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学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！联系电话：62164116学而思奥数网正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题．通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题．1．如图6-1，每一个小方格的面积都是l平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米?【分析与解】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L2-1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：（4+72-1)×1=6.5(平方厘米)方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1.5，②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为1.5+l+1+1+1+1+3=9.5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9.5=6.5平方厘米．学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！联系电话：62164116学而思奥数网．如图6-2，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米?【分析与解】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．方法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为lO+2+1+4+3=20(平方厘米)．3.如果图6-3是常见的一副七巧板的图，图6-4是用这副七巧板的7块板拼成的小房子图，那么，第2块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第4块板与第7块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几?学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！联系电话：62164116学而思奥数网【分析与解】如下图，我们在图6-3中标出图6-4中各块图形的位置．设整个七巧板组成的正方形的边长为1，显然整幅图形的面积为1，且有第2块的面积为12×12×12=18．有3S=4S，2S=5S=7S=23S，有2、3、4、5、7五块图形的面积之和为12，所以4S=IGFBS长方形，7S=18．所以第2块板的面积等于整幅图面积的18，第4块板与第7块板面积和为整幅图面积的116+18=316．4．把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得到一个六角形．再将这个六角形的各个“角”(即小正三角形)的两边三等分，又以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到图6-5所示的图形．如果这个图形面积是1，那么原来的正三角形面积是多少?【分析与解】方法一：如右图，我们将图6-5分成若干个大小、形状完全相同的小正三角形，由40块小正三角形组成图6-5，而由27块小正三角形组成了图中最大的正三角形．120块小正三角形的面积为1，所以每块为1120，那么原来的正三角形由81块小正三学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！联系电话：62164116学而思奥数网角形组成，其面积显然为2740．方法二：如下图，我们把图6-5中的三角形分成A、B、C三种，设A形正三角形面积为“1”，则B、C两种正三角形的面积依次为“19”、“181”．在图6-5中，A种、B种、C种正三角形的个数依次为1，3，12，所以图6-5中图形的面积为1+3×19+12×181=4027．所以有“1”对应2740，而原来的正三角形即为三角形A，所以原来的正三角形的面积为2740.5．如图6-6，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?【分析与解】如下图，我们将图6-6分成大小、形状相同的三角形，有正六边形ABCDEF包含有24个小正三角形，而阴影部分MNP包含有9个小正三角形．学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！联系电话：62164116学而思奥数网，所以每个小正三角形的面积为6÷24=14，所以三角形MNP的面积为9×14=2.25(平方厘米)．6．把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分，适当连接这些分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图6-7中阴影部分的面积是294平方分米，那么图6-8中的阴影部分的面积是多少平方分米?【分析与解】在图6-7中，原正三角形被分成25个小正三角形，而阴影部分含有12个小正三角形，所以每个小正三角形的面积为294÷12=24.5，所以原正三角形的面积为24.5×25=612.5(平方分米)．而在图6-8中，原正三角形被分成49块，而阴影部分含有16块，所以阴影部分的面积为612.5÷49×16=200(平方分米)．7．图6-9是5×5的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求选出的点中任意3点都不在同一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么所围图形的面积是多少平方厘米?【分析与解】我们知道满足题意的7个点可以组成一个七边形，适当的切去正方形的一个角可以得到一个五边形，切出2个角可以得到一个六边形，切去3个角可以得到七边形.为了使最后留下的七边形的面积尽可能大，那么切去的3个角面积应尽可能的小．学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！联系电话：62164116学而思奥数网如下切法得到的七边形的面积最大，为25-3×0.5=23.5(平方厘米)．8.在图6-10中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】方法一：如图(a)，将原题中图形分为12个完全一样的小等腰三角形．△ABC占有9个小等腰三角形，其中阴影部分占有6个小等腰三角形，SABC=9×9÷2=40.5(平方厘米)，所以阴影部分的面积为40.5÷9×6=27(平方厘米)．方法二：如图(b)，连接IG，有四边形ADGI为正方形，易知FG=FC=3(厘米)，所以DG=DF-FG=9-3=6(厘米)，于是SHIG=14×AIGDS正方形=14×26=9.而四边形IGFB为长方形，有BF=AD=DG=6(厘米)，GF=3(厘米)，所以IGFBS长方形=6×3=18．阴影部分面积为AHIG与长方形IGFB的面积和，即为9+18=27(平方厘米)．方法三：如图(C)，为了方便叙述，将图6-10中某些交点标上字母．易知三角形BIE、CGF、AIH、DGH均为等腰直角三角形．先求出等腰直角三角形AHI、CGF的面积，再用已知的等腰三角形ABC的面积与其作差，即为需求阴影部分的面积．有SABC=DEFS=12×EF×DF=812，CGFS=12×CF×FG=92．因为CF=FG=3，所以DG=DF-FG=6．学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！联系电话：62164116学而思奥数网如图(d)，可以将4个三角形DGH拼成一个边长为DG的正方形．所以，ACDSDGHS=14×DG×DG=9，而AIHS=DGHS=9，所以BFGHIS阴影=SABC-CGFS-AIHS=812-92-9=27(平方厘米)．即阴影部分的面积为27平方厘米．9．如图6-11，在长方形ABCD中，O是长方形的中心，BC长20厘米，AB长12厘米，DE=4AE，CF=3DF，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】我们只用先求出四边形ADFO的面积，再将其减去两个三角形AEO、EFD的面积和，即为所求阴影部分的面积．而四边形ADFO的面积等于两个三角形AOD、ODF的面积和．由题意知AE=4，ED=16，DF=3，FC=9．有AODS=14ABCDS矩形=14×20×12=60，ODFS=12×DF×(14AD)=12×3×12×20=15．AEOS=12×AE×(12AB)=12×4×12×12=12，EFDS=12×ED×DF=12×16×3=24．有S阴影=(AODS+ODFS)-AEOS-EFDS=60+15-12-24=39(平方厘米)．学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！联系电话：62164116学而思奥数网平方厘米．10．如图6-12，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?【分析与解】如下图，我们将大正方形中的所有图形分成A、B两种三角形．其中含有A形三角形8个，B形三角形16个，其中阴影部分含有A形三角形4个，B形三角形8个．所以，阴影部分面积恰好为大正方形面积的12，即为12×10×10=50(平方厘米)．11．如图6-13，ABCD是边长为8厘米的正方形，梯形AEBD的对角线相交于0，三角形AOE的面积比三角形BOD的面积小16平方厘米，则梯形AEBD的面积是多少平方厘米?【分析与解】如下图，将梯形AEBD内4个三角形的面积分别记为①、②、③、④．在梯形AEBD中，有△EBD、△ABD同底等高，所以有EBDS=ABDS，即③+②=①+②．显然有①=③．由题意知BODS-AOES=16，即②-④=16，于是有(①+②)-(③+④)=16．已知①学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！联系电话：62164116学而思奥数网②=ABDS=12×8×8=32，所以③+④=(①+②)-16=16．所以有AEBDS梯形=(①+②)+(③+④)=32+16=48(平方厘米)．评注：在任意梯形ABCD中，两条对角线将其分成四个部分，记它们的面积为“上”、“下”、“左”、“右”，有：左=右；左×右=上×下；上：下=A2D：B2C．12．如图6-14，ABCD是长方形，长AD等于7.2厘米，宽AB等于5厘米，CDEF是平行四边形．如果BH的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】CDEFS平行四边形=DC×BC=5×7.2=36，HC=BC-BH=7.2-3=4.2，所以CDHS=12×CD×HC=12×5×4.2=10.5．S阴影=CDEFS平行四边形-CDHS=36-10.5=25.5(平方厘米).13．如图6-15，已知一个四边形的两条边的长度和三个角，那么这个四边形的面积是多少?学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！联系电话：62164116学而思奥数网【分析与解】将AD、BC延长交于E，有∠EDC=45°，∠ECD=90°，所以△CDE为等腰直角三角形，有EC=DC．而∠ECD=45°，∠EA