4.2方阵的特征值与特征向量

上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量第四章§4.2方阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量一．特征值与特征向量的概念.,,,的特征向量的对应于特征值称为量非零向的特征值为方阵称数成立使非零列向量维和数如果阶矩阵是设AxAxxAxnnA(1)A是方阵.(2)特征向量是非零列向量.x关于特征值的特征向量不惟一.Α)3(上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量0)(xEA齐次线性方程组有非零解,0EA,0212222111211nnnnnnaaaaaaaaa.次方程为未知数的一元以n上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量);(次方程为未知数的一元以n0EA的特征方程A);(次多项式的它是nEAf的特征多项式A.,,1的特征值为其全部根An上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量3140201121A求例的特征值与特征向量．解314020112EA,2)1(2.2,1321的特征值得A.0,11xEA时当,000010101414030111~EA行最简形上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量,1011p得基础解系的全部特征向量为故对应于11).0(111kpk0,231xxx).(3为自由未知量x,13x令　上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量得基础解系为：,401p,04132p:232的全部特征向量为对应于).0,(323322不同时为kkpkpk3214141xxx),(32为自由未知量xx40,0432xx　令上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量.02,232xEA时当,000000414111140001142~EA3214141xxx),,(32为自由未知量xx,400432及　令xx上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量步骤：;.1EAA的特征多项式求;,,,,0.221的全部特征值是的全部根求特征方程AEAn;,,0,.31siippxEA的一个基础解系求齐次方程组对于特征值.,,(.4111不同时为零）的特征向量应于对sssikkpkpk上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量例２.201034011的特征值和特征向量求矩阵A解,)1)(2(2010340112EA.1,2321的特征值为A.0)2(,21xEA时当,0000100010010140132~EA上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量,100p1得基础解系).0(2111kpk的全部特征向量为对应于,0)(,132xEA时当,000210101101024012~EA.0,021xx,13x令　.(2,33231自由未知量）xxxxx上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量自由未知量）33231(2xxxxx,121p,123得基础解系令x).0(122232kpk的全部特征向量对应于上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量的特征值是可逆，的特征值．是的特征值，证明：为矩阵设例1221)2()1(3AAAAppAPA使，存在非零向量的特征值，是证：)1()()(2pApAApA　又ppA2)(的特征值是22AppA)2(0,可逆A的特征值是11AppA11上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量,542452222A设A求的特征值和特征向量.542452222AE解：)10()1(2121103,得练习:上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量101212211kpkpk1022k时,得特征向量，不同时为零21,kk10221333kpk时,得特征向量)0(3k上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量是设111p的一个特征向量，20135212aA.a求，由ppA:解20135212a即111，111121a，.3a得练习上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量0232EAAA练习:设,则必有一个特征值.,02232EAEAEAA,020EAEA或.21或,02EAEA上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量A的一个特征值，试求的全部特征值和特征向量,01解1,0)1(2aaA,0)2(2AE,2,0321aA0102010101A设矩阵，已知是练习:上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量;101,011101;010,23232;101111kk101010323322kkkk不同时为零21,kk上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量.,,,,,.,,,,,1.1111线性无关则各不相等如果与之对应的特征向量依次是个特征值的是设mmmmppppmA二.特征值与特征向量的性质1.属于不同特征值的特征向量是线性无关的．2.一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．*上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量.,,,,,,,.,,,,,,,21212121线性无关则各不相等如向量依次是与之对应的特征个特征值的是方阵设mmmmppppppmA证明使设有常数mxxx,,,21.02211mmpxpxpx则,0)(2211mmpxpxpxA即,0222111mmmpxpxpx类推之,有.0222111mmkmkkpxpxpx)1,,2,1(mk上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量把上列各式合写成矩阵形式，得11221112211111,,,mmmmmmmpxpxpx)0,,0,0(于是有可逆从而该矩阵该行列式不等于不相等时当各式列阵的行列式为范德蒙行上式等号左端第二个矩.,0,,i),0,,0,0(),,,(2211mmpxpxpx).,,2,1(0mjpxjj即,0jp但).,,1(0mjxj故.,,,21线性无关所以向量组mppp上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量..2的特征值相同与TAA||TTEA.EATEA|)(|TEA证:与的特征多项式相同，ATAATA从而与的特征值相同.上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量则有的特征值为阶方阵设,,,,.321nijaAn;)1(221121nnnaaa.)2(21An.2,3,2,13　求的特征值为如　设AA.483218223AA上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量;)1(.4的特征值是的特征值，则为设kkAA;)()()2(的特征值是A,)(10次多项式的naaann.,)(10次多项式的nAAaAaEaAnn上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量;0)1(.5特征值可逆，则若A;1)2(1的特征值是A.)3(*的特征值是AA）证（3,ppAppA)1(故pApAA)1(即pApEA||得0,可逆A.||pApA即上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量.3)3(;3)2(;)1(,3,2,1433EAAEAAAA　的特征值　　求的特征值为设例,6321A解,3)(3EAAA,13)(3,1)1(,3)2(,19)3(.571931)3()2()1(33EAA上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量.|)(|)3;)()2;)()1,3,2,1.52*2*12EAEAAA的特征值的特征值求的特征值为设例,)()()1:12AA解21)(,1,4191,)()()22*EAA1||)(2A6A,37)1(,10)2(5)3(51037|)(|)32*EA1850.上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量.0162或的特征值只能是，证明：设例AAA.22的特征值是的特征值，是证：若AAppA22AA2ppApA2pp20)(2p002p又.01,10或的特征值为或　A上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量.23,2,17可逆，证明：为三阶矩阵，特征值为设例AEA,2)(AEA证：,2)(,5)3(,4)2(,3)1(,0602AE.2可逆AE上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量，设3002300028.A例.21EA求|2|2:111AAAEA解)2(1AEA|2|||1AEAAEA21.950500250004181上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量法二:，0EA.3,2321的特征值得A,1221的特征值：EAEA1235352.950,35,35,2即，设3002300028.A例.21EA求上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量是则下列矩阵中可逆矩阵，，，是三阶矩阵，有特征值设211:AexAEa.AEb.AEc2.AEd2.d则有的特征值阶矩