球的最大速度,即收尾速度是smvT/105.2)101(8.9810)32.15.8(9232332.22已知空气的密度为325.1kgm,空气黏度为η=1.81×10-5Pa·s,水滴密度33100.1kgm,水滴其半径为0.06mm,,求水滴的收尾速度时多少?此速度下的雷诺数是多少?解:将水滴视为球形物体,则由斯托克斯公式,收尾速度为:在此速度下的雷诺数2.23牛奶在离心分离机中旋转,离心机转速min/6000rn,求在离转轴mx2100.5处奶油油滴向转轴中心集中的终极速度(牛奶可分为奶油与奶液,奶油密度33/1094.0mkg,奶油密度33'/1003.1mkg,奶液粘滞系数sPa3101.1,奶油油滴直径为md6100.2)。解:奶油密度小于奶液密度,因此奶油向轴心方向移动,其终极速度1422'106.3)2(9)(2smdxvT负号表示奶油油滴向轴心移动。2.24水和甘油分别在两个直径为0.1m的管子中流动,流速均为0.5m/s,求它们的雷诺数。已知室温下甘油的黏滞系数为./1030.1,10830333mkgSPa解:雷诺数的定义为:vdRe,所以对于甘油,其雷诺书为3.78830.01.05.0103.13vdRe对于水,其雷诺数为433100.5100.11.05.0100.1vdRe12353243.08.9)1006.0(1081.19)25.1100.1(29