电磁场与电磁波第四版第八章习题解答

八章习题解答8.1为什么一般矩形波导测量线的纵槽开在波导的中线上？解：因为矩形波导中的主模为10TE模，而由10TE的管壁电流分布可知，在波导宽边中线处只有纵向电流。因此沿波导宽边的中线开槽不会因切断管壁电流而影响波导内的场分布，也不会引起波导内电磁波由开槽口向外辐射能量。(如题8.1图)题8.1图8.2下列二矩形波导具有相同的工作波长，试比较它们工作在11TM模式的截止频率。(1)22310abmm；(2)216.516.5abmm。解：截止频率221mn2cfab当介质为空气001c（1）当2310abmmmm，工作模式为11TM（m=1,n=1），其截止频率为22113101116.36GHz22310cf（2）当16.516.5abmmmm，工作模式仍为11TM（m=1,n=1），其截止频率为的22113101112.86GHz216.516.5cf由以上的计算可知：截止频率与波导的尺寸、传输模式及波导填充的介质有关，与工作频率无关。8.3推导矩形波导中mnTE模的场分布式。解：对于TE波有zz0,0EHzH应满足下面的波动方程和边界条件：220000000zzyxyxaxyxybHkHEEEE（1）a/2由均匀导波系统的假设，,,,zzzHxyzHxye将其代入式(1)，得2222220zzzzHHHkHxyz222222,0zkHxyxy22222,0zhHxyxy（2）其中222hk该方程可利用分离变量法求解。设其解为：,zHxyfxgy(3)将式(.3)代入式(2)，然后等式两边同除以fxgy，得2222211dfxdgyhfxdxgydy上式中等式左边仅为x的涵数，等式右边仅为y的函数，要使其相等，必须各等于常数。于是，该式可分离出两个常微分方程2220xdfxkfxdx(4a)2220ydgykgydy(4b)222xykkh(5)式(4a)的通解为sincosxxfxAkxBkx(6)由于在x=0和x=a的边界上，满足00yxE0yxaE由纵向场与横向场的关系，得2zycjHEkx则在x=0和x=a的边界上，,zHxy满足00zxHx0zxaHx于是将其代入式(6)得0Amm0,1,2,3......xka所以mcosfxBxa同理得式(4)的通解sincosyygyCkyDky满足的边界条件为00zyHy0zybHy于是得0Cnn0,1,2,3,......ykbncosgyDyb所以，得到矩形波导中TE波的纵向场分量0mn,coscoszHxyHxyab式中H0=CD由激励源强度决定本征值由式22222mnxyhkkab利用纵向场与横向场的关系式可求得TE的其他横向场分量02nmn,cossinxjExyHxyhbab02mmn,sincosyjExyHxyhaab02mmn,sincoszxjkHxyHxyhaab02nmn,cossinzyjkHxyHxyhbab8.4设矩形波导中传输10TE模，求填充介质（介电常数为）时的截止频率及波导波长。解：截止频率221mn2cfab对于10TE（m=1,n=0），得21122cfaa波导波长22222211gccffff式中2为无界空间介质中的8.5已知矩形波导的横截面尺寸为22310abmm，试求当工作波长10mm时，波导中能传输哪些波型？30mm时呢？解：波导中能传输的模式应满足条件mnc（工作波长小于截止波长）或mncff（工作频率大于截止频率）在矩形波导中截止波长为222mncab由传输条件222mn2310当=10mm时上式可写为12222mn101023能满足传输条件的m和n为（1）m=0,n2有以下波型01TE（2）m=1,n1.95有以下波型101111TE,TE,TM（3）m=2,n1.8有以下波型202121TE,TE,TM（4）m=3,n1.5有以下波型303131TE,TE,TM（5）m=4,n0.95有以下波型40TE当=30mm时，应满足12222mn103023（1）m=0,n0.66（无波型存在）（2）m=1,n0.5有以下波型10TE（3）m=2,不满足条件。故此时只能传输10TE模8.6一矩形波导的横截面尺寸为22310abmm由紫铜制作，传输电磁波的频率为10GHzf。试计算：（1）当波导内为空气填充，且传输10TE波时，每米衰件多少分贝？（2）当波导内填充以r2.54的介质，仍传输10TE波时，每米衰件多少分贝？解：当波导内为空气填充时，其工作波长为82931031031010vcmf当波导内填充以r2.54的介质时。其工作波长为8293101.88101.882.541010vcmf波导壁的表面电阻sfR查表得紫铜的电导率75.810/Sm，于是9773.14101043.14100.02615.810sR矩形波导中传输10TE波时，由导体引起的衰减为2212212scRbaaba（1）当波导内为空气填充，00377，得2222122120.0261203012322330101037712230.011scRbaabaNp/m用分贝表示0.0118.6860.094/cdBm（2）当波导内填充以r2.54的介质时22022122120.02612.54201.881232231.88101037712230.013srcRbaabaNp/m用分贝表示0.0138.6860.113/cdBm8.7试设计10cm的矩形波导。材料用紫铜，内充空气，并且要求10TE模的工作频率至少有30%的安全因子，即210.71.3ccfff，此处1cf和2cf分别表示10TE波和相邻高阶模式的截止频率。解；由题给：210.71.3ccfff即2010TETE0.71.3ccfff若用波长表示，上式变为2010TETE0.711.3cc即0.71a101.31210a由此可得6.57a选择：6.8acm为防止高次模01TE的出现，窄边b的尺寸应满足01cTE2b即05bcm考虑到传输功率容量和损耗情况，一般选取0.40.5ba故设计的矩形波导尺寸为26.83.4abcm8.8矩形波导的前半段填充空气，后半段填充介质（介电常数为），问当10TE波从空气段入射介质段时，反射波场量和透射波场量各为多大？解：由反射系数21212121=riZZZZEE得=riEE即反射波场量的大小为入射波场量的倍由透射系数22212122=tiZZZEE得=tiEE即透射波场量的大小为入射波场量的倍。因此只须求出和即可得到解答。矩形波导中10TE模的波阻抗为10TE21cZ其中00rr当介质为空气时，得01201cZ当介质的介电常数为0r时，得00222200111rrcrccZ于是00222200002122002100220011221221rrccrrccZZaaZZaa022002220021002200221221221rcrrccZaZZaa8.9试推导在矩形波导中传输mnTE波时的传输功率。解：波导中传输的功率可由波导横截面上坡印廷矢量的积分求得mnmnmn22TETE22TE0011Re22212sssbaxyZPddSdSZEEdxdyZEHSEH式中E和H分别为波导横截面内的电场强度和磁场强度，mnTEZ为波阻抗。矩形波导中02nmn,cossinxjExyHxyhbab得nmn,cossinxmExyExybab02mmn,sincosyjExyHxyhaab得mmn,sincosymExyExyaab式中02mEHh于是mnmnmn22TE0022TE002222TE00212nmncossin12mmnsincosnnmsincos2baxymbambammPEEdxdyZExybabdxdyZExyaabEbydyxdxZbamEamn222TE00nmcossin2baydyxdxZbamnmnmnmn2222TETE222TE22TEn2424n88mmnmmnmnmmmnmENNENNababbaZZabmNNEZbaabEhNNZ式中1m01n0,2m=02n=0mnNN8.10试设计一工作波长5cm的圆柱形波导，材料用紫铜，内充空气，并要求11TE波的工作频率应有一定的安全因子。解：11TE模是圆柱形波导中的主模，为保证单模传输，应使工作频率大于11TE模的截止频率而小于第一次高模01TM的截止频率，即和1111cTEcTM21.84122.405aa于是得222.4051.841aa圆柱形波导的半径a应满足2.613.41a选择533acm8.11求圆柱形波导中0nTE波的传输功率。解：传输功率0n0n2222TETE00111Re222arssPddSEErdrdZZ