概率论与数理统计老师总结习题总汇

例1.2袋中装有2只白球和1只黑球。从袋中依次任意地摸出2只球。设球是编号的：白球为1号、2号，黑球为3号。(i,j)表示第一次摸得i号球，第二次摸得j号球的基本事件，则这一试验的样本空间为：S={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}而且可得到下列随机事件A={(3,1),(3,2)}={第一次摸得黑球}；B={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)}={第一次摸得白球}；C={(1,2),(2,1)}={两次都摸得白球}；D={(1,3),(2,3)}={第一次摸得白球，第二次摸得黑球}；G={(1,2),(2,1)}={没有摸到黑球}。设试验E的样本空间为S，A,B,Ak(k=1,2,…)为事件返回例1.3甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：::::::::::::654321“三人均未命中目标”“三人均命中目标””“最多有一人命中目标“恰有两人命中目标”“恰有一人命中目标””“至少有一人命中目标AAAAAACBACBACBACBACBABCACABBACACBABCCBA例1.4试求事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”的对立事件。解设A表示事件“甲种产品畅销”，B表示事件“乙种产品畅销”，则由题意，事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”表示为：BABABABA因此对立事件为：即所求对立事件为：“甲种产品畅销或乙种产品滞销”。1、概率的统计定义设随机事件A在n次重复试验中发生的次数为nA，若当试验次数n很大时，频率nA/n稳定地在某一数值p的附近摆动，且随着试验次数n的增加，其摆动的幅度越来越小，则称数p为随机事件A的概率，记为P(A)=p。由定义，显然有0≤P(A)≤1,P(S)=1，P(φ)=0。设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A，赋予一个实数P(A)与之对应，如果集合函数P(·)具有如下性质：①非负性：对任意一个事件A，均有P(A)≥0；②完备性：P(S)=1；③可列可性质：若A1，A2，…，An，…是两两互不相容的事件序列，即Ai∩Aj=φ(i≠j,i,j=1,2,…)，有P(A1∪A2∪…∪An∪…)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)+…则称P(A)为事件A的概率。2、概率的公理化定义（P.8）1.3古典概型与几何概型一、古典概型的定义(p.11)设随机实验E满足下列条件1.有限性：试验的样本空间只有有限个可能的结果，即2.等可能性：每个样本点的发生是等可能的，即则称此试验E为古典概型，也叫等可能概型。12{,,...,}nS12()()...()1/nPPPn二、古典概型的基本类型举例•古典概率的计算关键在于计算基本事件总数和所求事件包含的基本事件数。由于样本空间的设计可由各种不同的方法，因此古典概率的计算就变得五花八门、纷繁多样。但可归纳为如下几种基本类型。1、抽球问题例1.8设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红球一白球的概率。解设A——取到一红球一白球25)(CSN1213)(CCAN53)(251213CCCAP答:取到一红一白的概率为3/5。一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是nNknMNkMCCCp(2)从中任意接连取出k+1(k+1≤m+n)个球，如果每一个球取出后不还原，试求最后取出的球是白球的概率。解试验E：从m+n球中接连地不放回地取出k+1个球每k+1个排好的球构成E的一个基本事件，不同的基本事件总数为1knmP设事件B：“第k+1个取出的球是白球”，由于第k+1个球是白球，可先从m个白球中取一个留下来作为第k+1个球，一共有其余k个球可以是余下的m+n-1个球中任意k个球的排列，总数为mCm1种保留下来的取法，knmP1事件B所包含的基本事件总数为knmmP1在实际中，有许多问题的结构形式与抽球问题相同，把一堆事物分成两类，从中随机地抽取若干个或不放回地抽若干次，每次抽一个，求“被抽出的若干个事物满足一定要求”的概率。如产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。例1.11设有n个颜色互不相同的球，每个球都以概率1/N落在N(n≤N)个盒子中的每一个盒子里，且每个盒子能容纳的球数是没有限制的，试求下列事件的概率：A={某指定的一个盒子中没有球}B={某指定的n个盒子中各有一个球}C={恰有n个盒子中各有一个球}D={某指定的一个盒子中恰有m个球}(m≤n)解把n个球随机地分配到N个盒子中去(n≤N),总共有Nn种放法。即基本事件总数为Nn。事件A：指定的盒子中不能放球，因此，n个球中的每一个球可以并且只可以放入其余的N-1个盒子中。总共有(N–1)n种放法。因此nnNNAP)1()(某班级有n个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？分球入盒问题，或称球在盒中的分布问题。有些实际问题可以归结为分球入盒问题，只是须分清问题中的“球”与“盒”，不可弄错。(1)生日问题：n个人的生日的可能情况，相当于n个球放入N=365个盒子中的可能情况(设一年365天)；(2)旅客下车问题(电梯问题)：一列火车中有n名旅客，它在N个站上都停车，旅客下车的各种可能场合，相当于n个球分到N个盒子：旅客：“球”，站：“盒子”；(3)住房分配问题：n个人被分配到N个房间中；(4)印刷错误问题：n个印刷错误在一本具有N页书的一切可能的分布，错误球，页盒子。!!....!1mnnn一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第i组恰有ni个球(i=1,…,m)，共有分法：例甲乙两人相约在7点到8点之间在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就离开。如果每个人可在指定的任一小时内任意时刻到达，试计算二人能够会面的概率。解：600,600|,yxyxS20,,|,yxSyxyxA根据题意，这是一个几何概型问题，于是95604060222SuAuAP袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问第一个人取得红球的概率是多少？第二个人取得红球的概率是多少？1.4条件概率显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中A含有nA个样本点，AB含有nAB个样本点，则AABnnABP)|(称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率(p.18)定义设A、B是S中的两个事件，P(A)0，则)()(APABPnnnnAAB).()()()|(141APABPABP可以验证，条件概率P(·|A)符合概率所需满足的三条基本性质：①非负性：对任意一个事件B，均有0≤P(B|A)≤1；②完备性：P(S|A)=1；③可列可加性：若B1，B2，…，Bn，…两两互不相容，则有11)()(nnnnABPABP条件概率也满足概率的基本性质（P.18)•条件概率的一般计算方法：•(1)根据A发生以后的情况直接计算A发生的条件下，B发生的条件概率。“缩减样本空间”•(2)先计算P(A)，P(AB)，再用公式)()()(APABPABP例1.16设某人从一副扑克中(52张)任取13张，设A为“至少有一张红桃”，B为“恰有2张红桃”，C为“恰有5张方块”，求条件概率P(B|A)，P(B|C)解135213391352135213391)(1)(CCCCCAPAP13521139213)(CCCABP13391352113921313521339135213521139213)()()(CCCCCCCCCCAPABPABP1352839513)(CCCCP1352626213513)(CCCCBCP83962621313528395131352626213513)()()(CCCCCCCCCCCPBCPCBP设S是试验E的样本空间，A1,A2,…,An是试验E的一组事件，若A1,A2,…,An满足如下两个条件：（1）A1∪A2∪…∪An=S，（2）A1,A2,…,An两两互不相容则称事件组A1,A2,…,An组成样本空间的一个划分；若是样本空间的一个划分，则在每次试验中，事件A1,A2,…,An必有且仅有一个发生。1、样本空间的划分定理1.1设试验E的样本空间为S，B为E的事件。设事件组A1,A2,…,An组成样本空间S的一个划分，且设P(Ak)0,(k=1,2,…n),则1()()(|)nkkkPBPAPBA＝此公式称为全概率公式。2、全概率公式(P.21)（将计算一个复杂事件的概率问题转化为在不同情况下或不同原因下发生的简单事件的概率的求和问题）例1.20市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。)()|()()|()()|(332211APABPAPABPAPABP0225.02103.04101.04102.0)()()()(321BAPBAPBAPBP解设B：买到一件次品；A1：买到一件甲厂的产品；A2：买到一件乙厂的产品；A3：买到一件丙厂的产品。40()()()kkkPBPAPBA814.0652.01.0727.02.0809.04.0900.0.021.0例1.21的结果提供给人们这样的信息，即若工厂生产了1000批产品，则可以通过检验，以合格品出产厂的约有814批，而作为合格品出售的产品，每批中仍可能含有i(i=0,1,2,3,4)件次品。因此，就顾客而言，希望所买的产品中含次品少的概率要大，即概率P(Ai|B)(i=0,1,2,3,4)中最大的一个所对应i的越小越好，这就是下面讨论的另一个重要公式。3、贝叶斯公式(Bayes)定理1.2设试验E的样本空间为S，B为E的事件。事件组A1,A2,…,An组成样本空间S的一个划分，且P(Ak)0,(k=1,2,…n),及P(B)0，则1()()()1,2,,()()kkkniiiPAPBAPABknPAPBA此式称为Bayes公式。Bayes公式的使用我们把事件B看作某一过程的结果，因，看作该过程的若干个原把nAAA,,,21已知即nAP已知即nABP而且每一原因对结果的影响程度已知，如果已知事件B已经发生，要求此时是由第i个原因引起的概率，则用Bayes公式BAPi即求例1.21中，顾客买到的一批合格品中，含次品数为0的概率是多少？00040()(|)0.11(|)0.1230.814()(|)iiiPAPBAPABPAPBA类似可以计算顾客买到的一批合格品中，含次品数为1、2、3、4件的概率分别约为0.221、0.398、0.179、0.080。一般地，设A1，A2，…，An是n个事件，若下面个等式同时成立：则称n个事件A1，A2，…，An相互独立。)()()(jijiAPAPAAPnji1)()()()(kjikjiAPAPAPAAAPnkji1)()()()()(lkjilkjiAPAPAPAPAAAAPnlkji1)()()()(2121nnAPAPAPAAAP……….性质1:若事件A1，A2，…，An(n1)相互独立，则其中任意k(kn)个事件也相互独立。性质2:若事件A1，A2，…，An(n1)相互独立，则将A1，A2，…，An中任意m(1mn)个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。注：通常事件的相互独立性是根据实际意义判断的。注：互不相容事件，互逆事件，相互独立事件的异同A、B互不相