余弦定理(一)课件

§1.1.2余弦定理（一）2020/11/22（一）设置情境，体验精彩某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置C，量出C到山脚A、B的距离，分别是CA=8km，CB=5km，再利用经纬仪（测角仪）测出B对山脚AB的张角，∠C=60。最后通过计算求出山脚的长度AB。ABC问题1：△ABC确定吗？问题2：本题能用正弦定理解答吗？问题3：如何用学过的数学知识解答这个问题？探究：在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA的夹角为∠C，求边c.﹚cABbCAaCB,,解:设)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得Cbabacos222bac（二）抽象概括，建模探究向量法﹚Abccbacos2222﹚2222coscababC探究：在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA的夹角为∠C，求边c.（二）抽象概括，建模探究﹚Baccabcos2222探究：在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA的夹角为∠C，求边c.2222coscababCAbccbacos2222（二）抽象概括，建模探究﹚(0，0)(a,0)xy(bcosC,bsinC)22)0sin()cos(CbaCbcCbaCabCb22222sincos2cosCababcos222坐标法Baccabcos2222Abccbacos22222222coscababC则同理可得：（二）抽象概括，建模探究探究：在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA的夹角为∠C，求边c.CBAbacCabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222acbcaB2222cosabcbaC2cos222推论：余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即（三）归纳共性，形成定理1.如何欣赏定理？（对余弦定理的理解）(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．（四）欣赏定理，加深理解余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．角A为钝角⇔_____________，角A为直角⇔____________，角A为锐角⇔____________.a2b2＋c2a2＝b2＋c2a2b2＋c22.勾股定理也能刻画三边平方关系，它与余弦定理有什么关系？（四）欣赏定理，加深理解余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式，便可求出第四个量来．利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：(1)已知三边，求_____；(2)已知两边和其中一个角，求__________________．各角第三边和其他两个角3.利用余弦定理可解决哪些类型的解斜三角形问题？（四）欣赏定理，加深理解2020/11/22解决实际问题某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置C，量出C到山脚A、B的距离，分别是CA=8km，CB=5km，再利用经纬仪（测角仪）测出B对山脚AB的张角，∠C=60。最后通过计算求出山脚的长度AB。ABC22285258cos6049AB解：7kmAB类型一利用余弦定理解三角形[例1]在△ABC中，已知b＝3，c＝23，A＝30°，求边a、角C和角B.（五）典例剖析，拓展提升[解]直接应用余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋(23)2－2×3×23×cos30°＝3，∴a＝3.∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝32＋232－322×3×23＝12.∴B＝60°，∴C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°.（五）典例剖析，拓展提升[点评]1．解三角形时，应先分析题设条件，如本题属于“SAS”型，先用余弦定理求a，在此基础上，可以利用余弦定理计算角B或C的余弦值，也可以利用正弦定理计算角B或C的正弦值．2．常用余弦定理解答两类题目“SAS”或“SSA”型及“SSS”型．（五）典例剖析，拓展提升变式训练1已知在△ABC中，a:b:c＝2:6:(3＋1)，求△ABC的各角度数．（五）典例剖析，拓展提升解：∵a:b:c＝2:6:(3＋1)，令a＝2k，b＝6k，c＝(3＋1)k(k0)．由余弦定理的推论得cosA＝b2＋c2－a22bc＝6＋3＋12－42×6×3＋1＝22，∴A＝45°.cosB＝a2＋c2－b22ac＝4＋3＋12－62×2×3＋1＝12，∴B＝60°.∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.（五）典例剖析，拓展提升类型二判断三角形的形状[例2]在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状．（五）典例剖析，拓展提升[解]∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc.又∵a2＝b2＋c2－2bccosA，则2cosA＝1，∴A＝60°.又∵sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C.又∵B＋C＝120°，∴△ABC是等边三角形．（五）典例剖析，拓展提升[点评]判断三角形形状的方法：(1)利用正、余弦定理化角成边，利用代数运算求出三边的关系；(2)由正、余弦定理化边为角，通过恒等变形及内角和定理得到内角关系，从而判定形状．（五）典例剖析，拓展提升类型三正、余弦定理的综合应用[例3]如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．（五）典例剖析，拓展提升[分析]将四边形ABCD分成△ABD和△BCD，在△ABD中，用余弦定理求出BD，在△BCD中，用正弦定理即可解出BC.（五）典例剖析，拓展提升[解]在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，设BD＝x，则有142＝102＋x2－2×10xcos60°，即x2－10x－96＝0，解得x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16.∵AD⊥CD，∠BDA＝60°，∴∠CDB＝30°.在△BCD中，由正弦定理得BC＝16sin135°·sin30°＝82.（五）典例剖析，拓展提升[点评]在一些复杂的图形问题中，我们要善于分析图中哪些三角形的条件足够求解该三角形，哪些三角形的条件还不够求解该三角形，对那些条件不够的三角形要去探索它与其他三角形之间的联系，有时也可直接设出其中的边和角，然后列方程(组)求解．（五）典例剖析，拓展提升定理正弦定理余弦定理内容a2＝；b2＝；c2＝.asinA＝bsinB＝csinC=2Rb2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC（六）课堂小结，类比升华定理正弦定理余弦定理解决的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.“AAS、ASA”“ASS”“SSS”“SAS”或“SSA”（六）课堂小结，类比升华2020/11/22（七）布置作业，探究延续1、①阅读书本P8-9《探究与发现》；②校本作业1-4余弦定理1.2、[思考]已知三角形任意两边与一角，借助于正、余弦定理是否能求出其他元素？3、[思考]在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？1．已知三角形任意两边与一角，借助于正、余弦定理是否能求出其他元素？思考感悟提示：能．已知三角形两边与一角有如图所示的两种情况：图①中已知角A和边a，b，可先由正弦定理先求角B和角C，继而可求边c.图②中已知角A和边b，c，可先由余弦定理求边a，继而可由正弦定理求角B和角C.2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角的范围讨论解的情况．1.(2013·厦门模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b2＋c2＝a2＋bc，且AC→·AB→＝4，则△ABC的面积等于________．由条件得cosA＝12，A＝π3；又由AC→·AB→＝4得bc，故△ABC面积可求．【备选例练】【备选例练】222sinsin=12ABCACab.已知中，2（2）（）sinB,三角形的外接圆半径为2，（）求角C的大小；（）求ABC的面积的最大值。2020/11/22感谢各位聆听，敬请批评指正！