【新】2017-2018年九年级数学第3讲二次函数探究—二次函数与直角三角形的综合问题教案

小中高精品教案试卷制作不易推荐下载1二次函数与直角三角形的综合问题知识点二次函数综合；勾股定理；相似三角形的性质；教学目标1.熟练运用所学知识解决二次函数综合问题2．灵活运用数形结合思想教学重点巧妙运用数形结合思想解决综合问题；教学难点灵活运用技巧及方法解决综合问题；知识讲解考点1二次函数的基础知识1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数．2.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（－2ba，244acba）．对于y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（h，k），由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．考点2勾股定理及逆定理1.定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2=c2）2.勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边和另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题3.逆定理：如果三角形的三边长：a，b，c，则有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。4.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边为c。（2）验证c2和a2+b2是否具有相等的关系，若a2+b2=c2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形。考点3探究直角三角形的一般思路探究直角三角形的存在性问题时，具体方法如下：（1）先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论；（2）找点：当所给定长未说明是直角三角形的斜边还是直角边时，需分情况讨论，具体方法如下：小中高精品教案试卷制作不易推荐下载2①当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点作定长的垂线，与数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；②当定长为直角三角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所求点满足条件的数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；（3）计算：把图形中的点坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形的各个边（表示线段时，注意代数式的符号）。再利用相似三角形的性质得出比例式，或者利用勾股定理进行计算，或者利用三角函数建立方程求点坐标。小中高精品教案试卷制作不易推荐下载3例题精析例1如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．①当线段34PQAB时，求tan∠CED的值；②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．小中高精品教案试卷制作不易推荐下载4例2如图，直线434xy和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．小中高精品教案试卷制作不易推荐下载5例3如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，与AB边交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；②当S最大时，在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上若存在点F，使△FDQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F的坐标；若不存在，请说明理由．小中高精品教案试卷制作不易推荐下载6例4如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作y轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．小中高精品教案试卷制作不易推荐下载7课程小结有针对性的对勾股定理、相似三角形的性质及二次函数的基础知识进行复习，有助于为研究二次函数与直角三角形的综合问题提供有利的依据。在探究二次函数与直角三角形的综合问题时，抓住已有的信息及条件在函数图像中构造出直角三角形，并能运用直角三角形的性质解决问题，掌握此类问题的解题思路及技巧是解决问题的关键。例1【规范解答】（1）设抛物线的函数表达式为2(1)yxn，代入点C(0，－3)，得4n．所以抛物线的函数表达式为22(1)423yxxx．（2）由223(1)(3)yxxxx，知A(－1，0)，B(3，0)．设直线BC的函数表达式为ykxb，代入点B(3，0)和点C(0，－3)，得30,3.kbb解得1k，3b．所以直线BC的函数表达式为3yx．（3）①因为AB＝4，所以334PQAB．因为P、Q关于直线x＝1对称，所以点P的横坐标为12．于是得到点P的坐标为17,24，点F的坐标为70,4．所以75344FCOCOF，522ECFC．进而得到51322OEOCEC，点E的坐标为10,2．直线BC:3yx与抛物线的对称轴x＝1的交点D的坐标为（1，－2）．过点D作DH⊥y轴，垂足为H．小中高精品教案试卷制作不易推荐下载8在Rt△EDH中，DH＝1，13222EHOHOE，所以tan∠CED23DHEH．②1(12,2)P，265(1,)22P．【总结与反思】1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题．2．第（3）题的关键是求点E的坐标，反复用到数形结合，注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．3．根据C、D的坐标，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，这样写点E的坐标就简单了．例2【规范解答】（1）直线434xy与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）．Rt△BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5．点A的坐标是（-2，0），所以BA＝5．因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．（2）①如图2，图3，过点N作NH⊥AB，垂足为H．在Rt△BNH中，BN＝t，4sin5B，所以45NHt．如图2，当M在AO上时，OM＝2－t，此时211424(2)22555SOMNHtttt．此时0＜t≤2．如图3，当M在OB上时，OM＝t－2，此时211424(2)22555SOMNHtttt．此时2＜t≤5．图2图3②把S＝4代入22455Stt，得224455tt．解得1211t，2211t（舍去负值）．因此，当点M在线段OB上运动时，存在S＝4的情形，此时211t．小中高精品教案试卷制作不易推荐下载9③如图4，当∠OMN＝90°时，在Rt△BNM中，BN＝t，BM5t，3cos5B，所以535tt．解得258t．如图5，当∠MON＝90°时，N与C重合，5t．不存在∠ONM＝90°的可能．所以，当258t或者5t时，△MON为直角三角形．图4图5【总结与反思】1．第（1）题说明△ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点．2．不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含t的式子表示OM要分类讨论．3．将S＝4代入对应的函数解析式，解关于t的方程．4．分类讨论△MON为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．例3【规范解答】（1）将A、C两点坐标代入抛物线249yxbxcc＝8，436609bc，解得b＝43，c＝8，∴抛物线的解析式为244893yxx（2）①∵OA=8，OC=6∴2210ACOAOC过点Q作QE⊥BC与E点，则3sin5QEABACBQCAC∴3105QEm∴3105QEm∴221133315103522510102SCPQEmmmmm∴当m=5时，S取最大值；②在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，∵抛物线的解析式为244893yxx的对称轴为32x，D的坐标为（3，8），Q（3，4），当∠FDQ=90°时，F1（32，8），当∠FQD=90°时，则F2（32，4），小中高精品教案试卷制作不易推荐下载10当∠DFQ=90°时，设F（32，n），则FD2+FQ2=DQ2，即2299841644nn，解得：762n，∴F3（32，762），F4（32，762），满足条件的点F共有四个，坐标分别为F1（32，8），F2（32，4），F3（32，762），F4（32，762）．【总结与反思】1.将A、C两点坐标代入抛物线244893yxx即可求得抛物线的解析式；2.①先用m表示出QE的长度，进而求出三角形的面积S关于m的函数，化简为顶点式，便可求出S的最大值；②直接写出满足条件的F点的坐标即可，注意不要漏写．例4【规范解答】解：（1）由A（4，0），可知OA=4，∵OA=OC=4OB，∴OA=OC=4，OB=1，∴C（0，4），B（﹣1，0）．设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，则，解得：，则抛物线的解析式是：y=﹣x2+3x+4；（2）存在．第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1．过点P1作y轴的垂线，垂足是M．∵∠ACP1=90°，∴∠MCP1+∠ACO=90°．∵∠ACO+∠OAC=90°，∴∠MCP1=∠OAC．∵OA=OC，∴∠MCP1=∠OAC=45°，∴∠MCP1=∠MP1C，∴MC=MP1，设P（m，﹣m2+3m+4），则m=﹣m2+3m+4﹣4，解得：m1=0（舍去），m2=2．∴﹣m2+3m+4=6，即P（2，6）．第二种情况，当点A为直角顶点时，过A作AP2，AC交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F．∴P2N∥x轴，由∠CAO=45°，∴∠OAP=45°，∴∠FP2N=45°，AO=OF．∴P2N=NF，设P2（n，﹣n2+3n+4），则n=（﹣n2+3n+4）﹣1，解得：n1=﹣2，n2=4（舍去），∴﹣n2+3n+4=﹣6，则P2的坐标是（﹣2，﹣6）．综上所述，P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）；小中高精品教案试卷制作不易推荐下载11（3）连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．由（1）可知，在