15-量子物理学的诞生-薛定谔方程

2xpx——海森伯坐标和动量的不确定关系。2t——能量和时间的不确定关系。pxtEhietxΨ20,物质波的波函数VtrΨtrΨVtrΨWd,,d,d*2波函数满足的条件：单值、有限、连续、归一概率密度t时刻,粒子在r处dV内出现的概率薛定谔方程的建立1、一维自由粒子薛定谔方程的建立)(),(PxEtioeΨtxΨEΨieEΨitΨxPtEio)(ΨPeΨPxΨxPtEio22)(2222薛定谔方程是量子力学基本假设之一，不能理论推导证明。mPEEk22一维自由粒子的含时薛定谔方程tΨixΨm2222以一维自由粒子为例EΨitΨΨPxΨ2222UmPUEEk22tΨiΨtxUxΨ2m222),(2、一维势场中运动粒子薛定谔方程),(txU一维运动粒子含时薛定谔方程ΨtxUmPitΨ)],(2[2ΨmPxΨm222222tΨixΨm2222一维自由粒子的含时薛定谔方程比较)(),(PxEtioeΨtxΨ推广到三维情况，薛定谔方程可写为：tΨiΨtzyxUΨzyxm),,,(][22222222拉普拉斯算符：2222222zyx一般的薛定谔方程可写为：ttrΨitrΨtrUtrΨm),(),(),(),(222薛定谔方程是非相对论量子力学的基本动力学方程，其地位与经典力学中的牛顿方程相同。tΨiΨtxUxΨ2m222),(3、定态薛定谔方程若势能U与t无关，仅是坐标的函数。tEierΦtrΨ)(),(dVrΦdVrΦrΦ2*)()()(粒子在空间各处出现的概率不随时间变化的。dVerΦerΦdVtrΨdWEtiEti)()(),(*2定态：概率不随时间变化的状态。1）定态2*2)(),(),(),(rΦtrΨtrΨtrΨ)(),(PxEtioeΨtxΨEtirPirPEtioeeeΨtrΨ0)(),(2）定态薛定薛方程EΦUΦΦ2m22EtierΦtrΨ)(),(定态波函数可写成：tΨiUΨΨm222根据：0)(22ΦUEmΦ20xU)Φ(E2mdxxΦd222)()(一维定态薛定谔方程定态薛定薛方程分离变量)(),,(),,,(tfzyxtzyxtftfizyxUzyxzyxm)(),,(),,(),,(222E（常量）一、一维无限深势阱势阱中的粒子势垒谐振子BA金属表面Ep01势阱2一维无限深势阱)(xUaxx,000xa0ax0x)(xU金属中自由电子的势能曲线U与t无关，写出定态定谔方程1231=03=00ax01势阱外EΦΦdxΦd2m222EΦUΦdxΦd2m222E为有限值，所以),0(,0)(axxxΦ02dd222ΦmExΦ)0(ax2势阱内EΦΦdxΦd2m2202（1）解方程222kmE0dd222ΦkxΦ)sin()(kxAxΦ令:)0(ax（2）确定常数A、势阱无限深~阱外无粒子(x)=0（x0xa）由波函数连续性，边界条件：(0)=0(a)=0=0ka=nAsin=0Asinka=0n=1，2，3，…n=0?222kmE22222manEEnn=1，2，3，……一维无限深势阱中运动的微观粒的能量只能取分立值。其中n---被称为量子数。)sin()(kxAxΦ)0(axaA2122aA由归一化条件确定系数A归一化条件为：1)(2-dxxΦ1sin20dxxanAa1d)(20xxΦaxanaxΦnsin2)(（0xa）(x)=0（x0xa）kxAxΦsin)()0(axka=ncxxxdx2sin4121sin222222manEn)(xΦ（0xa）22212maExanasin20（x0,xa)tEinnnexΦtxΨ)(),(考虑时间因子（0xa）tinexana2)sin(20驻波？（x0,xa)n=1n=2n=3xaaΦsin21xaaΦ2sin22xaaΦ3sin23a22212maE2nnΦw124EE1w2w3w139EE0xnE0xnEa一维无限深势阱中粒子的能级、波函数和概率密度xanansin21.能量只能取分立值是解薛定谔方程自然而然得到的结论。3.最低能量不为零（称零点能）———符合不确定关系。0ma2E22212.当m很大（宏观粒子）时，能量连续，量子经典。4.势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布与经典粒子不同。讨论按经典理论……粒子的“能量连续”；但量子力学……束缚态能量只能取分立值（能级）例题求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大值的位置.解:一维无限深势阱中粒子的概率密度为,3,2,1)(222nxsinxΦanan将上式对x求导一次，并令它等于零0cossin2240)(xxanananxdxxΦdn0sinxan只有0cosxanxanansin2于是2)12(Nxan由此解得最大值得位置为naNx2)12(例如最大值位置0,1Nnax21,1,0,2Nn最大值位置aax4341,,2,1,0,3Nn最大值位置,,,656361aaax可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。（0xa）1,,2,1,0nN只有0cosxana2nnΦw1w2w3w0xnE3n2n1n例题粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为若粒子处于n=1的状态，在区间发现该粒子的几率是多少？)axnsin(a2n)ax0(a41~0[解]：dx)axsina2(dxP2a410a410091.021414/a04/a0)2ax2sinax(dx)2ax2cos1a2(a1w0xnE1nU0势垒123经典理论1.EU0的粒子，越过势垒。2.EU0的粒子，不能越过势垒。量子理论1.EU0的粒子，也存在被弹回的概率——反射波。2.EU0的粒子，也可能越过势垒到达3区——隧道效应。二、势垒隧道效应oa1.势函数2222121)(xmkxxUm—振子质量，—固有频率，x—位移2.定态薛定谔方程0)()21(222222xxmEmdxΦd三、谐振子3.能量),2,1,0()21()21(nhnnEn•能量量子化•能量间隔h•最低能量(零点能)0210EhEEnn1有单值、连续和有限解的条件4．波函数和概率密度()()xnnnΦxeHxn122222!讨论:与经典谐振子的比较•量子：在x=0处概率最大•经典：在x=0处概率最小n•量子概率分布----经典概率分布•能量量子化----能量取连续值)(2xΦxx22)(xΦ例5-13一个被关闭在一个一维箱子中的粒子的质量为m0，箱子的两个理想反射壁之间的距离为L，若粒子的波函数是:xLnAxΦsin)(试由薛定谔方程求出粒子能量的表达式。0)()(2222xEΦxxΦm0sinsin22222xLnEAxLnLnAm)2()(2222222mLnLnmE其基态能量为22212mLE解：该粒子的薛定谔方程为)(xULxx,000xL量子力学中的氢原子问题+r一氢原子的定态薛定谔方程reU024氢原子中，电子的势能函数：0)(22ΦUEmΦ20)4(2][022222222ΦreEmΦzyx利用球坐标采用分离变量法将方程分解为分别与变量r、、有关的三个常微分方程cossinrxsinsinrycosrzxyzθφr电子原核子22)()()()(rRr、、求解方程时，直接可以得到氢原子的量子化条件二量子化条件和量子数1能量量子化和主量子数)(16.13181)4(222202422024eVnnmenmeEn1）能量是量子化的2）当时，En连续值n,,3,2,1n主量子数n2轨道角动量量子化和角量子数电子绕核运动的轨道角动量必须满足量子化条件：)1(2)1(llhllL)1(,,2,1,0nl角(副)量子数l3轨道角动量空间量子化和磁量子数llZmhmL2电子绕核运动的轨道角动量L的方向在空间的取向是量子化的，角动量L在外磁场方向的投影LZ必须满足量子化条件：lml,,2,1,0磁量子数ml决定角动量方向,对应一定的角量子数l,ml=2l+1,角动量L在空间有2l+1个不同取向。B(z)m=00m=-1m=-22m=1m=22zL6L例：2l62,,0ZL)12(2)1(llLlZmLlml,,2,1,0三氢原子中的电子的概率分布电子云：电子概率分布的一种形象化描述22)()()()(rRr、、ezLzBLdrrrRnl222)(表示电子出现在到区间内的概率。drrr1.电子径向概率分布o601002641n0l20a1ro2040482n1lo2040480la2r20o40480l20o40481l20o40483n2la3rAa53.012.电子角向概率分布d2sind2z0l1l0lm1lm1lm为常数，概率的角向分布对于z轴具有旋转对称性。2一斯特恩－格拉赫实验（1921年）§13-10电子的自旋原子的电子壳层结构0BNs0B由电磁学可知，原子磁矩在非均匀磁场中受到磁力矩及磁力的作用。实验思想：若原子磁矩的空间取向连续，在底片上得到连成一片的原子沉积；若原子磁矩的空间取向是量子化的，在底片上得到分立的原子沉积，且为奇数条(2l+1)。实验结果：在底片上沉积的不是奇数条痕迹，而是两条！(基态银原子l=0银原子无论有无磁场应该都只有一条！)电子还应具有自旋角动量设自旋角量子数为S自旋角动量与轨道角动量相似，也是量子化的)1(ssS,自旋磁量子数smszmSS只能取两个值2s+1=221s21sm二电子的自旋自旋角动量的大小43)1(ssS自旋角动量在z轴的分量21zS1925年，乌伦贝克和古兹密特提出：sms,,2,1,023SZ2121（实验结果）氢原子核外电子的状态由四个量子数决定1)主量子数n,n=1,2,3,…2)轨道角量子数l,l=0,1,2,…,(n–1)3)轨道磁量子数ml,ml=0,1,2,…,l4)自旋磁量子数ms,ms=1/2大体上决定原子中的电子的能量决定电子的轨道角动量,对能量也有影响决定轨道角动在外磁场方向上的分量决定电子自旋角动量在外磁场方向上的分量写出n=2的各量子的四个量子数21,1,01,02slmmln)21(2,1,-1,-)21(2,1,-1,)21,1,1,2()21,1,1,2()21(2,1,0,-)21(2,1,0,)21(2,0,0,-)21,0,0,2(8个量子态2,,量子态数一定时当，lmln)12(2,,lln量子态数一定时当，21022)12(22)12(2nnnlnnl量子