一级倒立摆状态反馈控制系统设计

-51-国际IT传媒品牌一级倒立摆状态反馈控制系统设计胡文奎（河海大学能源与电气学院，南京211100）摘要：倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题。对一级直线型倒立摆，首先运用牛顿运动定律建立倒立摆系统的运动方程，进而求出系统的状态空间表达式，建立数学模型。其次运用状态反馈极点配置法，以小车的位移、速度，摆杆与竖直向上的偏角、摆角变化速度作为四个状态变量，由给定的控制要求求出状态反馈增益矩阵，将极点配置在控制要求的位置。另外考虑到系统的某些状态如小车速度和摆杆角速度不容易直接测量等，本文分别基于小车和摆杆子系统设计了两个全维观测器，分别对状态量进行了重构并给出了仿真结果分析。关键词：倒立摆；状态反馈；极点配置；状态观测器中图分类号：TP13文献标识码：Adoi:10.3969/j.issn.1003-6970.2010.12.012Designoffirst-orderinvertedpendulumstatefeedbackcontrolsystemHUWenkui(CollegeofEnergyandElectricalEngineering,HoHaiUniversity,NanJing211100)Abstract:Invertedpendulumcontrolsystemisacomplex,unstable,nonlinearsystem,thestudyofinvertedpendulumsystemcaneffectivelyreflectmanytypicalcontrolquestions.Forafirst-orderlinearinvertedpendulum,firstuseNewton'slawstosetupinvertedpendulummotionequations,thencalculatethesystem'sstatespaceexpression,getthemathematicalmodel.Supposethecartdisplacement,velocity,thependulumangleandtheanglevelocityasthefourstatevariables,accordingtothecontrolrequirements,useofstatefeedbackpoleassignmentmethodwecangetthestatefeedbackgainmatrix,thenwecandeploythepolesintherightpositions.Inaddition,takingintoaccountsomeofthestatesofthesystemlikethependulumanglevelocityarenoteasytodirectmeasurement,thispaper,basedonthesubsystemofthevehicleandthependulum,designtwofull-orderobserverstoreconstructionthestatesandgivetheanalysisofthesimulationresults.Keywords:invertedpendulum;statefeedback;poledeploy;stateobserver1.引言倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。2.倒立摆建模2.1系统模型的建立设l为摆杆转动轴心到杆质心的长度；x为小车位置；为摆杆与竖直向上方向的夹角。对被控对象进行受力分析，建立物理方程，化简可得：设0.25lm=；29.8mgs=，将其带入上式得：设，ux′′′=；则有：软件2010年第31卷第12期：51～54页-52-3.控制器的设计与仿真分析3.1状态反馈及极点配置3.1.1系统能控性能观性分析由倒立摆系统的状态空间表达式和能控性判别阵的秩得：23[]4crankQrankBABABABn===故被控系统状态完全能控，可通过状态反馈任意配置闭环系统极点。由能观性判别阵的秩:23[]4orankQrankCCACACAn′===故被控系统状态完全能观，即可构建状态观测器对其状态给出估值。3.1.2系统极点配置根据系统的要求，若超调量不超过17%，根据公式：2exp()17%1pMπζ=−≤−ζ计算可得0.5ζ=，设调整时间为2sts=，根据公式：振幅进入2%±的误差范围时，4snt=ζω则计算可得，4nω=；由ζ，nω可得闭环系统特征方程为：2220nnss+ζω+ω=即：24160ss++=计算可得系统主导极点：1223jµ=−+，1223jµ=−−；则取2个期望的闭环非主导极点离虚轴为主导极点的五倍以上，则取：310µ=−，410µ=−因此可得期望的闭环特征多项式为：*12342432()()()()()(10)(223)(223)241967201600psssssssjsjssss=−µ−µ−µ−µ=++−++=++++对被控系统0(,,)ABC∑,引入1234[]Kkkkk=状态反馈后的闭环系统(,,)FABKBC−∑特征多项式为：432241321()det[()](3)(29.43)29.429.4FpssIABKskkskksksk=−−=+++−++−−令*()()Fpsps=，比较同次幂项系数可以得到如下联立方程：24132132429.4319629.472029.41600kkkkkk+=⎧⎪−++=⎪⎨−=⎪⎪−=⎩解方程组得：154.4218k=−；224.4898k=−；393.2739k=；416.1633k=；故可得反馈增益矩阵为：[54.421824.489893.273916.1633]k=−−。3.1.3Simulink仿真分析根据系统的状态空间表达式，我们可以在simulink环境下搭建如下系统模型：图2.1系统仿真图Fig.2.1Simulationdiagram通过仿真，可得到小车位置仿真结果如下：软件2010年第31卷第12期-53-图2.2仿真结果Fig.2.2Simulationresults从仿真结果可以看出，小车昀终稳定在“1”的位置，小车速度，摆杆角度、角速度昀终都稳定在“0”位置，小车位置超调不大，调整时间为2s，均符合控制要求。3.2采用状态观测器的状态反馈系统设计3.2.1闭环观测器极点配置观测器期望极点的选择从工程实际出发，兼顾快速性、抗干扰性等折中考虑，通常选择观测器的响应速度比所考虑的状态反馈闭环系统快2～5倍。对于前面已经给出的被控系统0(,,)ABC∑，我们可以分为两个子系统来考虑，即：010001(21)[10]xxuxxxyx′⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥′′′⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦−⎨⎡⎤⎪=⎢⎥⎪′⎣⎦⎩由能观性判别阵oCrankQrankCA⎡⎤=⎢⎥⎣⎦;可以求得两个子系统都可观。我们来求状态观测器增益矩阵。由于闭环主导极点为：1223jµ=−+，1223jµ=−−；基于通常选择观测器的相应速度比所考虑的状态反馈闭环系统快2～5倍这一经验规则，这里我们取观测器期望极点为：122*36λ=λ=−=−；因此可得闭环状态观测器系统矩阵的期望特征多项式为：*2212()()()(6)1236pssssss=−λ−λ=+=++对（2-1）所示被控子系统0(,,)ABC∑则引入观测器偏差反馈增益矩阵12gGg⎡⎤=⎢⎥⎣⎦后，观测器系统矩阵AGC−的特征多项式为：01212122()det[()]01det0001pssIAGCgssgsgsgsggs=−−⎧⎫00⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪=−+⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥0⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭+−==++令*0()()psps=，即22121236sssgsg++=++，比较等式两边同次幂项系数，可以得到，112g=；236g=。对（2-2）所示被控子系统0(,,)ABC∑则引入观测器偏差反馈增益矩阵34gGg⎡⎤=⎢⎥⎣⎦后，观测器系统矩阵AGC−的特征多项式为：03432344()det[()]01det00129.4pssIAGCgssgsgsgsggs′=−−⎧⎫00⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪=−+⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥029.4⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭+−==++−−29.4令*0()()psps′=，即2234123629.4sssgsg++=++−，比较等式两边同次幂项系数，可以得到，312g=；465.4g=。3.2.2Simulink环境下仿真有了观测器偏差反馈增益矩阵，我们可以在simulink环境下搭建仿真模型如下图2.3所示。图2.3带有观测器的系统仿真图Fig.2.3Simulationdiagramwithstateobserver胡文奎：一级倒立摆状态反馈控制系统设计-54-对于仿真模型，我们来看当输入为固定值“1”时系统仿真结果。如下图2.4所示。图2.4仿真结果Fig.2.4Simulationresults在仿真图中，上面的曲线为小车位置曲线，下面的曲线为摆杆角度曲线。从仿真结果来看，系统昀终稳定下来，摆杆角度昀终为零，即摆杆保持竖直向上不倒，小车昀终到达指定位置“1”，系统调节时间不超过2s，小车位置几乎无超调，角度调节也很快，完全可以达到系统控制要求。与没有加观测器的系统仿真结果相比，系统的超调量减小，调节时间变短，相比之下，控制效果更为理想。2.3小结在基于状态完全能观的基础上我们设计了状态反馈控制器，并在MATLAB环境下对控制系统进行仿真分析。结果表明，状态反馈控制能很好的使摆杆保持竖直向上不倒，同时对小车的位置进行控制，且调整时间不超过2s。另外，本节对倒立摆系统进行了状态重构，加入了状态观测器，并且对其进行了仿真。4.总结目前，一阶倒立摆控制系统的设计可由多种方法和理论来实现其系统的稳定控制，如自适应，状态反馈，模糊控制和智能控制等。本文采用了状态反馈极点配置法，并且加入了观测器的设计仿真。由仿真结果可知，加不加观测器都可以很好的控制摆杆不倒，完全可以达到控制要求。但是加观测器的系统控制效果要优于没有加观测器的系统。参考文献[1]王宏华.现代控制理论.北京：电子工业出版社，2006[2]谢克明.自动控制原理.北京：电子工业出版社，2004[3]胡寿松.自动控制原理（第4版）.北京：科学出版社，2001[4]于子淞.单级倒立摆建模及其控制方法设计.电脑知识与技术，2008,(4),(8)[5]CHENWJ,FANGL,LEIKK.FuzzyLogicControllerforanInvertedPendulumSystem[C].IEEEInternationalConferenceonIntelligentProcessingSystems,1997,12:1852189.[6]深圳固高公司.直线倒立摆系统GLIP系列[D],倒立摆与自动控制原理实验指导书.2005作者简介：胡文奎（1985），男，硕士在读，专业：控制理论与控制工程。软件2010年第31卷第12期2011年Web信息系统与Web挖掘国际会议2011年人工智能与计算智能国际会议2011年9月24-25日,中国，太原挖掘国际会议(WISM11)和2011年人工智能与计算智能国际会议(AICI11)将于2011年9月24-25日在中国太原市联合举行，会议由太原理工大学承办。WISM11-AICI11旨在为Web信息系统、Web