2019全国硕士研究生考研数学一真题及答案解析

第1页共10页2019全国硕士研究生考研数学一真题及答案解析一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当0x时，若xxtan与kx是同阶无穷小，则kA.1.B.2.C.3.D.4.2.设函数,0,ln,0,)(xxxxxxxf则0x是)(xf的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.3.设nu是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是A..1nnnuB.nnnu1)1(1.C.111nnnuu.D.1221nnnuu.4.设函数2),(yxyxQ，如果对上半平面（0y）内的任意有向光滑封闭曲线C都有CdyyxQdxyxP0),(),(，那么函数),(yxP可取为A.32yxy.B.321yxy.C.yx11.D.yx1.5.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵.若EAA22，且4A，则二次型AxxT的规范形为A.232221yyy.B.232221yyy.C.232221yyy.D.232221yyy.6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程第2页共10页)3,2,1(321idzayaxaiiii组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为AA,，则A..3)(,2)(ArArB..2)(,2)(ArArC..2)(,1)(ArArD..1)(,1)(ArAr7.设BA,为随机事件，则)()(BPAP的充分必要条件是A.).()()(BPAPBAPB.).()()(BPAPABPC.).()(ABPBAPD.).()(BAPABP8.设随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布),(2N，则1YXPA.与无关，而与2有关.B.与有关，而与2无关.C.与2,都有关.D.与2,都无关.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.9.设函数)(uf可导，,)sin(sinxyxyfz则yzcosyxzcosx11=.10.微分方程02'22yyy满足条件1)0(y的特解y.11.幂级数nnnxn0)!2()1(在)0，（内的和函数)(xS.第3页共10页12.设为曲面)0(44222zzyx的上侧，则dxdyzxz2244=.13.设），，（321为3阶矩阵.若21，线性无关，且2132，则线性方程组0x的通解为.14.设随机变量X的概率密度为，其他，020,2)(xxxf）（xF为X的分布函数，X为X的数学期望，则1XXFP）（.三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）设函数)(xy是微分方程2'2xexyy满足条件0)0(y的特解.（1）求)(xy；（2）求曲线)(xyy的凹凸区间及拐点.16.（本题满分10分）设ba,为实数，函数222byaxz在点（3，4）处的方向导数中，沿方向jil43的方向导数最大，最大值为10.（1）求ba,；（2）求曲面222byaxz（0z）的面积.17.求曲线)0(sinxxeyx与x轴之间图形的面积.18.设dxxxann1021，n=（0，1，2…）（1）证明数列na单调减少，且221nnanna（n=2，3…）（2）求1limnnnaa.19.设是锥面)10()1(2222zzyx与平面0z围成的锥体，求的形心第4页共10页坐标.20.设向量组TTTa)3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321，为3R的一个基，T)1,1,1(在这个基下的坐标为Tcb)1,,(.（1）求cba,,.（2）证明32,aa，为3R的一个基，并求,,32aa到321,,aaa的过度矩阵.21.已知矩阵20022122xA与yB00010012相似（1）求yx,.（2）求可可逆矩阵P，使得.1BAPP22.设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为1的指数分布，Y的概率分布为),10(,11,1ppYPpYP令XYZ（1）求z的概率密度.（2）p为何值时，X与Z不相关.（3）X与Z是否相互独立?23.（本题满分11分）设总体X的概率密度为,0,2)(),(222xxuxexf其中是已知参数，0是未知参数，是常数，nX…XX，，21来自总体X的简单随机样本.（1）求；（2）求2的最大似然估计量第5页共10页2019年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析1.C2.B3.D4.D5.C6.A7.C8.A9.yxxycoscos10.23xe11.xcos12.33213.，T)1,2,1(kk为任意常数.14.3215.解：（1）)()()(2222cxecdxeeexyxxdxxxdx，又0)0(y，故0c，因此.)(221xxexy（2）22221221221)1(xxxexexey，222221221321221)3()3()1(2xxxxexxexxxexxey，令0y得3,0xx)3,(3)0,3(0)3,0(3),3(y000y凸拐点凹拐点凸拐点凹所以，曲线)(xyy的凹区间为)0,3(和),3(，凸区间为)3,(和)3,0(,拐点为)0,0(，)3,3(23e，)3,3(23e.16.解：（1）)2,2(byaxzgrad，)8,6()4,3(bazgrad，由题设可得，4836ba，即ba，又108622bazgrad，所以，.1ba第6页共10页（2）dxdyyzxzSyx22222)()(1=dxdyyxyx22222)2()2(1=dxdyyxyx22222441=dd2020241=20232)41(1212=.31317.18.第7页共10页第8页共10页19.由对称性，2,0yx，1021021010)1()1(dzzdzzzdxdydzdxdyzdzdvzdvzzzDD=.4131121)1()1(102102dzzdzzz20.（1）123=bc即11112311231bca，解得322abc.（2）23111111=331011231001，，，所以233r，，，则23，，可为3R的一个基.12323=P，，，，则1231231101=0121002P，，，，.21.（1）A与B相似，则()()trAtrB，AB，即41482xyxy，解得32xy（2）A的特征值与对应的特征向量分别为1=2，11=20；2=1，22=10；3=2，31=24.第9页共10页所以存在1123=P,,，使得111212PAP.B的特征值与对应的特征向量分别为1=2，11=00；2=1，21=30；3=2，30=01.所以存在2123=P,,，使得122212PAP.所以112211=PAPPAP，即1112112BPPAPPPAP其中112111212004PPP.22.解：（I）Z的分布函数,1,11FzPXYzPXYzYPXYzYpPXzpPXz从而当0z时，zFzpe；当0z时，1111zzFzppepe则Z的概率密度为,01,0zzpezfzpez.（II）由条件可得22EXZEXEZEXEYEXEYDXEY，又1,12DXEYp，从而当12p时，,0CovXZ，即,XZ不相关.（III）由上知当12p时，,XZ相关，从而不独立；当12p时，121111111111,,,,2222222222112PXZPXXYPXXPXXFe而12112PXe，121111112222222PZPXPXe，显然1111,2222PXZPXPZ，即,XZ不独立.从而,XZ不独立.第10页共10页23.解：（I）由2221xAedx，令2xt，则202212tAedtA，从而2A.（II）构造似然函数22112212,,1,2,,,,,,0,niinxinAexinLxxxLL其他，当,1,2,,ixinL时，取对数得22211lnlnln22niinLnAx，求导并令其为零，可得22241ln1022niidLnxd，解得2的最大似然估计量为211niixn.