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©陈强，高级宏观经济学讲义，山东大学经济学院，2010年1第12章资产定价(AssetPricing)这一章从消费者角度研究金融资产的定价，属于宏观经济学与金融学的交叉领域。12.1基本的资产定价公式站在第t期的角度，假设消费者的目标函数为，0E()nttnnucb¥+=éùêúëûå(12.1)消费者将每期的财富tw分配于消费tc与资产投资ta（比如，所买股票的市值），tttwca=+(12.2)记单位资产的价格为tp（比如，每股股票的价格），单位资产在下一期的回报为1tx+（payoff，比如下一期的资产价格加上红利），则资产的回报率为11tttRxp++º。为了简化，假设没有劳动收入，则财富的演变规律为，11tttwRa++=(12.3)消费者动态优化问题的贝尔曼方程为，{}1()max()E()ttttttavwuwavRab+éù=-+ëû(12.4)其中，财富w为状态变量，而“入市资金”a为控制变量。对a求导，可得一阶条件为，11()E()ttttucRvwb++éù¢¢=ëû(12.5)根据包络定理，()()ttvwuc¢¢=，滞后一期可得，11()()ttvwuc++¢¢=(12.6)将方程(12.6)代入(12.5)，即得到欧拉方程，11()E()ttttucRucb++éù¢¢=ëû(12.7)上式表明，将昀后一元钱用于当期消费的边际效用等于用于投资所能带来的下一期边际效用的期望值。将上式两边同除以()tuc¢可得，11()1E()ttttucRucb++éù¢êú=êú¢ëû(12.8)定义“随机贴现因子”（stochasticdiscountfactor）11()()tttucmucb++¢º¢，也被称为“定价核”（pricingkernel）。显然，站在第t期的角度，由于1tc+为未知的随机变量，故1tm+是个随机变量（故名“随机贴现因子”）。显然，如果1ttcc+=，则1tmb+=，就是一般的时间贴现率。如果1ttcc+，则11()()tttucmucbb++¢º¢，小于时间贴现率。使用随机贴现因子的定义，方程(12.8)可以写为，111Ettttxmp++éùêú=êúëû(12.9)其中，11tttRxp++º。将上式两边同乘以tp可得，11Ettttpmx++éù=ëû(12.10)©陈强，高级宏观经济学讲义，山东大学经济学院，2010年2这就是昀基本的资产定价公式，即当期资产的价格tp是下一期资产回报1tx+的贴现之期望值，而贴现率1tm+为随机贴现因子。12.2卢卡斯果树模型（LucasTreeModel）在Lucas(1978)年的果园经济模型中，共有N个相同的如上消费者与N棵相同的果树。在每个时期，每棵果树的产量（果实）都相等，记为td（相当于每只股票的利润）。随机序列{}td服从一个马尔可夫过程，即1td+的概率分布仅取决于上一期的td；而且0tdd。该果实是经济中唯一的消费品。由于这是一个没有实物投资的经济（不种植新的树），故所有产品必须在当期消费掉（假定消费品无法储存）。记第t期果树价格为tp（以果实为计算单位），而消费者在第t期期初所拥有的果树股份为ts。这样，消费者在第t期的财富为，()ttttwpds=+(12.11)而单位资产在下一期的回报为，111tttxpd+++=+(12.12)将(12.12)式代入基本资产定价公式(12.10)可得，1111111E()Ettttttttttpmpdmdmp+++++++éùéù=+=+ëûëû(12.13)从某种意义上，上式给出了股价的“递推公式”，即今天的股价取决于明天的股价，而明天的股价又取决于后天的股价，以此类推。将上式中的时间滞后一期可得，112222Ettttttpmdmp++++++éù=+ëû(12.14)将(12.14)式代入(12.13)式可得，11122122Ettttttttttpmdmmdmmp++++++++éù=++ëû(12.15)在上式的推导中，用到了“迭代期望定律”（lawofiteratedexpectation），即1EEEttt+=。继续将方程(12.15)中的2tp+写为3td+与3tp+的函数，1112212331233Etttttttttttttttpmdmmdmmmdmmmp+++++++++++++éù=+++ëû(12.16)不断地重复以上的过程，以至无穷，可得，111Elimnntttjtntjtnnjjnpmdmp¥++++¥===ìüæöæöïï÷÷ïïçç÷÷=+ççíý÷÷çç÷÷ïïççèøèøïïîþå(12.17)由于11()()tttucmucb++¢º¢，故12111()()()()()()()()nntttntntjjtttntucucucucmucucucucbbbb+++++=++-¢¢¢¢==¢¢¢¢(12.18)因此，(12.17)式可简化为，1()()Elim()()nntntntttntnnnttucucpdpucucbb¥++++¥=éù¢¢êú=+êú¢¢ëûå(12.19)假设股票价格没有泡沫，即“无泡沫条件”（no-bubblecondition）成立，()Elim0()ntnttnntucpucb++¥éù¢êú=êú¢ëû(12.20)©陈强，高级宏观经济学讲义，山东大学经济学院，2010年3无泡沫条件(12.20)意味着股票价格不可能以高于()1b的速度无限增长。因此，(12.17)式可简化为，1()E()ntntttnntucpducb¥++=éù¢êú=êú¢ëûå(12.21)这表明，当前资产价格是所有未来红利（果实）贴现的期望值。由于所有的消费者与所有的果树都是对称的，故市场出清条件要求，*ttcd=(12.22)*1ts=(12.23)(12.22)式表明，消费等于产出；而(12.23)式意味着，每人拥有一颗果树（共有N个人与N棵树）。因此，从方程(12.21)可得，1()E()ntntttnntudpdudb¥++=éù¢êú=êú¢ëûå(12.24)例：假设对数效用函数，即()ln()ucc=。由于()1ucc¢=，故(12.24)式进一步简化为，111EE1nnnttttnttttnnntndpdddddbbbbb¥¥¥+===+éùéùêúêú====êúêú-ëûëûååå(12.25)因此，当前的果树价格仅取决于当前的果实数量，与未来的果实数量无关。这个“反直觉”的结论是由于对数效用的特殊假定，在一般情况下并不成立。在此经济中，市盈率（市价-盈利比率，PriceEarningRatio）等于①，1ttpdbb=-(12.26)如果0.95b=，则市盈率应为0.951910.95-=。如果0.98b=，则市盈率应为0.984910.98=-。如果0.99b=，则市盈率应为0.999910.99=-。依此标准，目前沪深股市的股票是否高估或低估？问题是，经济学家目前还无法精确地估计b，而效用函数也未必是对数效用函数。历史上，美国S&P股指的市盈率平均值约为20，而昀高值不过45（发生于2000年IT泡沫时），参见图12.1。另一方面，而中国的市盈率平均水平约为50，昀高值达到134，明显高于美国，参见图12.2。是否中国的股票被高估了？或者中国的投资者非理性？我们需要认识到，中国经济的增长率高于美国，企业利润的成长速度也高于美国。如果考虑未来的红利，并以此计算“动态市盈率”（前面的市盈率概念被称为“静态市盈率”），则中国的股价未必不合理。然而，计算“动态市盈率”时，使用的是企业未实现的未来利润（可能永远也实现不了），可能过度乐观或包含泡沫。①在实际的经济中，分给股东的红利常常只是企业利润的一部分。但在此“果树经济”中，并不存在投资，故二者相等。©陈强，高级宏观经济学讲义，山东大学经济学院，2010年4图12.1、美国历史上的市盈率与长期利率走势数据来自RobertShiller的书“IrrationalExuberance”，~shiller/data/ie_data.xls图12.2、上证指数的市盈率（图中底部的白线）数据来自：大智慧软件©陈强，高级宏观经济学讲义，山东大学经济学院，2010年512.3有限状态空间在前面的卢卡斯果树模型中，果实td是一个连续随机变量。但在实际计算时，使用离散随机变量常常更方便。MehraandPrescott(1985)考虑了一个“有限状态空间”（finite-state）的模型。假设td是只能取n个不同值{}12,,,nsss的马尔可夫链，其转移概率为，{}1P0,,1,2,,tjtiijddijnss+===G=(12.27)其中，11nijj=G=å。矩阵()ijnn´=GΓ被称为“转移矩阵”（transitionmatrix），1112112nnnnnΓæöGGG÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷÷çGGGèø(12.28)假设tids=，则从基本资产定价公式(12.10)可得，1111111()E()()()()ntittttijtttjpuudpdudpdsbb++++++=éù¢¢¢=+=G+ëûå(12.29)其中，tticds==，而{}1Ptjtiijddss+===G。由于{}td为马尔可夫链，对未来红利的预期仅仅取决于当前的红利。因此，当期价格tp仅仅依赖于当期红利td，可以记价格函数为()tipps=。这样，上式可以写成，11()()()()()ijinniiijjjijjjjjvvpuupuassbssbss==¢¢¢=G+Gåå(12.30)定义1()niijjjjuabss=¢ºGå，()()iiivpuss¢º，则1niiijjjvvab==+Gå(12.31)由于方程(12.31)对任意1,2,,in=皆成立，可以将其写成矩阵形式，111nnnnnb´´´´=+vαΓv(12.32)其中，12()nvvv¢=v，12()naaa¢=α。移项后可得，()b-=IΓvα(12.33)其中，I为nn´单位矩阵。由于Γ是随机转移矩阵，故1()b--IΓ一定存在①，而且122()bbb--=+++IΓIΓΓ。故122()()vIΓαIΓΓαbbb-=-=+++(12.34)而v中的每一个元素可以写为，221()niijjjvIΓΓbba==+++å(12.35)根据定义，价格函数可以表示为，(),1,2,,()iiivpinuss==¢(12.36)将方程(12.35)代入(12.36)可得，①证明参见LjungqvistandSargent(2004),第403页。©陈强，高级宏观经济学讲义，山东大学经济学院，2010年6221()()()njiijjipuasbbs=éùêú=+++êú¢ëûåIΓΓ(12.37)12.4带增长的卢卡斯果树模型下面考虑一种更为现实的情形，即红利本身也会增长。记红利的增长率为11tttddl++º。假设tl服从转移矩阵为Γ的马尔可夫链，tl的可能取值为{}12,,,nlll。假设CRRA效用函数11()1cucqq--=-。根据基本资产定价方程(12.10)，果树价格tp满足，(){}111111E()E()ttttttttttpddpdpdqqbbl--++++++éù=+=+êúëû(12.38)其中，()11()()ttttudddudqbb-++¢=¢为随机贴现因子。在方程(12.38)两边同时除以当期红利，可得市盈率tw，11111111EE(1)ttttttttttttttpddpwwddddqqblbl--+++++++éùæö÷çêúéù÷º=+=+ç÷êúêúçëû÷çèøêúëû(12.39)假设当前的红利增长率为il，记iw为相应的当前市盈率，则将上式中的期望算子展开可得，11(1),1,2,