2021年新高考数学模拟试卷(2)

第1页（共17页）2021年新高考数学模拟试卷2一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则（）A．A∩B＝{x|x＜0}B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x＜1}D．A∩B＝∅2．（5分）已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，2），则𝑧1+𝑖=（）A．−32+32𝑖B．−32+12𝑖C．−12+32𝑖D．12+32𝑖3．（5分）设a＝log20.4，b＝0.42，c＝20.4，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a4．（5分）已知|𝑎→|＝|𝑏→|=√2，且（𝑎→−2𝑏→）与𝑎→垂直，则𝑎→与𝑏→的夹角是（）A．𝜋3B．𝜋6C．3𝜋4D．𝜋45．（5分）记等比数列{an}满足2a2﹣5a3＝3a4，则公比q＝（）A．13B．13或﹣2C．2D．196．（5分）在等差数列{an}中，a1＝2，a3+a7＝28，若am＝26，则m＝（）A．6B．7C．8D．97．（5分）已知函数f（x）＝﹣asin3x+a+b（a＞0，x∈R）的值域为[﹣5，3]，函数g（x）＝b﹣cosax，则g（x）的图象的对称中心为（）A．(𝑘𝜋4，−5)(𝑘∈𝑍)B．(𝑘𝜋4+𝜋8，−5)(𝑘∈𝑍)C．(𝑘𝜋5，−4)(𝑘∈𝑍)D．(𝑘𝜋5+𝜋10，−4)(𝑘∈𝑍)8．（5分）已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且对任意的实数x都有f′（x）＝ex（2x+3）+f（x）（e是自然对数的底数），f（0）＝1，若不等式f（x）﹣k＜0的解集中恰有两个整数，则实数k的取值范围是（）A．[−1𝑒，0）B．[−1𝑒2，0]C．（−1𝑒2，0]D．（−1𝑒2，0）二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）下面四个说法中，正确的是（）A．“直线a∥直线b”的充要条件是“直线a平行于直线b所在的平面”B．“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“直线l⊥平面α”C．“直线a、b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a、b不相交”第2页（共17页）D．“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线的三点到β的距离相等”10．（5分）甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（）A．目标恰好被命中一次的概率为12+13B．目标恰好被命中两次的概率为12×13C．目标被命中的概率为12×23+12×13D．目标被命中的概率为1−12×2311．（5分）如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，下列命题中真命题是（）A．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交B．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直C．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交D．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行12．（5分）已知函数f（x）=𝑒𝑥−𝑒−𝑥2，g（x）=𝑒𝑥+𝑒−𝑥2，则f（x）、g（x）满足（）A．f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x）B．f（﹣2）＜f（3），g（﹣2）＜g（3）C．f（2x）＝2f（x）•g（x）D．[f（x）]2﹣[g（x）]2＝1三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）研究珠海市农科奇观的某种作物，其单株生长果实个数X服从正态分布N（90，σ2），且P（x＜70）＝0.1，从中随机抽取10株，果实个数在[90，110]的株数记作随机变量X，假设X服从二项分布，则X的方差为．14．（5分）已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足4Sn＝a𝑛2+2an，n∈N*．设bn＝（﹣1）n•anan+1，Tn为数列{bn}的前n项和，则T2n＝．第3页（共17页）15．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，当x∈（0，2]时，f（x）＝x（2﹣x），且对任意的x∈R，均有f（x+2）＝2f（x），若不等式f（x）≤152在x∈（﹣∞，a]上恒成立，则实数a的最大值为．16．（5分）已知椭圆C1：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=𝜋3，则椭圆C1的离心率的取值范围是．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn．已知S3＝﹣6，S6＝42．（1）求an，Sn；（2）证明Sn+1，Sn，Sn+2是成等差数列．18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知6asinBcos2𝐴2=bsinA．（1）求cosA；（2）若a=√21，b+c＝5，求△ABC的面积．19．（12分）已知两圆C1：（x﹣1）2+y2＝9．C2：（x+1）2+y2＝1，动圆在圆C1内部且与圆C1相内切，与圆C2向外切（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）已知A（﹣2，0），过A作斜率分别为k1，k2的两条直线交曲线C于D，E两点，且k1•k2＝2，求证：直线DE过定点，并求出该定点的坐标．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD＝AB，E为PC的中点（1）求证：DE⊥平面PCB；（2）求二面角E﹣BD﹣P的余弦值．21．（12分）公元2020年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、第4页（共17页）咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命．为了尽快遏制住病毒的传播，我国科研人员，在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中，利用小白鼠进行科学试验．为了研究小白鼠连续接种该疫苗后出现Z症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验．该试验的设计为：①对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；②连续接种三天为一个接种周期；③试验共进行3个周期．已知每只小白鼠接种后当天出现Z症状的概率均为14，假设每次接种后当天是否出现Z症状与上次接种无关．（Ⅰ）若某只小白鼠出现Z症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率；（Ⅱ）若某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次Z症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试验．设一只小白鼠参加的接种周期数为X，求X的分布列及数学期望．22．（12分）已知函数f（x）＝xex﹣1﹣ax+1，曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线l的斜率为3e﹣2．（1）求a的值及切线l的方程；（2）证明：f（x）≥0．第5页（共17页）2021年新高考数学模拟试卷2参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则（）A．A∩B＝{x|x＜0}B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x＜1}D．A∩B＝∅【解答】解：A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x＜0}，∴A∩B＝∅，A∪B＝{x|x＜0或0＜x＜1}．故选：D．2．（5分）已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，2），则𝑧1+𝑖=（）A．−32+32𝑖B．−32+12𝑖C．−12+32𝑖D．12+32𝑖【解答】解：由题意，z＝﹣1+2i，则𝑧1+𝑖=−1+2𝑖1+𝑖=(−1+2𝑖)(1−𝑖)(1+𝑖)(1−𝑖)=12+32𝑖．故选：D．3．（5分）设a＝log20.4，b＝0.42，c＝20.4，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a【解答】解：∵log20.4＜log21＝0，∴a＜0，∵0.42＝0.16，∴b＝0.16，∵20.4＞20＝1，∴c＞1，∴a＜b＜c，故选：A．4．（5分）已知|𝑎→|＝|𝑏→|=√2，且（𝑎→−2𝑏→）与𝑎→垂直，则𝑎→与𝑏→的夹角是（）A．𝜋3B．𝜋6C．3𝜋4D．𝜋4【解答】解：∵|𝑎→|=|𝑏→|=√2，(𝑎→−2𝑏→)⊥𝑎→，∴(𝑎→−2𝑏→)⋅𝑎→=𝑎→2−2𝑎→⋅𝑏→=2−2𝑎→⋅𝑏→=0，∴𝑎→⋅𝑏→=1，∴𝑐𝑜𝑠＜𝑎→，𝑏→＞=𝑎→⋅𝑏→|𝑎→||𝑏→|=12，且0≤＜𝑎→，𝑏→＞≤𝜋，第6页（共17页）∴𝑎→与𝑏→的夹角是𝜋3．故选：A．5．（5分）记等比数列{an}满足2a2﹣5a3＝3a4，则公比q＝（）A．13B．13或﹣2C．2D．19【解答】解：∵等比数列{an}满足2a2﹣5a3＝3a4，依题意，2𝑎2−5𝑎2𝑞=3𝑎2𝑞2，即3q2+5q﹣2＝0，故（3q﹣1）（q+2）＝0，解得𝑞=13或q＝﹣2，故选：B．6．（5分）在等差数列{an}中，a1＝2，a3+a7＝28，若am＝26，则m＝（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：由题意，可得a3+a7＝2a5＝28，故a5＝14．∴公差𝑑=𝑎5−𝑎14=3，∴an＝a1+（n﹣1）d＝2+3•（n﹣1）＝3n﹣1，∴am＝3m﹣1＝26，解得m＝9．故选：D．7．（5分）已知函数f（x）＝﹣asin3x+a+b（a＞0，x∈R）的值域为[﹣5，3]，函数g（x）＝b﹣cosax，则g（x）的图象的对称中心为（）A．(𝑘𝜋4，−5)(𝑘∈𝑍)B．(𝑘𝜋4+𝜋8，−5)(𝑘∈𝑍)C．(𝑘𝜋5，−4)(𝑘∈𝑍)D．(𝑘𝜋5+𝜋10，−4)(𝑘∈𝑍)【解答】解：由于a＞0，所以函数f（x）＝﹣asin3x+a+b（a＞0，x∈R）的值域为[b，2a+b]＝[﹣5，3]，所以a＝4，b＝﹣5．所以g（x）＝﹣4cos4x﹣5．令4𝑥=𝑘𝜋+𝜋2（k∈Z），解得x=𝑘𝜋4+𝜋8（k∈Z），所以函数的对称中心为（𝑘𝜋4+𝜋8，−5）（k∈Z）．第7页（共17页）故选：B．8．（5分）已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且对任意的实数x都有f′（x）＝ex（2x+3）+f（x）（e是自然对数的底数），f（0）＝1，若不等式f（x）﹣k＜0的解集中恰有两个整数，则实数k的取值范围是（）A．[−1𝑒，0）B．[−1𝑒2，0]C．（−1𝑒2，0]D．（−1𝑒2，0）【解答】解：令G（x）=𝑓(𝑥)𝑒𝑥，则G′（x）=𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑒𝑥=2x+3，可设G（x）＝x2+3x+c，∵G（0）＝f（0）＝1．∴c＝1．∴f（x）＝（x2+3x+1）ex，∴f′（x）＝（x2+5x+4）ex＝（x+1）（x+4）ex．可得：x＝﹣4时，函数f（x）取得极大值，x＝﹣1时，函数f（x）取得极小值．f（﹣1）=−1𝑒，f（0）＝1，f（﹣2）=−1𝑒2＜0，f（﹣3）=1𝑒3＞0．∴−1𝑒2＜k≤0时，不等式f（x）﹣k＜0的解集中恰有两个整数﹣1，﹣2．故k的取值范围是(−1𝑒2，0]．故选：C．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）下面四个说法中，正确的是（）A．“直线a∥直线b”的充要条件是“直线a平行于直线b所在的平面”B．“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“直线l⊥平面α”C．“直线a、b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a、b不相交”D．“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线的三点到β的距离相等”第8页（共17页）【解答】解：A．“直线a∥直线b”与“直线a平行于直线b所在的平面”相互推不出，因此不正确；B．“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“直线l⊥平面α”，正确；C．“直线a、b为异面直线”⇒“直线a、b不相交”，反之不成立，“直线a、b为异面直线”的必要不充分条件是“直线a、b不相交”，因此不正确；D．“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线的三点到β的距离相等”，正确．故选：BD．10．（5分）甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（）A．