现代设计方法---优化设计

1现代设计方法第二部分优化设计（Optimaldesign）2第一章优化设计的基本知识§1-1概论寻找最优的决策以获得最好的经济效果，就促使最优化技术迅速发展。评价一种设计方法优劣的主要根据，是设计质量及设计速度。设计质量取决于所用的基本理论是否正确及设计方法恰当与否，设计速度则取决于设计方法及运算辅助工具。为提高设计质量与设计速度，采用最佳的优化设计方法是极其重要的。优化设计是现代设计方法的一个重要领域，已经广泛应用到各个领域，如在生产中，如何使成本最低？如何合理地分配资源获得最大经济效益？如何使设计的机械在满足各项功能的前提下，使其重量最低、造价最低等。优化设计技术的应用，成为促进国民经济多、快、好、省地发展的有效方法。3优化设计的改进历史：•1．试算法这种方法始于20世纪20代末。试算法以一定的理论公式为根据，利用已知或假定的技术条件，通过多次试算、修改，最终获得适用的设计参数。例如，设计一个刚度一定的圆柱形螺旋压簧，可以根据下列刚度公式进行试算：式中—弹簧所受的轴向负荷，—弹簧的平均直径，简称中径—弹簧在负荷P作用下所产生的变形量—弹簧的有效圈数—弹簧材料的直径—弹簧材料的切变模量3248nDGdFPPP2DFndGP2038KDdP4•根据上式，如己知或先预定、、、各参数，通过多次试算、修改，就有可能得到压簧刚度等于或接近于的设计参数。•刚度公式也可以写成一般的多元函数表达式，即•式中代表性能指标，是设计参量，分别代表、、、，所以。•对于一个多元函数，如要求函数值一定，固然可以通过适当选定各值来满足要求。但在既有一定数值范围限制又包括部分离散量的情况下，即使经过多次试算，修改，也难获得理想结果。计算量也会随着试算次数的增多而加大。2DndGPNixfyi,,2,1)(yPixGdn2D4Nixix5•2．表格法这种方法始于20世纪30年代。它仍以一定的理论计算公式为根据，参照常用离散数列及规范，预制出系统的表格，供设计者直接查阅。目的在于简化设计过程、减少重复试算量。如螺旋状拉、压弹簧设计中所用曲度系数表格。C45678910K1.401.311.251.211.181.161.14表1-2弹簧旋绕比与曲度系数对照表制订上表的根据是曲度系数计算式：在选定C后，依上表即可查得K值。如表列数值不理想，尚须插值求解。CCCK615.04414dDC2d(mm)0.2~0.40.45~11.1~2.22.5~67~1618~247~145~125~104~104~84~6表1-1弹簧旋绕比的选择6•3．图算法这种方法始于20世纪40年代。它也以一定的理论公式为根据，建立图尺方程，确定图尺系数，作出具有专用图线的算图。这些专用图线，避免了函数值的离散化，使用时也需用插值法求中间值。图1-1曲度系数K值线图具体使用方法是：如选，，先分别在线及线上找到相应的两点，然后联结—并延长，与K线相交，交点即为K值，等于1.44。mm11dmm412Dd2Dd2D31.7519.0515.911.09.536.354.763.1830415250.838.725.4199.53.2411.051.11.151.21.281.31.41.51.82.0d2DK7•4．利用一元函数极值理论的设计方法•这种方法始于20世纪40年代末，目的在于获得理论上的最优设计性能，是优化设计的萌芽。•如某一设计的性能指标为，诸设计参量为，并保持一定函数关系•的极大值或极小值，表征了设计的最优性能•必要条件：•充分条件：在x*点存在二阶连续偏导数。当时为极大；当时为极小。•所确定的设计参量，即为获得最优性能所应选用的具体值。•实际上，绝大多数设计都非一元问题。•这种设计方法虽有理论意义，但较少具有实用价值。yixnixfyi,,2,1)(y0)(*xy0)(*xy0)(*xy8•5．优化设计法(最优化设计OptimalDesign)起源：始于上世纪50年代末，而普及应用于70年代概念：是以数学规划理论为基础，以电子数学计算为辅助工具的一种设计方法原理：将优化技术应用于设计过程之中，最终获得较理想的设计参数，由于这种设计一般多在完成初始设计之后进行，最终获得优化参数及结果，故称之为优化设计。分类：一为直接法（数值法）：直接计算函数值、比较函数值，并以之作为迭代，收敛根据的方法。二为间接法（解析法）：以多变量函数极值理论为依据，利用函数性态、以之作为迭代，收敛根据的方法。两种方法的择优、运算过程，皆按预编程序在计算机上进行。故在有的技术领域中，亦将此过程称之为自动设计。9优化设计的基本思想优化算法各种各样，但大多数方法都是采用数值法，其基本思想是搜索、迭代和逼近。就是说，在求解时，从某一初始点x0出发，利用函数在某一局部区域的性质和信息，确定下一步迭代的搜索方向和步长，去寻找新的迭代点x1。然后用x1取代x0，(对于极小化问题)x1点的目标函数值应比x0点的值为小。x0d0x1d1x2d2x3d3xkxk+1xk+1=xk+akdkdk10机械优化设计的优点1.使传统机械设计中，求解可行解上升为求解最优解成为可能2.使传统机械设计中，性能指标的校核可以不再进行3.使机械设计的部分评价，由定性改定量成为可能4.使零缺陷（废品）设计成为可能5.大大提高了产品的设计质量，从而提高了产品的质量6.大大提高了生产效率，降低了产品开发周期1、美国BELL公司利用优化方法解决450个设计变量的大型结构优化问题。一个机翼质量减轻了35%2、波音公司，在747的机身设计中收到了减轻质量、缩短生产周期、降低成本的效果。3、武汉钢铁公司从德国引进的1700薄板轧机，经该公司自主优化之后，就多盈利几百万欧元。11优化设计的分类根据优化问题的不同特征，可有不同的分类方法。(1)按有无约束：无约束优化问题和有约束优化问题。(2)按设计变量的性质：连续变量、离散变量和带参变量。(3)按问题的物理结构：优化控制问题和非优化控制问题。(4)按模型所包含方程式的特性：线性规划、非线性规划、二次规划和几何规划等。(5)按变量的确定性性质：确定性规划和随机规划。12常用优化方法的分类优化方法线性规划匈牙利法整数规划单纯形法隐枚举法割平面法标准单纯形法修正单纯形法对偶单纯形法非线性规划无约束非线性规划约束非线性规划一维搜索法使用导数不使用导数牛顿法0.618法分数法平分法抛物线法三次插值法有理插值法一阶梯度法坐标轮换法牛顿法共轭梯度法变尺度法单纯形加速法随机搜索法共轭方向法和Powell法Hooke-Jeeves模式搜索法直接解法间接解法随机试验法随机方向法复合形法可行方向法等式约束不等式约束加等式约束消元法拉格朗日乘子法罚函数法内点罚函数法外点罚函数法混合点罚函数法几何规划Auriel-Williams法修正简约梯度法动态规划分析解法数值解法13一、实际技术问题及其数学模型例1现有一块薄铁皮，宽度b=14厘米，长度L=24厘米，制成如图所示的梯形槽，求斜边长x和倾角α为多大时，槽的容积最大。§1-2优化设计的术语及概念Lxb图1－2LxxfxxxxA0),(sin)cos2224()224(21max*这一优化设计问题是具有两个设计变量(即x和α)的非线性规划问题。14例2：有一圆形等截面的销轴，一端固定，一端作用着集中载荷F=1000N和扭矩M=100N·m。由于结构需要，轴的长度L不得小于8cm，已知销轴材料的许用弯曲应力[σW]=120MPa，许用扭转切应力[τ]=80MPa，允许挠度[f]=0.01cm，密度ρ=7.8t/m3，弹性模量E=2×105MPa。现要求在满足使用要求的条件下，试设计一个用料最省的方案。优化目标用料最省条件强度条件刚度条件边界条件LdV24133max2.01.0dMdFLwfdEFLEJFLf4333643cmLL8minFMdL15例3设某车间生产A和B两种产品，每种产品各有两道工序，分别由两台机器完成这两道工序，其工时列于表中。若每台机器每周至多工作40小时。产品A的单价为200元，产品B的单价为500元。问每周A、B产品应各生产多少件，可使总产值为最高。（这是生产规划的最优化问题）工序产品第一道第二道A1.5小时2小时B5小时4小时工时解：设该车间每周应生产产品A、B分别为、件。则有约束条件为：1x2x0,040424055.1212121xxxxxx而且该车间每周的总产值为最大就是目标函数，即：),(max5002002121xxfxxS16二、术语•1．设计变量概念：设计变量是设计模型的基本成分，是设计最后所需确定的参数。设计变量的个数，即是所需求解问题的维数。确定原则：在满足设计基本要求的前提下，应恰当确定设计变量的数目，尽可能把影响不大的参数定为设计常量，只把对目标函数影响较大的独立参数选为设计变量。设计变量的分类：１)连续变量：可以在实数范围内连续取值的变量。２)离散变量：只能在给定数列或集合中取值的变量。17•2．目标函数概念：以所选定的设计变量为自变量，以所要求的性能指标为因变量，并按一定关系所建立起来的函数式。它反映了设计性能要求与设计参数之间的关系。由于目标函数的函数值大小可以评价设计质量的优劣，也称为评价函数。设计变量的个数，确定了目标函数的维数。设计变量的幂及函数的性态，确定了目标函数的性质。如果所选的设计变量与所要求的性能指标之间无精确的函数关系，亦可采用曲线拟合、多元回归或其他近似计算方法，获得近似的函数式作为目标函数。如果在同一设计中，需要满足一个以上的性能指标，则可分别建立一个以上的目标函数表达式，并以之作为初始模型。这种目标函数称为多目标函数。18•3．约束条件概念：对设计变量的取值加以某些限制的条件称为约束条件。分类：包括常量约束与约束方程两类。常量约束亦称边界约束，它表明设计变量的允许取值范围。约束方程亦称性能约束，它是以所选定的设计变量为自变量，利用几何关系、设计规范，……建立起来的函数式，它常用来限制某些设计性能。约束方程又分不等式约束和等式约束。可以利用一定方法，将约束形式相互转变。如，可转变为；亦可转变为。在所需求解的问题中，有时并无约束，有时则有约束。0)(ixg0)(ixg0)(iixxg19•4.设计空间及设计可行域为便于分析、研究，应用矩阵向量的知识，可将设计模型转化为设计空间，并在此空间内，讨论择优过程。如将设计方案抽象为一个空间向量X，并将与之有关的各设计变量抽象为各分向量(x1，x2，……xn)，且各分向量线性独立，则以各分向量为轴所构成的空间，即为设计空间。如有n个独立的设计变量，就可相应地构成n维空间。称为n维欧氏空间，记为En。Txxxxn),(22121X则有20Txxxxxxn),,(3321321X则有Tnnxxxxxxnn),,(2121X则有显然，在设计空间中的每一个点，都唯一地确定了一个空间向量，它代表了一组分向量及其数值，实际上也就代表了一种具体的设计方案。如在设计空间中存在着使目标函数达到极值的点，则该点就代表着一种优化设计方案。如在该空间中仅有一极值点，则它就是全空间中的最优设计方案。该点常用表示。*X21在设计空间中，被约束条件所限定的区域K，即为设计可行域，如图所示。其中，，为约束条件。)(1xg)(2xg)(3xg1x2x)(1xg)(2xg)(3xgK可行域约束的个数p必须小于设计变量的个数n22设计可行域是设计空间的一个局部。优化设计的寻优过程，一般只应在此区域内进行。最后确定的优化点，也只能在此可行域内，或在可行域的边界上。否则，所得的设计参数将因超出约束而失去实用价值。无约束优化：在没有限制的条件下，对设计变量求目标函数的极小点，其极小点在目标函数等