2020年全国统一高考数学解析试卷(理科)(全国1卷)

第1页（共19页）2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若1zi，则2|2|(zz)A．0B．1C．2D．22．设集合}04|{2xxA，}02|{axxB且}12|{xxBA,则(a)A．4B．2C．2D．43．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A．514B．512C．514D．5124．已知A为抛物线2:2(0)Cypxp上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则(p)A．2B．3C．6D．95．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(ix，)(1iyi，2，，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C至40C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A．yabxB．2yabxC．xyabeD．yablnx6．函数43()2fxxx的图象在点(1，f（1）)处的切线方程为()A．21yxB．21yxC．23yxD．21yx7．设函数()cos()6fxx在[，]的图象大致如图，则()fx的最小正周期为()第2页（共19页）A．109B．76C．43D．328．25()()yxxyx的展开式中33xy的系数为()A．5B．10C．15D．209．已知(0,)，且3cos28cos5，则sin()A．53B．23C．13D．5910．已知A，B，C为球O的球面上的三个点，1O为ABC的外接圆．若1O的面积为4，1ABBCACOO，则球O的表面积为()A．64B．48C．36D．3211．已知22:2220Mxyxy，直线:220lxy，P为l上的动点．过点P作M的切线PA，PB，切点为A，B，当||||PMAB最小时，直线AB的方程为()A．210xyB．210xyC．210xyD．210xy12．若242log42logabab，则()A．2abB．2abC．2abD．2ab二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若x，y满足约束条件0101022yyxyx,则7zxy的最大值为．14．设a，b为单位向量，且||1ab，则||ab．15．已知F为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为．16．如图，在三棱锥PABC的平面展开图中，1AC，3ABAD，ABAC，ABAD，30CAE，则cosFCB．第3页（共19页）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）设{}na是公比不为1的等比数列，1a为2a，3a的等差中项．（1）求{}na的公比；（2）若11a，求数列{}nna的前n项和．18．（12分）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEAD．ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，66PODO．（1）证明：PA平面PBC；（2）求二面角BPCE的余弦值．19．（12分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12．（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率．20．（12分）已知A，B分别为椭圆222:1(1)xEyaa的左、右顶点，G为E的上顶点，8AGGB．P为直线6x上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．第4页（共19页）（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点．21．（12分）已知函数2()xfxeaxx．（1）当1a时，讨论()fx的单调性；（2）当0x时，121)(3xxf，求a的取值范围．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为,(kkxcosttysint为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4cos16sin30．（1）当1k时，1C是什么曲线？（2）当4k时，求1C与2C的公共点的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()|31|2|1|fxxx．（1）画出()yfx的图象；（2）求不等式()(1)fxfx的解集．第5页（共19页）2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若1zi，则2|2|(zz)A．0B．1C．2D．2【思路分析】由复数的乘方和加减运算，化简22zz，再由复数的模的定义，计算可得所求值．【解析】：若1zi，则222(1)2(1)2222zziiii，则2|2||2|2zz，故选：D．【总结与归纳】本题考查复数的运算，考查复数的模的求法，主要考查化简运算能力，是一道基础题．2．设集合2{|40}Axx„，}02|{axxB，且}12|{xxBA，则(a)A．4B．2C．2D．4【思路分析】由二次不等式和一次不等式的解法，化简集合A，B，再由交集的定义，可得a的方程，解方程可得a．【解析】：集合}22|{}04|{2xxxxA，}2|{}02|{axxaxxB，由}12|{xxBA，可得112a，则2a．故选：B．【总结与归纳】本题考查集合的交集运算，同时考查不等式的解法，考查方程思想和运算能力，是一道基础题．3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A．514B．512C．514D．512【思路分析】先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论．【解析】：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为h，第6页（共19页）则依题意有：222212()2hahahh，因此有222151()4()2()10224ahhhhahaaa（负值舍去）；故选：C．【总结与归纳】本题主要考查棱锥的几何性质，属于中档题．4．已知A为抛物线2:2(0)Cypxp上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则(p)A．2B．3C．6D．9【思路分析】直接利用抛物线的性质解题即可．【解析】：A为抛物线2:2(0)Cypxp上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，故有：91262pp；故选：C．【总结与归纳】本题主要考查抛物线性质的应用，属于基础题．5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(ix，)(1iyi，2，，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C至40C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A．yabxB．2yabxC．xyabeD．yablnx【思路分析】直接由散点图结合给出的选项得答案．【解析】：由散点图可知，在10C至40C之间，发芽率y和温度x所对应的点(,)xy在一段对数函数的曲线附近，结合选项可知，yablnx可作为发芽率y和温度x的回归方程类型．故选：D．【总结与归纳】本题考查回归方程，考查学生的读图视图能力，是基础题．6．函数43()2fxxx的图象在点(1，f（1）)处的切线方程为()A．21yxB．21yxC．23yxD．21yx【思路分析】求出原函数的导函数，得到函数在1x处的导数，再求得f（1），然后利用直线方程的点斜式求解．【解析】：由43()2fxxx，得3()46fxxx，第7页（共19页）f（1）462，又f（1）121，函数43()2fxxx的图象在点))1(,1(f处的切线方程为(1)2(1)yx，即21yx．故选：B．【总结与归纳】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础的计算题．7．设函数()cos()6fxx在[，]的图象大致如图，则()fx的最小正周期为()A．109B．76C．43D．32【思路分析】由图象观察可得最小正周期小于139，大于109，排除A，D；再由4()09f，求得，对照选项B，C，代入计算，即可得到结论．【解析】：由图象可得最小正周期小于413()99，大于4102()99，排除A，D；由图象可得44()cos()0996f，即为4962k，kZ，(*)若选B，即有212776，由4129762k，可得k不为整数，排除B；若选C，即有23423，由439262k，可得1k，成立．故选：C．【总结与归纳】本题考查三角函数的图象和性质，主要是函数的周期的求法，运用排除法是迅速解题的关键，属于中档题．8．25()()yxxyx的展开式中33xy的系数为()A．5B．10C．15D．20【思路分析】先把条件整理转化为求225()()xyxy展开式中43xy的系数，再结合二项式的展开式的特点即可求解．【解析】：因为22255()()()()yxyxyxxyxx；要求展开式中33xy的系数即为求225()()xyxy展开式中43xy的系数；展开式含43xy的项为：2223244435515xCxyyCxyxy；故25()()yxxyx的展开式中33xy的系数为15；故选：C．【总结与归纳】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．9．已知(0,)，且3cos28cos5，则sin()第8页（共19页）A．53B．23C．13D．59【思路分析】利用二倍角的余弦把已知等式变形，化为关于cos的一元二次方程，求解后再由同角三角函数基本关系式求得sin的值．【解析】：由3cos28cos5，得23(2cos1)8cos50，即23cos4cos40，解得cos2（舍去），或2cos3．(0,)，(2，)，则2225sin11()33cos．故选：A．【总结与归纳】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与二倍角公式的应