1.2独立性检验的基本思想及其初步应用

独立性检验的基本思想及其初步应用分类变量:变量的不同”值”表示个体所属的不同类别.如:性别,是否吸烟,宗教信仰,国籍等在日常生活中,我们常常关心两个分类变量之间是否具有关系.例如,吸烟是否与患肺癌有关系?性别是否对于喜欢数学课程有影响?等等为调查吸烟是否对患肺癌有影响,某肿瘤研究所随机地调查了9965人,得到如下结果(单位:人)吸烟与患肺癌列联表不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计9874919965列联表:列出两个分类变量的频数表那么吸烟是否对患肺癌有影响?粗略估计:在不吸烟者中,有0.54%患有肺癌;在吸烟者中,有2.28%患有肺癌.因此,直观上得到结论:吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异不患肺癌患肺癌不吸烟吸烟010002000300040005000600070008000三维柱形图二维条形图0100020003000400050006000700080009000不吸烟吸烟患肺癌不患肺癌等高条形图0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%100%不吸烟吸烟患肺癌不患肺癌上面我们通过分析数据和图形,得到的直观印象是吸烟和患肺癌有关,那么事实是否真的如此呢?能够以多大的把握认为”吸烟与患肺癌有关”,假设H0:吸烟与患肺癌没有关系,看看能推出什么结论把前表中的数字用字母代替,得到如下用字母表示的列联表:不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+d不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+d如果”吸烟与患肺癌没有关系”,则在吸烟者中不患肺癌的比例应该与不吸烟者中相应的比例差不多,即0acacdcabadbcabcd因此|ad-bc|越小,说明吸烟与患肺癌之间关系越弱;|ad-bc|越大,说明吸烟与患肺癌之间关系越强;为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准,基于上述分析,我们构造一个随机变量:22nadbcKabcdacbdnabcd其中为样本容量20,,.HK若成立即吸烟与患肺癌没有关系则应该很小不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计9874919965利用公式计算得K2的观测值为:2996577754942209956.63278172148987491k这个值是不是很大呢?在H0成立的情况下,统计学家估算出如下的概率:26.6350.01PK即在H0成立的情况下,K2的值大于6.635的概率非常小,近似于0.01.也就是说,在H0成立的情况下对随机变量K2进行多次观测,观测值超过6.635的频率约为0.01206.635,,?KH如果就判定不成立这种判断出错的可能性有多大只有1%,因此我们有99%的把握认为H0不成立,即有99%的把握认为”吸烟与患肺癌有关系”上面这种利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为”两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验独立性检验的基本思想类似于数学上的反证法.要确认”两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度,首先假设该结论不成立,即假设结论”两个分类变量没有关系”成立.在该假设下我们构造的随机变量K2应该很小,如果由观测数据计算得到的K2的观测值k很大,则在一定程度上说明假设不合理.0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282()PKkk(1)10.828,99.9%kXY如果就有的把握认为与有关系(2)7.879,99.5%kXY如果就有的把握认为与有关系(3)6.635,99%kXY如果就有的把握认为与有关系(4)5.024,97.5%kXY如果就有的把握认为与有关系(5)3.841,95%kXY如果就有的把握认为与有关系(6)2.706,90%kXY如果就有的把握认为与有关系(7)2.706,kXY如果就认为没有充分的证据显示与有关系例.为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生,得到如下列联表:性别与喜欢数学课程列联表:喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男3785122女35143178总计72228300由表中数字计算K2的观测值,在多大程度上可以认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系?为什么?有95%的把握认为”性别与是否喜欢数学课程之间有关系”k≈4.5131212,,{,}{,},(22):XYxxyy一般地假设有两个分类变量和它们的值域分别为和其样本频数列联表称为列联表为总计aba+bcdc+d总计a+cb+da+b+c+d1x2x1y2y若要推断的结论为H1:”X与Y有关系”,可如下操作:1.通过三维柱形图和二维条形图,可以粗略地判断两个变量是否有关系,但是这种判断不精确.总计aba+bcdc+d总计a+cb+da+b+c+d1x2x1y2y不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+d不患肺癌患肺癌不吸烟吸烟010002000300040005000600070008000abcd主对角线副对角线(1)在三维柱形图中,主对角线上两个柱形高度的乘积ad与副对角线上两个柱形高度的乘积bc相差越大,H1成立的可能性就越大总计aba+bcdc+d总计a+cb+da+b+c+d不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+d1x2x1y2y0100020003000400050006000700080009000不吸烟吸烟患肺癌不患肺癌abcd11XxYyaab满足条件的个体中具有的个体所占的比例为21XxYyccd满足条件的个体中具有的个体所占的比例为(2)在二维条形图中,两个比例的值相差越大,H1成立的可能性就越大2.利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系,并且能较精确地给出这种判断的可靠程度.具体做法是:根据观测数据计算由22nadbcKabcdacbdnabcd其中为样本容量给出的随机变量K2的值k,其值越大,说明”X与Y有关系”成立的可能性越大.当得到的观测数据a,b,c,d都不小于5时,可以通过查表来断言”X与Y有关系”的可信程度例1.在某医院,因为患心脏病而住院的665名男性病人中,有214人秃顶;而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有174人秃顶.分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系?你所得的结论在什么范围内有效?解:根据题目所得数据得到列联表:患心脏病患其他病总计秃顶214175389不秃顶4515971048总计6657721437秃顶与患心脏病列联表相应的三维柱形图如下:秃顶不秃顶患心脏病患其他病0100200300400500600患心脏病患其他病比较来说,副对角线上两个柱体高度的乘积要大一些,因此可以在某种程度上认为”秃顶与患心脏病有关”患心脏病患其他病总计秃顶214175389不秃顶4515971048总计665772143722nadbcKabcdacbdnabcd其中为样本容量22,143721459717545116.3736.6353891048665772Kk根据列联表中的数据得的观测值为所以有99%的把握认为”秃顶与患心脏病有关”例2.在研究某种新药对小白兔的防治效果时,得到下表数据:存活数死亡数总计未用新药10138139用新药12920149总计23058288试分析新药对防治小白兔是否有效?228810120381298.6587.87913914923058k99.5%的把握判定新药对防治小白兔是有效的.谢谢