数学的魅力

1第一章概述第三节数学的魅力2你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律；你可能喜欢图画，因为它从视觉上反映人和自然的美；那么，你应该更喜欢数学，因为它像音乐一样和谐，像图画一样美丽，而且它在更深的层次上，揭示自然界和人类社会内在的规律，用简洁的、漂亮的定理和公式描述世界的本质。数学，有无穷的魅力！3一、渔网的几何规律用数学方法可以证明，无论你用什么绳索织一片网，无论你织一片多大的网，它的结点数(V)，网眼数(F)，边数(E)都必定适合下面的公式：V+F–E=14多面体的欧拉公式V+F–E=25数学就有这样的本领，能够把看起来复杂的事物变得简明，把看起来混乱的事物理出规律。6二、天津市南开区至少有两个人头发根数一样多“存在性命题”：天津市南开区中一定存在两个头发根数一样多的人。对于存在性命题，通常有两类证明方法：一类是构造性的证明方法，即把需要证明存在的事物构造出来，便完成了证明；一类是纯存在性证明，并不具体给出存在的事物，而是完全依靠逻辑的力量，证明事物的存在。7例如“任意两个正整数都存在最大公约数”这个存在性命题，我们可以用“辗转相除法”给出构造性的证明，在证明最大公约数存在的同时，也给出了求最大公约数的方法。(例：（210，1950）=30)再例如“连续函数如果在两个端点反号，则中间一定存在零点”这个存在性命题，我们在教材中看到的和在课堂上听到的，往往是纯存在性证明，证明了零点的存在，但并不给出找到零点的方法。8天津市南开区至少有两个人头发根数一样多构造性证明：一个一个地去数天津市南开区中所有人的头发根数，一定可以找到两个具体的人，不妨称之为张三和李四，他们的头发根数一样多，便完成了证明。9天津市南开区至少有两个人头发根数一样多纯存在性证明：“抽屉原理”证明“367个人中至少有两个人的生日是相同的”证明“天津市南开区中一定存在两个头发根数一样多的人”10对于这个命题，纯存在性证明的方法，比用构造性证明的方法更可靠。11三、圆的魅力车轮，是历史上最伟大的发明之一圆，是平面图形中对称性最强的图形周长与直径之比是一个常数这个常数是无理数、超越数面积相等的图形中圆的周长最短规尺作图化圆为方不可做12四、“三角形三内角之和等于180度，这个命题不好”这句话是1978年数学大师陈省身先生在北京大学的一次演讲中说的，后来又多次说过。所以，这不是随便说的一句话。陈先生并没有说“三角形三内角之和等于180度，这个命题不对”，而是说“这个命题不好”。13三角形三内角之和=180度n边形n内角之和=？n边形n内角之和=180度×(n–2)14n边形n外角之和=360度不变量曲边形（向量组的秩；矩阵的秩）15高斯－博内公式当积分区域是整个闭曲面M时，有=2πχ（M）其中k是高斯曲率，χ（M）是M的欧拉示性数。这一高斯－博内公式的左面是一个由局部性质（曲率）表示的量，但是，公式的右面却只和曲面整体的拓扑不变量。高斯－博内公式的重要意义在于：它用曲面的局部不变量刻画了整体性质。kd16五、四色问题四色问题也称“四色猜想”或“四色定理”，它于1852年首先由一位英国大学生F．古色利提出。他在为一张英国地图着色时发现,为了使任意两个具有公共边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜色就够了。但是他证明不了这一猜想。于是写信告诉他的弟弟弗雷德里克。弗雷德里克转而请教他的数学老师,杰出的英国数学家德·摩根，希望帮助给出证明。17德•摩根很容易地证明了三种颜色是不够的,至少要四种颜色。下图就表明三种颜色是不够的。18但德·摩根未能解决这个问题,就又把这个问题转给了其他数学家,其中包括著名数学家哈密顿。但这个问题当时没有引起数学家的重视。直到1878年,英国数学家凯莱对该问题进行了一番思考后，认为这不是一个可以轻易解决的问题，并于当年在《伦敦数学会文集》上发表了一篇《论地图着色》的文章,才引起了更大的注意。191879年，一位英国律师肯泊在《美国数学杂志》上发表论文，宣布证明了“四色猜想”。但十一年后，一位叫希伍德的年轻人指出，肯泊的证明中有严重错误。20一个看来简单，且似乎容易说清楚的问题，居然如此困难，这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问题的魅力。实际上，对于地图着色来说,各个地区的形状和大小并不重要,重要的是它们的相互位置。下图中的三个地图对地图着色来说都是等价的。从数学上看,问题的实质在于地图的“拓扑结构”。21一百多年来许多数学家对四色问题进行了大量的研究,获得了一系列成果。1920年弗兰克林证明了,对于不超过25个国家的地图,四色猜想是正确的。1926年雷诺兹将国家的数目提高到27个。1936年弗兰克林将国家的数目提高到31个。1968年挪威数学家奥雷证明了,不超过40个国家的地图可以用四种颜色着色。但是，他们都没有最终证明“四色猜想”。22四色问题的解决直到1972年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在前人给出算法的基础上，开始用计算机进行证明。到1976年6月,他们终于获得成功。他们使用了3台IBM360型超高速电子计算机,耗时1200小时,终于证明了四色猜想。23这是一个惊人之举。当这项成果在1977年发表时,当地邮局特地制作了纪念邮戳四色足够(FOURCOLORSSUFFICE)，加盖在当时的信件上。24拓展了人们对“证明”的理解由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学家从数学及哲学方面对“证明”的思考。25六、素数的奥秘自然数是整个数学最重要的元素。自然数中有一种特别基本又特别重要的数，称为“素数”。素数是大于1的自然数中，只能被自己和1整除的数；大于1的自然数中不是素数的都称为“合数”；1则既不是素数也不是合数。26由于在大于1的自然数中，素数的因子最少，所以素数是特别简单的数。又由于一切大于1的自然数都能够从素数通过乘法得到，所以素数又是特别基本的数。素数很早就被古希腊的数学家所研究。2300多年前欧几里得的几何《原本》第9卷的定理20，就给出了“素数有无穷多个”的漂亮证明。27但是，素数的有些规律，表述出来很容易听懂，研究起来却出人意料地困难。（当然，素数的有些规律表述出来也是相当复杂的。）关于素数的规律，人类有许多的“猜想”。至今还有不少关于素数的重要猜想，既没有被证明，也没有被否定。有的猜想的解决，现在看来可能会十分遥远。有人甚至预言，“人类探寻素数规律的历史，将等同于人类的整个文明史”。28三个关于素数规律的问题从加法的角度研究素数从乘法的角度研究素数找一个公式来表示素数29从加法的角度研究素数两个猜想：每个足够大的偶数都是两个素数的和；每个足够大的奇数都是三个素数的和。后一个猜想现在已被证明；前一个猜想至今却既没有人举出反例，也没有人给出证明。前者就是著名的“哥德巴赫猜想”。30从乘法的角度研究素数算术基本定理：任一个大于1的自然数，都可以被表示为有限个素数（可以重复）的乘积，并且如果不计次序的话，表法是唯一的。算术基本定理早已被证明，但不是采用“构造性”的证明。未解之谜：这个问题是：对任一个大于1的自然数，试给出一个一般的方法，以便较快地找到有限个素数（可以重复），使它们的乘积等于那个预先写出的大于1的自然数。31下面用“构造性”证明的思路，来试图找到解决的办法，同时也体会它的困难所在。32解决问题的困难不严格的地方，或者说“跳步”的地方，就在最前面的两步。即，如何较快地判断“a是否素数”；及当判断出a不是素数后如何较快地找到b，得到a=b×c。解决问题的本质困难，也在这两个步骤。虽然现在有了高速计算机，但是对于很大的数a，例如200位的数a，这两步的计算仍然很费时日，以至于实际上是不可能解决问题的33这样的困难，反倒给密码通讯提供了思路a=b×c（b、c是两个很大的素数，比如都是100位的大素数）在造密码时，你可以把a公开，但b、c对外保密，只有“我方”了解。必须知道b、c才能破译密码。“敌方”只知道a和密文，就无法了解密文的意思。要想破译密文，首先需要把a分解为b×c。但是因为a这个数很大，以及上面提到的本质困难，把a分解为b×c是很费时日的。34找一个公式来表示素数费马素数(1640年)Fn=2∧2n+1梅森素数(1644年)Mn=2n–1（n=2、3、5、7、13、17、31、67、127、257）“梅森数中是否有无穷个素数”的问题，也是未解之谜。35关于费马素数，n=5时，Fn=4294967297=641×6700417梅森的判断中有五个错误：n=67、257时Mn不是素数；而n=61、89、107时Mn是素数。36科尔：《大数的因子分解》1903年10月267—1193707721×761838257287267—1=193707721×761838257287科尔一言未发；会场上爆发了热烈的掌声。37七、“蒲丰投针”的故事38八、“化归”的方法“化归”，是把未知的问题，转化为已知的问题；把待解决的问题，归结为已解决的问题，从而解决问题的过程。波利亚：关于“烧水”的例子39九、体会公式中的数学美可以从公式中，令=推出来。公式，用“等号”连接了数学中五个重要的常数，反映了数学的“统一美”。10ie10iecossiniei10ie40M．克莱因（FelixKlein,1849－1925）：音乐能激发或抚慰人的感情，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人聪慧，科学可以改善生活，而数学能做到所有这一切。41【思考题】请你举一个例子，展示数学的魅力。42抓三堆：有三堆谷粒（例如100粒、200粒、300粒），甲、乙轮流抓，每次只能从一堆中抓，最少抓1粒，可抓任意多粒；甲先抓，规定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？43“抓三堆”的二进制解法用二进制表示这三堆谷粒数，写成三行，并上下对齐，各列相加，列的加法定义为这就是模2加法。（只要是2的倍数，就记为0）关于模2加法，可以推广；比如推广为模7加法：例1：如果1号是星期一，问27号是星期几？解答：27号与1号相差26天，因为，说明过去3个7天之后，再过5天，这样27号这天就是星期一再加上5天，即星期六。（事实上，这里只要是有7的倍数，就都可以记为0。）例2：如果1号是星期三，问27号是星期几？（答：星期一）0+0=0;0+1=1;1+0=1;1+1=02673544[思]：如果9月号是星期，问9月号是星期几？xyz45我们断言：把三堆谷粒数均表为二进制，写成三行，将位数对齐，各列模2相加，若和全为0，则后抓者有必胜策略；若和中出现1，则先抓者有必胜策略。和中出现1时，先抓者的具体策略是：先抓者从最左边的1所在的列，寻找某堆的谷粒数中相应的列也有1，就从该堆中抓走适当个数，使得抓完后各列的和（模2）为0。46“抓三堆”中的数学思想1.由于谷粒数越来越少，最后，先抓者可以使得后抓者始终面临各列模2之和为（0，0，…，0）状态，这意味着先抓者获胜。2.后抓者只要抓，谷粒就将减少，因此该行中至少有一个1变为0（如果1都不变为0，只会使谷粒数增加或不变），从而该列模2之和将为1。于是先抓者就不会面临（0，0，…，0）状态。3.先抓者的正确抓法，应使得各列模2之和均为0。即，先抓者应总是抓成（0，0，…，0）状态。47例1：设原始状态（2，3，4），则先抓者胜。例2：设原始状态（5，8，13），则后抓者胜。例3：设原始状态（5，12，13），则先抓者胜。48推广改为“规定谁抓到最后一把谁输”？改为“抓四堆”？改为“抓五堆”、“抓六堆”，以至“抓n堆”？改为用“三进制”？49本节结束谢谢！