排列组合与概率(含习题答案)

..2014高三暑期保送复习《排列组合与概率》专题第一讲排列组合与二项式定理【基础梳理】1．排列(1)排列的概念：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示．(3)排列数公式Amn＝(4)全排列数公式Ann＝(叫做n的阶乘)．2．组合(1)组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cmn表示．(3)组合数公式Cmn＝(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C0n＝1.(4)组合数的性质：①Cmn＝Cn－mn；②Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n.3．二项式定理（1）(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的其中的系数Crn(r＝0,1，…，n)叫．式中的Crnan－rbr叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Crnan－rbr.（2）．二项展开式形式上的特点①项数为.②各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为.③字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增直到n.(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到Cn－1n，Cnn.(3)．二项式系数的性质①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数即..②增减性与最大值：二项式系数Ckn，当k＜n＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n是偶数时，中间一项取得最大值；当n是奇数时，中间两项取得最大值．③各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Crn＋…＋Cnn＝2n；C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝.【基础自测】1．8名运动员参加男子100米的决赛．已知运动场有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字(如：4,5,6)，则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有()．A．360种B．4320种C．720种D．2160种2．以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有()．A．200个B．190个C．185个D．180个3．(2010·山东)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()．A．36种B．42种C．48种D．54种4.如图，将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有()．123312231A．6种B．12种C．24种D．48种5．某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是________(用数字作答)．6.(2011·福建)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()．A．80B．40C．20D．107.若(1＋2)5＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝()．A．45B．55C．70D．808.(人教A版教材习题改编)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为()．..A．9B．8C．7D．69．(2011·重庆)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()．A．6B．7C．8D．9【例题分析】考向一排列问题【例1】►六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站在两端；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻；(4)甲、乙之间恰有两人；(5)甲不站在左端，乙不站在右端；(6)甲、乙、丙三人顺序已定．【巩固练习1】用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别有多少个？(1)0不在个位；(2)1与2相邻；(3)1与2不相邻；(4)0与1之间恰有两个数；(5)1不在个位；(6)偶数数字从左向右从小到大排列．考向二组合问题【例2】►某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？【巩固练习2】甲、乙两人从4门课程中各选修2门，(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？考向三排列、组合的综合应用..【例3】►(1)7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，试问：每个盒子都不空的放法共有多少种？(2)计算x＋y＋z＝6的正整数解有多少组；(3)计算x＋y＋z＝6的非负整数解有多少组．【巩固练习3】有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？(1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；(3)分成每组都是2本的三组；(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．【巩固练习4】►有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有多少种？【巩固练习5】在10名演员中，5人能歌，8人善舞，从中选出5人，使这5人能演出一个由1人独唱4人伴舞的节目，共有几种选法？考向四二项展开式中的特定项或特定项的系数【例4】►已知在3x－33xn的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．【训练6】(2011·山东)若x－ax26展开式的常数项为60，则常数a的值为________．..考向五二项式定理中的赋值【例7】►二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．【训练7】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.考向六二项式的和与积【例8】►(1＋2x)3(1－x)4展开式中x项的系数为________．【训练8】(2011·广东)xx－2x7的展开式中，x4的系数是________(用数字作答)．【巩固作业】一、选择题1错误!未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A．243B．252C．261D．2792错误!未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）满足,1,0,1,2ab,且关于..x的方程220axxb有实数解的有序数对(,)ab的个数为（）A．14B．13C．12D．10错误!未指定书签。3．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）使得13nxnNnxx的展开式中含有常数项的最小的为（）A．4B．5C．6D．7错误!未指定书签。4．（2013年高考四川卷（理））从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,ab,共可得到lglgab的不同值的个数是（）A．9B．10C．18D．205错误!未指定书签。．（2013年高考陕西卷（理））设函数61,00.,(),xxfxxxx,则当x0时,[()]ffx表达式的展开式中常数项为（）A．-20B．20C．-15D．156错误!未指定书签。．（2013年高考江西卷（理））(x2-32x)5展开式中的常数项为（）A．80B．-80C．40D．-40二、填空题7错误!未指定书签。．（2013年上海市春季高考数学试卷(）36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为2236=23,所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91（参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为________________________8错误!未指定书签。．（2013年高考四川卷（理））二项式5()xy的展开式中,含23xy的项的系数是_________.(用数字作答)9错误!未指定书签。．（2013年上海市春季高考数学试卷(）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为________(结果用数值表示).10错误!未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）将FEDCBA,,,,,六个字母排成一排,且BA,均在C的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答)11错误!未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题）从3名骨科.4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有人的选派方法种数是___________(用数字作答)12错误!未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题）61xx的二项展开式中的常..数项为______.第二讲离散型随机变量及其分布列【知识梳理】1．离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y等表示．(2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．(3)分布列设离散型随机变量X可能取得值为x1，x2，…，xi，…xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率为P(X＝xi)＝pi，则称表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．(4)分布列的两个性质①pi≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝_1_.2．两点分布如果随机变量X的分布列为X10Ppq其中0p1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布．3．超几何分布列在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，则称分布列X01…mPC0M·Cn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN为超几何分布列．【基础自测】1．抛掷均匀硬币一次，随机变量为()．A．出现正面的次数B．出现正面或反面的次数..C．掷硬币的次数D．出现正、反面次数之和2．如果X是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是()．A．X取每个可能值的概率是非负实数B．X取所有可能值的概率之和为1C．X取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D．X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和3．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝12k，k＝1,2，…，则P(2X≤4)等于（）A.316B.14C.116D.5164．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为()．A．25B．10C．7D．65．设某运动员投篮投中的概率为P＝0.3，则一次投篮时投中次数的分布列是________．考点一由统计数据求离散型随