空气中声音传播方程的推导

空气中声音传播方程的推导数学与应用数学2011级作者：王锴丰，王保山，王冬羽1.问题提出：由物理性质可知声音的本质是介质的机械震动，由波动方程与震动现象的联系，物理属性的时空分布可以由波动方程导出，弦的波动方程也是声音发生的一种情况之一，现讨论声音在空气中的传播，由声学基础可知声场的的物理特征可由密度tzyx,,,，压强tzyxP,,,，速度tzyxv,,,刻画，根据模型所满足的基本假设和遵循的物理规律，从而导出声波方程，并求解出普通声源产生声波在均匀空间中的传播的状态方程。2.理想假设：1.空气在压强为101.325kPa、温度为20℃的条件下，空气动力粘度和运动粘度为：空气sPa6-，smv26108.14可以近似为理想流体，所谓理想流体介质，就是介质在运动过程中没有能量的损耗，即介质是无粘的不考虑切向力。2.还必须假设介质是连续、静态和均匀的流体因此媒质中质点速度v为零，静态压强0P，静态密度都是常数。3.由理想气体的状态方程nRTPV温度变化会影响压强，未排除这种干扰，将声音在空气中传播的过程视为等熵绝热过程，介质之间不会产生热交换。4.讨论的都是小振幅声波即各类声学变量都是一级微量，（4）媒质中传播的是小振幅声波，各声学参量都是一级微量，声压p甚小于媒质中静态压强0P；质点速度v甚小于声速c；质点位移甚小于声波波长；媒质密度增量甚小于静态密度；或密度的相对增量0tPS小于1。5.声源相对于传播空间来说很小，可视为一个半径非常小的球体，故由对称性声音在空间中的各点的特征（声压，质点速度，以及密度）相对于声源来说球对称，.只与半径r有关。3.模型建立即方程推导理想介质中声波传播的基本规律可以通过三个方程表示，即：连续性方程、运动方程和状态方程。下面给出所用到的物理参数，ctvPpP，声速：时间：质点速度：气体密度：总压强：变化声压：静态压强：,,,,0连续性方程：声场中任意一点zyxB,,，以B点为中心选取一边长分别为dzdydx、、的体积元，则体积元的体积为dxdydzdV。假设某一瞬时，介质质点流过B点的速度向量为tzyxv,,,，B点的密度为tzyx,,,，则单位时间内从zyx、、各方向流入体积元的质量为，dxdydzzvyvxvdmzyx(1.1)式中zyxvvv、、为B点的速度向量tzyxv,,,在三个坐标轴上的投影。流入体积元的质量必然引起体积元内密度的增加，单位时间内体积元内介质密度的增量为t，则，dxdydztdm(1.2)根据质量守恒定律，得到，zvyvxvtzyx(1.3)即为：0tv(1)状态方程：在声波作用下介质的状态发生了变化。由假设2，根据热力学关系，一定质量的气体介质的压强是密度和熵的函数，即sfP,，这里s表示熵。由于压力和密度变化很小，因此由泰勒级数展开得到，高阶小量dfPPps00(2.1)式中下标0s代表等熵绝热过程。系数20cfs，c就是气体介质中小振幅声波的传播速度，故理想介质的状态方程为，dcdp2(2)运动方程:假设微小质团中心坐标为zyxB,,，体积为dxdydzdV，介质原处于静止状态0v，当声波通过时，由假设一，不考虑切向力，只考虑压力，质团在各个方向上的受力都不均衡，假设压力分布为tzyxP,,,，则作用在2dxx和2dxx面上的总压力分别为，dydzdxxPdydzPdydzPzyxxdxx2,,2(3.1)dydzdxxPdydzPdydzPzyxxdxx2,,2(3.2)因而沿x轴正方向的合力为，dxdydzxPdFzyxx,,(3.3）同样可以得到质团沿y轴和z轴正方向的合力，介质受到的总的合力为，dVzyxPF,,(3.4)由于静压强0P为常数，因此压强的微小变化也就是声压的微小变化，即pP，所以上式可以改写为，dVpF(3.5)根据牛顿运动定律，得到，dtvddVF(3.6)由以上两式可以得到欧拉方程，pdtvd(3.7)式中dtvd，0是质点B的加速度，它包括本地加速度和迁移加速度两部分，vvtvdtvd(3.8)由假设4振动速度远小于声传播的速度，所以vv项可以忽略，结合以上两式，得到小振幅声场中的运动方程为，ptv0(3)最后，将（1）式对t求偏导，再用（2）（3）式中的变量替换就可以获得理想流体介质中小振幅波传播的声波方程如下，22221tpcpp（4）通过以上推导终于得出声压满足波动方程，这是该问题的核心。4.定解条件提出由假设5相对于较大的空间，声波以球面波形式传播时，可看作半径非常小的球体，半径为rr0，声源，声压p只与球面坐标r有关，而与角度无关，因此球面波的波动方程可以简化为，2222212tpcrprrp(4.1)初始条件为：),,(0,,,,,,0,,,'zyxzyxpzyxzyxp）（）（，其中02220),,(),,(rrzyxzyxzyx当时其中在即问题为柯西问题求解5.问题求解由三维问题的柯西问题的解法用到球平均法，这里不多赘述，用泊松公式可以得到原问题的解：),,,(),,,(),,,(tzyxtMctzyxtMttzyxp（5）其中MctMctSSdStcctzyxMdStcctzyxM222241),,,(41),,,(故压强场为：0),,,(PtzyxpP（6）由公式（2）可知密度场为：2cP（7）由牛顿运动定理可知质点振动速度场为：tPdtzyxv01),,,(（8）6.结论：本小组通过流体力学知识，推导证明出了声波在空气中传播满足波动方程，并且对声波在空间中一点扩散模型的解析解进行了求解，在求解过程中由数学物理方程可知，三维问题的柯西问题，用到泊松积分公式，求出了空间中的压强场，密度场，与速度场。参考文献：《数学物理方程》，谷超豪，李大潜，陈恕行，郑宋穆，谭永基（高等教育出版社)2002.7《大学物理学》（上），赵近芳，颜晓红（北京邮电大学出版社）2008.6《声学基础》第三版，杜功焕，朱哲民，龚秀芬（南京大学出版社）2012.5