数学建模论文-管道铺设问题

乐山师范学院2010年度数学建模竞赛承诺书我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。参赛队员(签名)：队员1：队员2：队员3：乐山师范学院第七届大学生数学建模竞赛2010年5月14日－5月18日参赛试题AB√CD（在所选题目上打勾）参赛编号（竞赛组委会填写）参赛队员1参赛队员2参赛队员3姓名叶淦何晓凤电话1529801138315298030314系别物电系物电系专业物理学物理学年级09级09级乐山师范学院教务处、学生处、团委数信学院数学建模竞赛组委会铺设管线问题摘要对于修建管线的最佳路线问题，本文首先全面分析题目中所给的信息和数据，我们注意到在不同的地质带造价是各不相同的，题中又给定假设模型——各地质带相互平行且同一地质带中宽度相同。从题中我们知道岩石中的造价是最高的，而泥土中的造价最低。本文通过建立造价与路线的关系，通过数据迭代的方法，在条件限制的基础上寻找最优解。在问题一中建立的模型，有如下结果：xix1x2x3x4x5分段长度（千米）16.787695.1117305.4561348.40701713.98974总费用（万元）748.6244在问题二建立的模型中，有如下结果：xix1x2x3x4x5分段长度（千米）15.652315.9162335.6348598.87434913.04358总费用（万元）750.6084在问题三建立的模型中有如下结果：xix1x2x3x4x5x6分段长度（千米）22.091805.2149015.4886274.3346823.8482509.088740总费用（万元）752.6432由此可以看出，在不同的约束条件下有其不同的最优解。关键词：地质差异造价最低优化方案一问题的提出我们知道一项工程的完成有很多种不同的方法，而在这许许多多的方法中我们常常要找出最好的才能算是最完美地完成工程，因为不同方法的使用直接关系到资源的有效利用问题，一定的资源如何有效地利用使它“尽其才”是我们要解决的。铺管线工程中，除了考虑地势，我们最主要要考虑的是地质。我们知道地质的坚硬程度直接影响到人力资源的耗费，在岩石中铺管线和在沙土中铺管线是截然不同的，显然前者要比后者困难多了，因此才会有相差很大的造价，出于利益考虑，我们要选择最佳的铺设线路才能使得造价最低。而这条路径该如何寻找呢？是否就仅仅是两点之间的连线呢,或者只要满足了造价最高的那条路段最短就是我们所要寻求的路径呢？在没有充分的理由的情况下，我们是不能够给出答案的。二问题分析铺路问题是在全面考虑环境因素之后给出的优化配置方案，目的在于最大节约成本，而在地质是影响造价的主要因素。在本题中主要考虑地质所带来的影响，由于地质的不同，在其中修相同长度管线也会有不同的造价，因此导致了在不同路段需要修一定长度的地下管线才能够使得资源的使用达到最优化，题中给出了不同结构路段的各自长度及在其中相应的造价，因此必定存在某一特定的路线才会使造价最低。题中有三小问，在第一问中只要考虑最佳的节约成本的路线，而无其他要求。我们不难想到虽然铺路的线路很可能不是直线，但是在各个路段中修的线路必定是直的，因为任意两点直线最短，所以只要考虑线路在不同地质中的拐点。题中给出了不同的造价，故只要设定不同路段的值就可以列出表达式，在根据题中的约束条件就可以借助软件计算。在第二问中，多出了一个拐角，要求大于等于160度，既然各线路都已假设定了，再与已知条件路宽结合，利用余弦定理算出角度，就可以构成约束条件。在这一问中应该注意角度要用弧度来表示，仍然能求解。第三问是要经过特定的点，题中一给出了特定点的位置，在这一问中，我们可能会按照上两题的方法来解，从而忽视了在这一点可能会是拐点，因此要考虑清楚。而根据题中给出的已知条件，注意到该点正好在第四地质层的中点出，至于中点对于我们接下来解题是否有用处，我们还是应该给予一定的留意。由于问题多出了一个点，而我们有没有确切的理由来判断该点不是拐点，因此在这一问中，我们要假设比上两问多出一个的未知数。再同上两问一样列出约束条件的表达式求解。三基本模型假设1、假设题目所给数据及管线造价表真实有效，可以作为模型计算的依据。2、将各地质层交界面理想化为平行面，其中并无任何阻碍，地质成分均匀分布无杂质，管线在铺设过程中无损坏。3、忽略管线直径，将管线理想化为直线段。4、假设A、B两地在同一平面内，管线铺设在同一水平面内。5、不考虑气候条件等的影响。四符号设定在第一问中：il：第i段管线在东西方向的投影（i=1…5对应沙土层、沙石层、岩石层、沙石土层、沙土层）；ic：第i种地质层的宽度（i=1…5对应沙土层、沙石层、岩石层、沙石土层、沙土层）；ix：第i段管线的长度（i=1…5对应沙土层、沙石层、岩石层、沙石土层、沙土层）；ip：第i种地质层条件中每千米的修建费用（i=1…4对应沙土、沙石土、沙石、岩石）；P：修建管线所需的总费用；L：A、B两地的东西方向距离；C：A、B两地的南北方向距离；在第二问中：il：第i段管线在东西方向的投影（i=1…5对应沙土层、沙石层、岩石层、沙石土层、沙土层）；ic：第i种地质层的宽度（i=1…5对应沙土层、沙石层、岩石层、沙石土层、沙土层）；ix：第i段管线的长度（i=1…5对应沙土层、沙石层、岩石层、沙石土层、沙土层）；ip：第i种地质层条件中每千米的修建费用（i=1…4对应沙土、沙石土、沙石、岩石）；P：修建管线所需的总费用；L：A、B两地的东西方向距离；C：A、B两地的南北方向距离；i：每个转角的大小；0：每次管线转弯时的转角下界；t：每次管线转弯时的转角上界；在第三问中：il：第i段管线在东西方向的投影（i=1…6对应沙土层、沙石层、岩石层、沙石土层、沙石土层、沙土层）；ic：第i种地质层的宽度（i=1…6对应沙土层、沙石层、岩石层、沙石土层、沙石土层、沙土层）；ix：第i段管线的长度（i=1…6对应沙土层、沙石层、岩石层、沙石土层、沙石土层、沙土层）；ip：第i种地质层条件中每千米的修建费用（i=1…4对应沙土、沙石土、沙石、岩石）；P：修建管线所需的总费用；iL：第i段东西方向的距离（i=1、2对应A、P两地的东西方向距离，B、P两地东西方向距离）；C：A、B两地的南北方向距离；五模型的建立与求解5.1数据的预处理分析题目以及已知条件，鉴于题目要求我们主要讨论在三种条件下，如何才能选在造价最便宜的路线修建管线，所以我们从已知条件中挖掘出一些必要的信息。5.1.1管道修建单价：三种地质条件上每千米的修建费用的情况如下表：图表（一）从单价来看在岩石层修建的费用最高，其次是沙石，再者是沙石土，最便宜的是沙土。5.1.2地质层分布：A、B两地的地质层分布入下表，其中A、B东西方向距离L=40km，南北方向距离C=26km，c1=6km，c2=4km，c3=5km，c4=6km，c5=5km。图表（二）地质条件沙土沙石土沙石岩石费用(万元/千米)121618285.2模型的建立5.2.1问题一模型：根据已知条件对表二绘图分析入下：AB东西方向距离：51iilLAB的长度：51iixX路径AB显然是路径最短的，但不一定最便宜，经过计算得出路径AB修建管线所需经费P=807.3567万元。路径ARSB过岩石和沙石的路径最短，但是否是最好的路径呢？经过计算得出路径ARSB修建管线所需经费P=814.1869万元。为确定最便宜的修建路径建立如下模型：管道铺设资源最优化模型：51miniiixpp2.15,11.15,1402251ixcixcstiiiii模型说明：1）目标函数中iixp其实反应了各种地质带铺设管道费用。2）约束条件（1.1）反映了出A、B两地东西方向的距离限制为40km。3）约束条件（1.2）中下界反映了在各种地质带铺设管道长度的限制;其中C1=6km，C2=4km，C3=5km，C4=6km，C5=5km。5.2.2问题二模型：根据已知条件对表二绘图分析入下：θ1θ2θ3θ4AB东西方向距离：51iilLAB的长度：51iixX铺设管线时，如果要求管线转弯时，角度至少为0160，则180°i160°，因此得出约束条件cos180°cosicos160°。为确定最便宜的修建路径建立如下模型：管道铺设资源最优化模型：51miniiixpP5.25,14.24,1160coscos180cos3.22.24,14,12cos)1.2(5,140.222112112212512222ixciiicxcxccXxxXxxixctsiiooiiiiiiiiiiiiiii模型说明：1)目标函数中iixp其实反应了各种地质带铺设管道费用。2）约束条件（2.1）反映了出A、B两地东西方向的距离限制为40km。3）约束条件（2.2）反映了每次转弯的转角的余弦值。4）约束条件（2.3）反映了每两个转角的距离。5）约束条件（2.4）反映了每次转弯的转角的余弦值的上下界。6）约束条件（2.5）中下界反映了在各种地质带铺设管道长度的限制;其中C1=6km，C2=4km，C3=5km，C4=6km，C5=5km。5.2.3问题三模型：根据已知条件对表二绘图分析入下：铺设管线时，如果要求管线必须通过某一已知点PAP东西方向距离：41iilLPB东西方向距离：65iilLAB的长度：61iixX为确定最便宜的修建管线路径建立如下模型：管道铺设资源最优化模型：61miniiicpP)3.3(6,1)2.3(4,130)1.3(6,51041226522ixcixcixcstiiiiiiii模型说明：1）目标函数中iixp其实反映了各种地质带铺设管道费用2）约束条件（3.1）反映了A、P两地东西方向的距离限制为30km。3）约束条件（3.2）反映了P、B两地东西方向的距离限制为10km。4）约束条件（3.3）中下界反映了在各种地质带铺设管道长度的限制;其中C1=6km，C2=4km，C3=5km，C4=3km，C5=3km，C6=5km。5.3模型的求解5.3.1问题一模型的求解：根据约束条件，在Lingo9.0中（附件一）求出最优解，如下：xix1x2x3x4x5分段长度（千米）16.787695.1117305.4561348.40701713.98974总费用（万元）748.6244所以问题一中所需最便宜的费用为748.6244万元。5.3.2问题二模型的求解：根据约束条件，在Lingo9.0中（附件二）求出最优解，如下：xix1x2x3x4x5分段长度（千米）15.652315.9162335.6348598.87434913.04358总费用（万元）750.6084所以问题二中所需最便宜的费用为750.6084万元。5.3.3问题三模型求解：根据约束条件，在Lingo9.0中（附件三）求出最优解，如下：xix1x2x3x4x5x6分段长度（千米）22.091805.2149015.4886274.3346823.8482509.088740总费用（万元）752.6432所以问题三中所需最便宜的费用为752.6432万元。六结果分析与检验对于问题一模型，在此模型下得到管道铺设造价最优路线方案，其费用为748.6244万元，而通过计算得到：AB方案路线造价约为807.3567万元、ARSB方案