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工程电磁场与电磁波习题解答（试用本）主编：丁君第一章1-1解：（1）zyxaaaBAvvvvv)125()93()32(3-++++-=+=zyxaaavvv712-+\BAvv3+=194491441=++（2）266cos26216coscoscos-=Þ´-=××=×=×qqqqCBCBCBCBCvvvvvvvvvBr方向的单位矢量为：26BBBbvvvv==Cr在Bs方向的分矢量为：33cos(34)1313xyzCbBaaaq·=-=-+-vvvvvv（3）191321coscoscos-=×==×qqqBABABABAvvvvvvvv113πarccos()219qÞ=-（4）zyxaaaCBvvvvv553-+-=-CBvv-的单位矢量为：zyxzyxaaaCBaaavvvvvvvv595595593553-+-=--+-1-2证明：欲证明三矢量A、B、C能构成一个三角形，则须证出三个线性无关的非零矢量位于同一平面上。则有：0)(=´·CBA即0=zyxzyxzyxCCCBBBAAA代入得0000431110624431213=-=---=zyxzyxzyxCCCBBBAAA即得证1-3解：（1）4321FFFFF+++=合代入数据得xyF2aa=-vv合（2）514=+=合F（3）合力方向与单位矢量yxaavv5152-方向相同，与x轴成1arcsin5-1-4证明：设矢量rr的终点在A.B.C构成的平面上，则：(),(),()rarbrc---vvvvvv在此平面上，则必有不为0的实数,,mnp满足：()()()0mranrbprc-+-+-=vvvvvv所以得：pnmcpbnamr++++=vvvv，pnm,,为实数1-5解：设A点的坐标为),(11yx，B点坐标为),(22yx则av＝),(11yx，bv＝),(22yx有题意得121211xxyyxxyy--=--Þ则过A),(11yx，B),(22yx点的方程为()111212yxxxxyyy+---=Þ1-6解：欲使,ABvv互相垂直，则有0AB·=vv则有8220ABa·=--=vv得3=a1-7解：矢量Av与坐标轴的夹角分别为：72cos76cos7343693cos==-===++==AAAAAAzyxgba其中gba,,分别为矢量Av与三个坐标轴方向夹角。1-8(1)证明：1111()()2222ABBCCACABA´+´+´+-´-vvvvvvvvvv1111110222222ABBCCABCCAAB=´+´+´-´-´-´=rrvvvvvvvvvv所以：四个面的面积之和为0（2）可以推广到任何闭曲面1-9解：（1）2739xyzABaaa´=---vvvvv（2）()(2739)(42)111xyzxyzABCaaaaaa´·=---·-+=-vvvvvvvvv（3）()()111ABCABC·´=´·=-vvvvvv（4）AB´vv是垂直于Av、Bv所在平面的矢量，有：2739xyzABaaa´=---vvvvv于是垂直于Av和Bv所在平面的单位矢量为：913()919191nxyzABaaaaAB´=±=++´vvvvm1-10证明：2'')()(cbabaaccbabacbaaccb´·´´´=´·´´´·´=´利用公式)()()(BACCABCBA·-·=´´可得：cbaacbacbaacbaaacbbacacbabaaccb´·=´·´·=´··´-·´=´·´´´=´222'')()()()(])[()()(则acbaacbacbcbaacbacb=´··´·´´·=´·´'''''同理可证'''''cbaacb´·´=，'''''cbabac´·´=1-11解：（1）(2)(2)(5)xyzSyaxaa=++-vvvv（2）11)3,2,1(-=T，425xyzSaaa=+-vvvv，164S2535=++=v，Þ425()33535SxyzSaaaaS=±=±+-vvvvvv1-12解：电场线的切线方向为电场强度方向，则22d(21)dx(42)dy4Elxyxxyycf=·=-+-=--++òòvv即电场线方程为cyyxx++--4221-13解:（1）3'3'3'1111()()2()()2()()2()222xyzRxxaRyyaRzzaR---Ñ=-·--·--·-vvv3'3'3'()()()()()()xyzRxxaRyyaRzza---=-·--·--·-vvv'3'3'3'1111()[()2()()2()()2()]222xyzRxxaRyyaRzzaR----Ñ=--·---·---·--vv=3'3'3'()()()()()()xyzRxxaRyyaRzza----·--·--·-vvv则有：)1()1('RR-Ñ=Ñ（2）)()(RRfRfѶ¶=Ñ，)()(''RRfRfѶ¶-=Ñ-又)()('RR-Ñ=Ñ所以有)()('RfRf-Ñ=Ñ`1-14解：设xzyx22+=f则2(22)()(2)xyzxyzaxaxafÑ=+++vvv(2,1,2)ˆˆ44yzaaf-Ñ=+1-15解：两个曲面的夹角实为它们的梯度的夹角的较小的一个1222xyzxayazafÑ=++vvv424xyzaaa=-+vvv222xyzxayaafÑ=+-vvv42xyzaaa=--vvv1212cosffffq\Ñ×Ñ=ÑÑ(1644)8cos621321q+-Þ==08arccos,090321qqÞ=1-16解：(1)2222248AxxyxyzÑ×=++v(2)11122222111222(2x2xy48xyz)dxdydz0---++=òòò(3)Z1zZ1zSZZ22SSAds(A)adxdy(A)(a)dxdy==×=×+×-òòòòòrvvvÑ上下y1yy1yyy22SS(A)(a)dxdz+(A)adxdz==+×-×òòòòvv左右x1xx1xxx22SS(A)adydz(A)(a)dydz==+×+×-òòòòvv前后又z1z1zz22(A)(A)==-=Qy1y1yy22(A)(A)==-=x1x1xx22(A)(A)==-=sAds0\×=òvvÑ所以可以得到：vsAdvAdsÑ××=×òòvvÑ即为高斯定理。1-17解：（1）设此单位立方体上端开放55xyzxyzaaaFzaxyaxzaxyzFxFyFz¶¶¶Ñ´==×+×-¶¶¶vvvvvvv1sSSSz211SSyy22Fds5xzdxdy+zdxdyzdxdz-(5xydxdz5xydxdz0Ñ´×=×+×++×=òòòòòòrv下前后=-左右=-=())()（2）2llFdl=(5xyzdxydyyzdz)××++×òòvvÑÑdz=0=22l1l2l3l4ydy5xyzdxydy5xyzdx+×++×òòòò11112222221111222255ydy()xdxydyxdx044----=+-++=òòòò其中：1l：y从12到-12，12xz==；2l：x从12到-12，11,22yz=-=3l：y从-12到12，11,22xz=-=；4l：x从-12到12，12yz==所以：slFdsFdlÑ´×=×òòvvvrÑ即：斯托克斯定理成立1-18解：(1)48EaRsinjqÑ´=vv96cosERqÑ·=v(2)20π2π200ˆsindd24sincosdd0RssEsERaRqqjqqqj·=×==òòòòvvvÑÑd(3)2ππk2v00022π096cosEdVRsindRddRsin48R2π02qqqjqÑ·==·=òòòòv1-19解：(1)4xABa+=vvv(2)3412AB×=--=-vv(3)(22)(13)(62)48xyzyzABaaaaa´=-+--+--=--vvvvvvv(4)842455zyzynaaaaABaAB--+´=±=±=´rrrrrrrmrr(5)cosABABq×=××vvvv1cos||||21ABABq×==-×vvvv所以：1ππ-arccos(0)221qq=(6)标投影：2cos6Aq=-v矢投影：1cos(2)3xyzBAaaaBq×=--+vvvvvv1-20解：(1)从P到Q的矢量距离(25)(312)(0)315xyzxyPQaaaaa=-+--+=--uuurvvvvv(2)2341592=+=PQ(3)PQuuur与xy平面平行(4)P点坐标（5，12，1），Q点坐标（2，-3，1）1-21解：由,,ABCvvv三矢量可知：BAC=+vvv所以：,,ABCvvv构成三角形。且0AC·=vv则有：AC^vv所以该三角形为直角三角形。所以直角三角形的面积为：111555202222xyzSABaaa=´=--=ururvvv1-22解：（1）59rzABaaaj+=+-vvvvv（2）6201214AB·=+-=vv（3）31172rzABaaaj´=-+vvvvv（4）AB´vv是垂直于Av，Bv所在平面的矢量，即为AB平面的法向量则平面的单位法向量为1311721254rz(aaa)j±-+vvv（5）A，B之间夹角为17cos529ABABq·==·vvvv，29751arccos=q（6）50A=v,29B=v则Ar在Br的标投影为:1429Acosq=vAr在Br的矢投影为:1424329rzAcosB(aaa)Bjq=++vvvvvv1-23解：（1）23171010RABaaaqj-=-+-vvvvv（2）7AB·=-vv（3）102912RABaaaqj´=++vvvvv（4）AB´vv是垂直于AB所在平面的矢量，即为AB平面的法向量则平面的单位法向量为11029121085R(aaa)qj±++vvv（5）A，B之间夹角为17cos92ABABq·==·vvvv，2791arccos=q第二章2-1解：（1）36102ππ2121100010sinddd6.2810VQdvRRCRrqqj---=×=×=´òòòò（2）00620310.96π272210280.9π10dsinddd7.2910VQvRRCRrqqj--=×=×=´òòòò2-2解：z2Q(0,0,1)x0(1,0,-1)1Q(0,0,0)22222000211(2)4π54π55205πxzRxzaaQQQEaaaeee-=×=×=-vvrvvv111001()4π2282πxzxzaaQQEaaee-=×=-vvvvv（1）0zE=时，215108QQ=-（2）0xE=时，215104QQ=-2-3解：由题意可知Ev只有Z方向，区域内任一点到（0,0,1）处的Z向场强为：22200dd1dd1sin4π14π11SSrrrrdErrrrqrqaee××=·×=·×+++v2π122000-92π1220002122001dd4π115101dd4π11d2(1)1SzSrErrrrrrrrrrrrrqeqere=··++´=··++=++òòòòò=012(ln(12))πln(1+2)/49.27/222Szzza=90aVmaVmreéù+--=êúëûvvv2-4解：（1）0.7200d20.574π4πARAqqalVRRfee¥¥¥===òv（2）0.50.50.720.700d8.234π4πRqqaRVRRfee==-=-òv（3）设零电位在0R则有00210015d14.44πRRRqalrRe-=·=´òv得01.53Rm=则1.5320.701d11.164πqrVrfe==ò2-5解：（1）22(1,2,3)5020|50123204380pxyzyf=+=´´´+´=（2）(1.2.3)()|ppxyzpEaaaxyzffff¶¶¶=-Ñ=-++¶¶¶vvv22(1.2.3)[100(5040)50]|xyzpxyzaxzyaxya=-+++vvv600230100xyzaaa=---vvv（3）00()yxzEEEExyz