08级泛函分析习题参考答案(1)

108级泛函分析习题参考答案（1）一、设),(yxd为空间X上的距离，试证：),(1),(),(~xydxydxyd也是X上的距离。证明：显然,0),(~yxd并且yxyxdyxd0),(0),(~。再者，),(~),(1),(),(1),(),(~yxdyxdyxdxydxydxyd；最后，由ttt1111的单调增加性及),(),(),(yzdzxdyxd，可得),(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(~yzdzxdyzdyzdzxdzxdyzdzxdyzdzxdyxdyxdyxd),(~),(~),(1),(),(1),(yzdzxdyzdyzdzxdzxd。二、设1p，1()()(,,,)innpnxl，,2,1n，1(,,,)pixl，则n时，1()1(,)0ppnniiidxx的充要条件为)1(n时，()nii，1,2,i；)2(0，存在0N，使得()1pniiN对任何自然数n成立。必要性证明：由1()1(,)0ppnniiidxx可知，()nii，1,2,i。由1(,,,)pixl可知，0，存在10N，使得11()2ppiiN，并且1nN时，()1()2pnpiii。由此可得，11111()()111ppppppnnpiiiiiNiNiN对1nN成立。对于11,2,nN，存在20N，2()1pnpiiN。取12max,NNN，则()1pnpiiN对任何自然数n成立。充分性证明：由条件可知，0，存在0K，使得()1()2pnpiiK对任何自然数n2成立，并且1()2ppiiK。由()nii可知，存在0N，使得Nn时，()1Kpnpiii，并且()()()111(,)KppppnnnniiiiiiiiiKdxx11()()111()()2pKpppnnpppiiiiiiKiK。三、在],[baLp)1(p上定义距离：1(,)()()bppadxyxtytdt，则在此距离诱导的极限意义下，)(txn收敛于)(tx的充要条件为)1()(txn依测度收敛于)(tx；)2()(txn在],[ba上具有等度绝对连续的积分。必要性证明：由0),xxn（，可得0，)()()(xxEpnEpnndtxxdttxtx)((xxEmnp，,2,1n，令n，可得0)((xxEmn。即)(txn依测度收敛于)(tx。由)(tx的积分绝对连续性可知，对任何0，存在01，使得Ee，1me时，eppdttx2))((1。对上述0，存在0N，使得Nn时，Eppndttxtx2)()(1）（，从而peppEpnpeppepnpepndtxdtxxdtxdtxxdttx11111)()()()())(，即pepndttx1))(，对,1,NNn，成立。对于Nn,,2,1，易知存在02，使Ee，2me时，（epndttx)(）。取),min(21，则Ee，me时，pepndttx1))(，对每个自然数n成立。即)(txn在],[ba上具有等度绝对连续的积分。充分性证明：对任何0，令)()(xxEEnn，则0)(nmE。由此可知，3对任何0，存在0N，使得Nn时，)(nmE。令)()(xxEFnn，则nnEFpnpnnpdtxxdtxxxx),(。此时，pEppEpEpnpnnnndtxdtxdtxx11)()(，pFpnabdtxxn)(。由积分的等度绝对连续性可知，对任何0，存在0，使得Ee，me时，2))(1pepndttx，2))(1pepdttx。对上述0，存在0N，使得Nn时，)(nmE，此时pEpnndtxx）（。于是对任何0，存在0N，使得Nn时，1(,)(1)pndxxba，即)(txn收敛于)(tx。四、F是距离空间X中闭集的充分必要条件为对任何F中点列nx，nxxX，必有xF。必要性证明：对于F中点列nx，nxxX，若xF，则cxF，即x为开集cF的内点，从而存在0，使得(,)cOxF。由nxx可知，存在0N，使得(,)cNxOxF，这与NxF矛盾。因而有xF。充分性证明：对于F中互异点列nx，若nxxX，则xF，即F的聚点在F中。因此，对于任意cxF，x必不是F的聚点，从而存在0，使得(,)cOxF，因而cF为开集，即F为闭集。五、设B是度量空间X中闭集，试证必有一列开集,21nOOO，，，包含B，并且1nnOB。证明：任取,2,1,1nnn，令BxnnxO)(，则nOB，并且nO为开集),2,1(n。任取1nnOx，则存在Bxn，使得nxxdn1),(),2,1(n，从而xxn。由于B为闭集，因而Bx，即有1nnOB。4六、设X为距离空间，21FF，为X中不相交的闭集，试证：存在开集21GG，，使得21GG，11FG，22FG。证明：由21FF，得0),(2111FxdFx，，0),(,1222FxdFx。令2),(,2),(122211FxdFxd，2211)(,)(222111FxFxxGxG,则21GG，分别为包含21FF，的开集。假设210GGx，则0110221122(,),(,),,dxxdxxxFxF，但是),(2),(2),(),(),(),(211221200121xxdFxdFxdxxdxxdxxd是一个错误，故而21GG。七、试证：l是不可分的距离空间。证明：设,1,0,,,,21nnlM，则对于任何Myxnn,，当yx时，,)sup1nndxy（。显然，M与二进制小数一一对应，因而是不可数的。假设l是可分的，则存在可数稠密子集ny，使得任何lMx的邻域)31,(xU中至少包含一个ny。对于任何两个不同的邻域)31,(xU、)31,(yU，Myx,，必有)31,()31,(yUxU，从而MxxU)31,(是一族互不相交的球，其总数是不可数的。因此ny至少也有不可数个，这与ny是可数的相矛盾。（或：由MlyUn）（31,以及M是不可数的，可知存在一个)31,(nyU包含M中的两个不同点yx,。但,)1dxy（，并且2,),)(,)3nndxydxydyy（（，显然这是相互矛盾的。）八、设X为距离空间，A为X中的子集，令),(inf)(yxdxfAy，Xx，试证：)(xf是X上的连续函数。证明：任取Xx0，对于Xx，有),(),(),(),(inf)(00xydxxdyxdyxdxfAy,对一切Ay成立。从而)(),()(00xfxxdxf，同理可得)(),()(00xfxxdxf即有),()()(00xxdxfxf，从而)(xf在0x处连续。因此)(xf是X上的连续函数。5九、试证：T是距离空间X到距离空间Y中的连续映射的充要条件为Y中任何闭集F的原像FT1是X中的闭集。必要性证明：设F为Y中的闭集，任取1nxTF，nxx，Xx，则nTxF。由T的连续性可知，nTxTx，从而TxF，即1xTF。充分性证明：设Xx，任取nxX，nxx。假设nTxTx不成立，则存在00和子列knxX，使得0(,)kndTxTx。令0(,)FydyTx，则knTxF，并且F为Y中的闭集，从而FT1是X中的闭集。由1knxTF,knxx可得，1xTF，即TxF，由此可得00(,)0dTxTx，这一矛盾说明，nTxTx，即为连续映射。十、试证：pl)1(p是完备的距离空间。证明：对于任何基本列pnxl：1()()()2(,,,,)innnnx，,2,1n，有0，存在0N，,mnN时，()()1pnmpiii。从而对于每个1,2,i，()ni是R中的基本列，由R的完备性可知，存在iR，使得()nii，n。同时对于任何自然数s，()()1spnmpiii，令m，得()1spnpiii，从而()1pnpiii。令12(,,,,)ix，则由111()()111ippppppnniiiiii可知，pxl。由(,)ndxx可知，nxx。从而pl)1(p是完备的距离空间。十一、试证：[,]Cab在积分平均收敛意义下是不完备的距离空间。证明：设111111,2(),1,2nnnnnntxtnttt，,2,1n，则[,]nxCab。6对于nm，2211(,)()()nmnmdxxxtxtdtmn，由此可知，nx为([,],)Cabd中的基本点列。若nx在([,],)Cabd中收敛，则存在()[,]xtCab，使得22(,)()()0nndxxxtxtdt，从而11221()1()0nnxtdtxtdt。由此可得，(0)1x，(0)1x，这与()[,]xtCab矛盾。因此nx在([,],)Cabd中不收敛，从而[,]Cab在积分平均收敛意义下是不完备的。十二、设)(xf是R上的可微函数，并且1)(xf，则方程xxf)(有唯一的实数解。证明：对于任何Ryx,，yxyxfyfxf)()()(。由10，可知，f是完备空间R上的压缩映射。由压缩映射不动点原理可知，xxf)(有唯一的实数解。十三、设F是n维欧几里得空间nR中有界的闭集，A是F到自身中的映射，并且满足下列条件：对任何)(,yxFyx，有),(),(yxdAyAxd。试证：映射A在F中存在唯一的不动点。证明：令)(inf),,()(0xAxxdxFx，则)(x是紧集F上的连续函数，从而存在Fx，使得)(0x。假设0),()(Axxdx，则),(),(2AxxdxAAxd，即0)()(xAx，这与)(inf0xFAxFx，矛盾，故而0),(Axxd，从而xAx。即映射A在F中存在不动点。若xxxAx000,，Fx0，则),(),(),(000xxdAxAxdxxd，显然这是一个错误。因而映射A在F中不动点是唯一的。